Theorem ringassd 20397

Description: Associative law for multiplication in a ring. (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringassd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringassd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringassd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringassd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringassd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringassd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringassd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringassd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringassd.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringassd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		ringassd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		ringassd.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ringass 20392	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  Ringcrg 20372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mgp 20274  df-ring 20374

This theorem is used by:  crng12d  20398  crng32d  20399  crng4  20400  ringinveu  20901  sraassab  22083  erler  33705  rloccring  33711  rrgsubm  33724  dvdsruassoi  33817  dvdsruasso  33818  dvdsruasso2  33819  mxidlirredi  33874  unitmulrprm  33938  1arithidomlem1  33945  1arithufdlem3  33956  vietalem  34089  fldextrspunlsplem  34183  aks6d1c5lem3  43003  drnginvmuld  43409  evlselv  43435  prjspner1  43472