Theorem tgoldbachgtALTV 47215

Description: Variant of Thierry Arnoux's tgoldbachgt 34365 using the symbols Odd and GoldbachOdd: The ternary Goldbach conjecture is valid for large odd numbers (i.e. for all odd numbers greater than a fixed 𝑚). This is proven by Helfgott (see section 7.4 in [Helfgott] p. 70) for 𝑚 = 10^27. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Revised by AV, 15-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgtALTV	⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem tgoldbachgtALTV

Dummy variables 𝑧 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd3 47053	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		df-gbo 47153	. 2 ⊢ GoldbachOdd = {𝑧 ∈ Odd ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
3	1, 2	ax-tgoldbachgt 47214	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278   ≤ cle 11279  ℕcn 12242  2c2 12297  7c7 12302  ;cdc 12707  ↑cexp 14058   Odd codd 47028   GoldbachOdd cgbo 47150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-tgoldbachgt 47214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-dvds 16231  df-odd 47030  df-gbo 47153

This theorem is referenced by:  tgoldbach  47220