Theorem dfrcl3 38754

Description: Reflexive closure of a relation as union of powers of the relation. (Contributed by RP, 6-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrcl3	⊢ r* = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝑥↑𝑟0) ∪ (𝑥↑𝑟1)))

Proof of Theorem dfrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl2 38753	. 2 ⊢ r* = (𝑥 ∈ V ↦ (( I ↾ (dom 𝑥 ∪ ran 𝑥)) ∪ 𝑥))
2		relexp0g 14107	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑥 ∪ ran 𝑥)))
3		relexp1g 14111	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥↑𝑟1) = 𝑥)
4	2, 3	uneq12d 3970	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((𝑥↑𝑟0) ∪ (𝑥↑𝑟1)) = (( I ↾ (dom 𝑥 ∪ ran 𝑥)) ∪ 𝑥))
5	4	mpteq2ia 4937	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ ((𝑥↑𝑟0) ∪ (𝑥↑𝑟1))) = (𝑥 ∈ V ↦ (( I ↾ (dom 𝑥 ∪ ran 𝑥)) ∪ 𝑥))
6	1, 5	eqtr4i 2828	1 ⊢ r* = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝑥↑𝑟0) ∪ (𝑥↑𝑟1)))

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3389   ∪ cun 3771   ↦ cmpt 4926   I cid 5223  dom cdm 5316  ran crn 5317   ↾ cres 5318  (class class class)co 6882  0cc0 10228  1c1 10229  ↑_𝑟crelexp 14105  r*crcl 38751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11317  df-n0 11585  df-z 11671  df-uz 11935  df-seq 13060  df-relexp 14106  df-rcl 38752

This theorem is referenced by:  dfrcl4  38755