MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexp1g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexp1g 14920
Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp1g (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)

Proof of Theorem relexp1g
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-relexp 14914 . . 3 𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)))
21a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))))
3 simprr 772 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑛 = 1)
4 ax-1ne0 11128 . . . . . . 7 1 ≠ 0
5 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
64, 5mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → 𝑛 ≠ 0)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑛 ≠ 0)
87neneqd 2945 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → ¬ 𝑛 = 0)
98iffalsed 4501 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))
10 simprl 770 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑟 = 𝑅)
1110mpteq2dv 5211 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
1211seqeq3d 13923 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟)) = seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)))
1312, 3fveq12d 6853 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1))
14 1z 12541 . . . 4 1 ∈ ℤ
15 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
16 eqidd 2734 . . . . 5 (((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑅 = 𝑅)
17 1ex 11159 . . . . . 6 1 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 1 ∈ V)
19 simpl 484 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑅𝑉)
2015, 16, 18, 19fvmptd 6959 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → ((𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)‘1) = 𝑅)
2114, 20seq1i 13929 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1) = 𝑅)
229, 13, 213eqtrd 2777 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = 𝑅)
23 elex 3465 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
24 1nn0 12437 . . 3 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → 1 ∈ ℕ0)
262, 22, 23, 25, 23ovmpod 7511 1 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3447  cun 3912  ifcif 4490  cmpt 5192   I cid 5534  dom cdm 5637  ran crn 5638  cres 5639  ccom 5641  cfv 6500  (class class class)co 7361  cmpo 7363  0cc0 11059  1c1 11060  0cn0 12421  seqcseq 13915  𝑟crelexp 14913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-relexp 14914
This theorem is referenced by:  dfid5  14921  dfid6  14922  relexp1d  14923  relexpsucnnl  14924  relexpsucl  14925  relexpsucr  14926  relexpcnv  14929  relexprelg  14932  relexpnndm  14935  relexpfld  14943  relexpaddnn  14945  relexpaddg  14947  dfrcl3  42039  relexp2  42041  iunrelexp0  42066  relexpxpnnidm  42067  corclrcl  42071  iunrelexpmin1  42072  trclrelexplem  42075  iunrelexpmin2  42076  relexp01min  42077  relexp0a  42080  relexpaddss  42082  dftrcl3  42084  cotrcltrcl  42089  trclimalb2  42090  trclfvdecomr  42092  dfrtrcl3  42097  corcltrcl  42103  cotrclrcl  42106
  Copyright terms: Public domain W3C validator