MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexp1g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexp1g 15006
Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp1g (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)

Proof of Theorem relexp1g
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-relexp 15000 . . 3 𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)))
21a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))))
3 simprr 772 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑛 = 1)
4 ax-1ne0 11208 . . . . . . 7 1 ≠ 0
5 neeq1 3000 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
64, 5mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → 𝑛 ≠ 0)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑛 ≠ 0)
87neneqd 2942 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → ¬ 𝑛 = 0)
98iffalsed 4540 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))
10 simprl 770 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑟 = 𝑅)
1110mpteq2dv 5250 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
1211seqeq3d 14007 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟)) = seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)))
1312, 3fveq12d 6904 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1))
14 1z 12623 . . . 4 1 ∈ ℤ
15 eqidd 2729 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
16 eqidd 2729 . . . . 5 (((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑅 = 𝑅)
17 1ex 11241 . . . . . 6 1 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 1 ∈ V)
19 simpl 482 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑅𝑉)
2015, 16, 18, 19fvmptd 7012 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → ((𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)‘1) = 𝑅)
2114, 20seq1i 14013 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1) = 𝑅)
229, 13, 213eqtrd 2772 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = 𝑅)
23 elex 3490 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
24 1nn0 12519 . . 3 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → 1 ∈ ℕ0)
262, 22, 23, 25, 23ovmpod 7573 1 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  Vcvv 3471  cun 3945  ifcif 4529  cmpt 5231   I cid 5575  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  ccom 5682  cfv 6548  (class class class)co 7420  cmpo 7422  0cc0 11139  1c1 11140  0cn0 12503  seqcseq 13999  𝑟crelexp 14999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-relexp 15000
This theorem is referenced by:  dfid5  15007  dfid6  15008  relexp1d  15009  relexpsucnnl  15010  relexpsucl  15011  relexpsucr  15012  relexpcnv  15015  relexprelg  15018  relexpnndm  15021  relexpfld  15029  relexpaddnn  15031  relexpaddg  15033  dfrcl3  43105  relexp2  43107  iunrelexp0  43132  relexpxpnnidm  43133  corclrcl  43137  iunrelexpmin1  43138  trclrelexplem  43141  iunrelexpmin2  43142  relexp01min  43143  relexp0a  43146  relexpaddss  43148  dftrcl3  43150  cotrcltrcl  43155  trclimalb2  43156  trclfvdecomr  43158  dfrtrcl3  43163  corcltrcl  43169  cotrclrcl  43172
  Copyright terms: Public domain W3C validator