Theorem relexp1g 14735

Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp1g	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)

Proof of Theorem relexp1g

Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-relexp 14729	. . 3 ⊢ ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))))
3		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑛 = 1)
4		ax-1ne0 10941	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
5		neeq1 3008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
6	4, 5	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 ≠ 0)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑛 ≠ 0)
8	7	neneqd 2950	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → ¬ 𝑛 = 0)
9	8	iffalsed 4476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))
10		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑟 = 𝑅)
11	10	mpteq2dv 5181	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
12	11	seqeq3d 13727	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟)) = seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)))
13	12, 3	fveq12d 6778	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1))
14		1z 12350	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
15		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
16		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑅 = 𝑅)
17		1ex 10972	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 1 ∈ V)
19		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
20	15, 16, 18, 19	fvmptd 6879	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → ((𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)‘1) = 𝑅)
21	14, 20	seq1i 13733	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1) = 𝑅)
22	9, 13, 21	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = 𝑅)
23		elex 3449	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
24		1nn0 12249	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 ∈ ℕ0)
26	2, 22, 23, 25, 23	ovmpod 7419	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  Vcvv 3431   ∪ cun 3890  ifcif 4465   ↦ cmpt 5162   I cid 5489  dom cdm 5590  ran crn 5591   ↾ cres 5592   ∘ ccom 5594  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ∈ cmpo 7273  0cc0 10872  1c1 10873  ℕ₀cn0 12233  seqcseq 13719  ↑_𝑟crelexp 14728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-seq 13720  df-relexp 14729

This theorem is referenced by:  dfid5  14736  dfid6  14737  relexp1d  14738  relexpsucnnl  14739  relexpsucl  14740  relexpsucr  14741  relexpcnv  14744  relexprelg  14747  relexpnndm  14750  relexpfld  14758  relexpaddnn  14760  relexpaddg  14762  dfrcl3  41253  relexp2  41255  iunrelexp0  41280  relexpxpnnidm  41281  corclrcl  41285  iunrelexpmin1  41286  trclrelexplem  41289  iunrelexpmin2  41290  relexp01min  41291  relexp0a  41294  relexpaddss  41296  dftrcl3  41298  cotrcltrcl  41303  trclimalb2  41304  trclfvdecomr  41306  dfrtrcl3  41311  corcltrcl  41317  cotrclrcl  41320