Theorem relexp1g 15222

Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp1g	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)

Proof of Theorem relexp1g

Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-relexp 15216	. . 3 ⊢ ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))))
3		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑛 = 1)
4		ax-1ne0 11308	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
5		neeq1 3021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
6	4, 5	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 ≠ 0)
7	3, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑛 ≠ 0)
8	7	neneqd 2964	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → ¬ 𝑛 = 0)
9	8	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))
10		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑟 = 𝑅)
11	10	mpteq2dv 5205	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
12	11	seqeq3d 14192	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟)) = seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)))
13	12, 3	fveq12d 6923	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1))
14		1z 12766	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
15		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
16		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑅 = 𝑅)
17		1ex 11342	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 1 ∈ V)
19		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
20	15, 16, 18, 19	fvmptd 7032	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → ((𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)‘1) = 𝑅)
21	14, 20	seq1i 14198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1) = 𝑅)
22	9, 13, 21	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = 𝑅)
23		elex 3475	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
24		1nn0 12662	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 ∈ ℕ0)
26	2, 22, 23, 25, 23	ovmpod 7604	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  ifcif 4485   ↦ cmpt 5192   I cid 5552  dom cdm 5658  ran crn 5659   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  0cc0 11239  1c1 11240  ℕ₀cn0 12646  seqcseq 14184  ↑_𝑟crelexp 15215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-relexp 15216

This theorem is used by:  dfid5  15223  dfid6  15224  relexp1d  15225  relexpsucnnl  15226  relexpsucl  15227  relexpsucr  15228  relexpcnv  15231  relexprelg  15234  relexpnndm  15237  relexpfld  15245  relexpaddnn  15247  relexpaddg  15249  dfrcl3  44936  relexp2  44938  iunrelexp0  44963  relexpxpnnidm  44964  corclrcl  44968  iunrelexpmin1  44969  trclrelexplem  44972  iunrelexpmin2  44973  relexp01min  44974  relexp0a  44977  relexpaddss  44979  dftrcl3  44981  cotrcltrcl  44986  trclimalb2  44987  trclfvdecomr  44989  dfrtrcl3  44994  corcltrcl  45000  cotrclrcl  45003