Theorem relexp1g 15059

Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp1g	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)

Proof of Theorem relexp1g

Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-relexp 15053	. . 3 ⊢ ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))))
3		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑛 = 1)
4		ax-1ne0 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
5		neeq1 3020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
6	4, 5	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 ≠ 0)
7	3, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑛 ≠ 0)
8	7	neneqd 2963	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → ¬ 𝑛 = 0)
9	8	iffalsed 4498	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))
10		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑟 = 𝑅)
11	10	mpteq2dv 5205	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
12	11	seqeq3d 14041	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟)) = seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)))
13	12, 3	fveq12d 6888	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1))
14		1z 12619	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
15		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
16		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑅 = 𝑅)
17		1ex 11198	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 1 ∈ V)
19		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
20	15, 16, 18, 19	fvmptd 6997	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → ((𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)‘1) = 𝑅)
21	14, 20	seq1i 14047	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1) = 𝑅)
22	9, 13, 21	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ∘ 𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = 𝑅)
23		elex 3476	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
24		1nn0 12515	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 ∈ ℕ0)
26	2, 22, 23, 25, 23	ovmpod 7562	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∪ cun 3903  ifcif 4487   ↦ cmpt 5192   I cid 5555  dom cdm 5661  ran crn 5662   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  0cc0 11095  1c1 11096  ℕ₀cn0 12499  seqcseq 14033  ↑_𝑟crelexp 15052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-relexp 15053

This theorem is referenced by:  dfid5  15060  dfid6  15061  relexp1d  15062  relexpsucnnl  15063  relexpsucl  15064  relexpsucr  15065  relexpcnv  15068  relexprelg  15071  relexpnndm  15074  relexpfld  15082  relexpaddnn  15084  relexpaddg  15086  dfrcl3  44401  relexp2  44403  iunrelexp0  44428  relexpxpnnidm  44429  corclrcl  44433  iunrelexpmin1  44434  trclrelexplem  44437  iunrelexpmin2  44438  relexp01min  44439  relexp0a  44442  relexpaddss  44444  dftrcl3  44446  cotrcltrcl  44451  trclimalb2  44452  trclfvdecomr  44454  dfrtrcl3  44459  corcltrcl  44465  cotrclrcl  44468