Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmgmaddn0 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer, then 𝐴 + 𝑁 is nonzero for any nonnegative integer 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dmgmaddn0 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑁) ≠ 0)

StepHypRef Expression
1 eldmgm 25721 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
21simprbi 500 . . 3 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
32adantr 484 . 2 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
4 df-neg 10925 . . . . . 6 -𝐴 = (0 − 𝐴)
54eqeq1i 2764 . . . . 5 (-𝐴 = 𝑁 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑁)
6 0cnd 10686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
7 eldifi 4035 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
87adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 nn0cn 11958 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
109adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
116, 8, 10subaddd 11067 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 − 𝐴) = 𝑁 ↔ (𝐴 + 𝑁) = 0))
125, 11syl5bb 286 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝐴 = 𝑁 ↔ (𝐴 + 𝑁) = 0))
13 simpr 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14 eleq1 2840 . . . . 5 (-𝐴 = 𝑁 → (-𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
1513, 14syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝐴 = 𝑁 → -𝐴 ∈ ℕ0))
1612, 15sylbird 263 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑁) = 0 → -𝐴 ∈ ℕ0))
1716necon3bd 2966 . 2 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ -𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 𝑁) ≠ 0))
183, 17mpd 15 1 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑁) ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ∖ cdif 3858  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  0cc0 10589   + caddc 10592   − cmin 10922  -cneg 10923  ℕcn 11688  ℕ0cn0 11948  ℤcz 12034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-n0 11949  df-z 12035 This theorem is referenced by:  dmgmn0  25725  dmgmdivn0  25727  lgamcvg2  25754
 Copyright terms: Public domain W3C validator