Theorem dmgmaddn0 27299

Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer, then 𝐴 + 𝑁 is nonzero for any nonnegative integer 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dmgmaddn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem dmgmaddn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmgm 27298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
2	1	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
4		df-neg 11501	. . . . . 6 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2765	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 = 𝑁 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑁)
6		0cnd 11256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
7		eldifi 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nn0cn 12571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
11	6, 8, 10	subaddd 11644	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 − 𝐴) = 𝑁 ↔ (𝐴 + 𝑁) = 0))
12	5, 11	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝐴 = 𝑁 ↔ (𝐴 + 𝑁) = 0))
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 = 𝑁 → (-𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
15	13, 14	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝐴 = 𝑁 → -𝐴 ∈ ℕ0))
16	12, 15	sylbird 263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑁) = 0 → -𝐴 ∈ ℕ0))
17	16	necon3bd 2969	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ -𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 𝑁) ≠ 0))
18	3, 17	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  0cc0 11157   + caddc 11160   − cmin 11498  -cneg 11499  ℕcn 12290  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649

This theorem is used by:  dmgmn0  27302  dmgmdivn0  27304  lgamcvg2  27331