Theorem dmgmdivn0 26990

Description: Lemma for lgamf 27004. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmgmn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmdivn0.a	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dmgmdivn0	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + 1) ≠ 0)

Proof of Theorem dmgmdivn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmgmn0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2	1	eldifad 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dmgmdivn0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5	3	nnne0d 12290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
6	2, 4, 4, 5	divdird 12055	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) = ((𝐴 / 𝑀) + (𝑀 / 𝑀)))
7	4, 5	dividd 12015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑀) = 1)
8	7	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + (𝑀 / 𝑀)) = ((𝐴 / 𝑀) + 1))
9	6, 8	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) = ((𝐴 / 𝑀) + 1))
10	2, 4	addcld 11254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑀) ∈ ℂ)
11	3	nnnn0d 12562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
12		dmgmaddn0 26985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑀) ≠ 0)
13	1, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑀) ≠ 0)
14	10, 4, 13, 5	divne0d 12033	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) ≠ 0)
15	9, 14	eqnetrrd 3000	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + 1) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem3  26993  lgamgulmlem5  26995  lgamgulmlem6  26996  lgamgulm2  26998  lgamcvg2  27017  gamcvg  27018  gamcvg2lem  27021  regamcl  27023  iprodgam  35759