Theorem dmgmdivn0 27080

Description: Lemma for lgamf 27094. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmgmn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmdivn0.a	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dmgmdivn0	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + 1) ≠ 0)

Proof of Theorem dmgmdivn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmgmn0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2	1	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dmgmdivn0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5	3	nnne0d 12257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
6	2, 4, 4, 5	divdird 11999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) = ((𝐴 / 𝑀) + (𝑀 / 𝑀)))
7	4, 5	dividd 11959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑀) = 1)
8	7	oveq2d 7407	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + (𝑀 / 𝑀)) = ((𝐴 / 𝑀) + 1))
9	6, 8	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) = ((𝐴 / 𝑀) + 1))
10	2, 4	addcld 11195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑀) ∈ ℂ)
11	3	nnnn0d 12536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
12		dmgmaddn0 27075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑀) ≠ 0)
13	1, 11, 12	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑀) ≠ 0)
14	10, 4, 13, 5	divne0d 11977	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) ≠ 0)
15	9, 14	eqnetrrd 3024	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + 1) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3899  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   / cdiv 11838  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  27082  lgamgulmlem3  27083  lgamgulmlem5  27085  lgamgulmlem6  27086  lgamgulm2  27088  lgamcvg2  27107  gamcvg  27108  gamcvg2lem  27111  regamcl  27113  iprodgam  36053