MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmgmdivn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmgmdivn0 26375
Description: Lemma for lgamf 26389. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dmgmn0.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmdivn0.a (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dmgmdivn0 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + 1) ≠ 0)

Proof of Theorem dmgmdivn0
StepHypRef Expression
1 dmgmn0.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21eldifad 3922 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 dmgmdivn0.a . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nncnd 12168 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
53nnne0d 12202 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
62, 4, 4, 5divdird 11968 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) = ((𝐴 / 𝑀) + (𝑀 / 𝑀)))
74, 5dividd 11928 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 / 𝑀) = 1)
87oveq2d 7372 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + (𝑀 / 𝑀)) = ((𝐴 / 𝑀) + 1))
96, 8eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) = ((𝐴 / 𝑀) + 1))
102, 4addcld 11173 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝑀) ∈ ℂ)
113nnnn0d 12472 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
12 dmgmaddn0 26370 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑀) ≠ 0)
131, 11, 12syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝑀) ≠ 0)
1410, 4, 13, 5divne0d 11946 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑀) / 𝑀) ≠ 0)
159, 14eqnetrrd 3012 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑀) + 1) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  (class class class)co 7356  cc 11048  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053   / cdiv 11811  cn 12152  0cn0 12412  cz 12498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  26377  lgamgulmlem3  26378  lgamgulmlem5  26380  lgamgulmlem6  26381  lgamgulm2  26383  lgamcvg2  26402  gamcvg  26403  gamcvg2lem  26406  regamcl  26408  iprodgam  34255
  Copyright terms: Public domain W3C validator