Theorem hoiprodcl3 46861

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl3.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl3.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoiprodcl3.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl3	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11181	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11188	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		hoiprodcl3.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		hoiprodcl3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		hoiprodcl3.a	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		hoiprodcl3.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		volico 46264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
11	8, 7	resubcld 11567	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
12		0red 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
13	11, 12	ifcld 4525	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) ∈ ℝ)
14	10, 13	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
15	5, 6, 14	fprodreclf 15884	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ*)
17	8	rexrd 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		icombl 25523	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
19	7, 17, 18	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
20		volge0 46242	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
22	5, 6, 14, 21	fprodge0 15918	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
23	15	ltpnfd 13037	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) < +∞)
24	2, 4, 16, 22, 23	elicod 13313	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ifcif 4478   class class class wbr 5097  dom cdm 5623  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  ℝcr 11027  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  [,)cico 13265  ∏cprod 15828  volcvol 25422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-cmp 23333  df-ovol 25423  df-vol 25424

This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  46882