Theorem hoiprodcl3 45891

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl3.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl3.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoiprodcl3.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl3	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11283	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11290	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		hoiprodcl3.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		hoiprodcl3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		hoiprodcl3.a	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		hoiprodcl3.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		volico 45294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
11	8, 7	resubcld 11664	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
12		0red 11239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
13	11, 12	ifcld 4570	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) ∈ ℝ)
14	10, 13	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
15	5, 6, 14	fprodreclf 15927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11286	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ*)
17	8	rexrd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		icombl 25480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
19	7, 17, 18	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
20		volge0 45272	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
22	5, 6, 14, 21	fprodge0 15961	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
23	15	ltpnfd 13125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) < +∞)
24	2, 4, 16, 22, 23	elicod 13398	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  ℝcr 11129  0cc0 11130  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466  [,)cico 13350  ∏cprod 15873  volcvol 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-prod 15874  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cmp 23278  df-ovol 25380  df-vol 25381

This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  45912