Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodcl3 44923
Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodcl3.k 𝑘𝜑
hoiprodcl3.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl3.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoiprodcl3.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoiprodcl3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl3
StepHypRef Expression
1 0xr 11212 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11219 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 hoiprodcl3.k . . . 4 𝑘𝜑
6 hoiprodcl3.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 hoiprodcl3.a . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 hoiprodcl3.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 volico 44326 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
107, 8, 9syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
118, 7resubcld 11593 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
12 0red 11168 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1311, 12ifcld 4538 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) ∈ ℝ)
1410, 13eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
155, 6, 14fprodreclf 15854 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
1615rexrd 11215 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ*)
178rexrd 11215 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 icombl 24966 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
197, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
20 volge0 44304 . . . 4 ((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
225, 6, 14, 21fprodge0 15888 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
2315ltpnfd 13052 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) < +∞)
242, 4, 16, 22, 23elicod 13325 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  ifcif 4492   class class class wbr 5111  dom cdm 5639  cfv 6502  (class class class)co 7363  Fincfn 8891  cr 11060  0cc0 11061  +∞cpnf 11196  *cxr 11198   < clt 11199  cle 11200  cmin 11395  [,)cico 13277  cprod 15800  volcvol 24865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-inf2 9587  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7623  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-2o 8419  df-er 8656  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9456  df-dju 9847  df-card 9885  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-q 12884  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13436  df-fzo 13579  df-fl 13708  df-seq 13918  df-exp 13979  df-hash 14242  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-clim 15383  df-rlim 15384  df-sum 15584  df-prod 15801  df-rest 17319  df-topgen 17340  df-psmet 20826  df-xmet 20827  df-met 20828  df-bl 20829  df-mopn 20830  df-top 22281  df-topon 22298  df-bases 22334  df-cmp 22776  df-ovol 24866  df-vol 24867
This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  44944
  Copyright terms: Public domain W3C validator