Theorem hoiprodcl3 46967

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl3.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl3.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoiprodcl3.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl3	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11193	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11200	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		hoiprodcl3.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		hoiprodcl3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		hoiprodcl3.a	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		hoiprodcl3.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		volico 46370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
11	8, 7	resubcld 11579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
12		0red 11149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
13	11, 12	ifcld 4528	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) ∈ ℝ)
14	10, 13	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
15	5, 6, 14	fprodreclf 15896	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11196	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ*)
17	8	rexrd 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		icombl 25538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
19	7, 17, 18	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
20		volge0 46348	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
22	5, 6, 14, 21	fprodge0 15930	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
23	15	ltpnfd 13049	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) < +∞)
24	2, 4, 16, 22, 23	elicod 13325	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100  dom cdm 5634  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Fincfn 8897  ℝcr 11039  0cc0 11040  +∞cpnf 11177  ℝ^*cxr 11179   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  [,)cico 13277  ∏cprod 15840  volcvol 25437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-prod 15841  df-rest 17356  df-topgen 17377  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-top 22855  df-topon 22872  df-bases 22907  df-cmp 23348  df-ovol 25438  df-vol 25439

This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  46988