Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem1 45636
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem1.i β„²π‘–πœ‘
hoiqssbllem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
hoiqssbllem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢:π‘‹βŸΆβ„)
hoiqssbllem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷:π‘‹βŸΆβ„)
hoiqssbllem1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
hoiqssbllem1.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖)   𝐢(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem1.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
21elexd 3493 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
3 elmapfn 8861 . . . 4 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
5 hoiqssbllem1.i . . . 4 β„²π‘–πœ‘
6 hoiqssbllem1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢:π‘‹βŸΆβ„)
76ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
87rexrd 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
9 hoiqssbllem1.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷:π‘‹βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ ℝ)
1110rexrd 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
12 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
131, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
1413ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
1514rexrd 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
16 hoiqssbllem1.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
17 2rp 12983 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
19 hoiqssbllem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
20 hoiqssbllem1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21 hashnncl 14330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2319, 22mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•)
2423nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2523nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘‹))
2624, 25elrpd 13017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 15362 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)) ∈ ℝ+)
2818, 27rpmulcld 13036 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))) ∈ ℝ+)
2916, 28rpdivcld 13037 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
3029rpred 13020 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ)
3130adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ)
3214, 31resubcld 11646 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
3332rexrd 11268 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
34 hoiqssbllem1.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
35 iooltub 44521 . . . . . . . 8 ((((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (πΆβ€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (πΆβ€˜π‘–) < (π‘Œβ€˜π‘–))
3633, 15, 34, 35syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) < (π‘Œβ€˜π‘–))
377, 14, 36ltled 11366 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–))
3814, 31readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
3938rexrd 11268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
40 hoiqssbllem1.r . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
41 ioogtlb 44506 . . . . . . 7 (((π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) < (π·β€˜π‘–))
4215, 39, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) < (π·β€˜π‘–))
438, 11, 15, 37, 42elicod 13378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
4443ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–))))
455, 44ralrimi 3252 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
462, 4, 453jca 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ V ∧ π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–))))
47 elixp2 8897 . 2 (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)) ↔ (π‘Œ ∈ V ∧ π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–))))
4846, 47sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Xcixp 8893  Fincfn 8941  β„cr 11111   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  β™―chash 14294  βˆšcsqrt 15184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  45638
  Copyright terms: Public domain W3C validator