Theorem hoiqssbllem1 47632

Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiqssbllem1.i	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
hoiqssbllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
hoiqssbllem1.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))

Assertion

Ref	Expression
hoiqssbllem1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiqssbllem1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
2	1	elexd 3473	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
3		elmapfn 8887	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌 Fn 𝑋)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑋)
5		hoiqssbllem1.i	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
6		hoiqssbllem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ*)
9		hoiqssbllem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℝ)
10	9	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℝ*)
12		elmapi 8869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
13	1, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ*)
16		hoiqssbllem1.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
17		2rp 13125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
19		hoiqssbllem1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
20		hoiqssbllem1.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
21		hashnncl 14510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
25	23	nngt0d 12387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
26	24, 25	elrpd 13161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
27	26	rpsqrtcld 15579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
28	18, 27	rpmulcld 13180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
29	16, 28	rpdivcld 13181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
32	14, 31	resubcld 11744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
34		hoiqssbllem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
35		iooltub 46522	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) → (𝐶‘𝑖) < (𝑌‘𝑖))
36	33, 15, 34, 35	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) < (𝑌‘𝑖))
37	7, 14, 36	ltled 11458	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ≤ (𝑌‘𝑖))
38	14, 31	readdcld 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
40		hoiqssbllem1.r	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
41		ioogtlb 46507	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌‘𝑖) < (𝐷‘𝑖))
42	15, 39, 40, 41	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) < (𝐷‘𝑖))
43	8, 11, 15, 37, 42	elicod 13526	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
44	43	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑋 → (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖))))
45	5, 44	ralrimi 3260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
46	2, 4, 45	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖))))
47		elixp2 8929	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ↔ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖))))
48	46, 47	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Xcixp 8925  Fincfn 8973  ℝcr 11199   + caddc 11203   · cmul 11205  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120  (,)cioo 13476  [,)cico 13478  ♯chash 14474  √csqrt 15400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402

This theorem is used by:  hoiqssbllem3  47634