Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem1 43673
 Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem1.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem1.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem1.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem1.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
21elexd 3431 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
3 elmapfn 8461 . . . 4 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌 Fn 𝑋)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝑋)
5 hoiqssbllem1.i . . . 4 𝑖𝜑
6 hoiqssbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
76ffvelrnda 6849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
87rexrd 10743 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
9 hoiqssbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
109ffvelrnda 6849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
1110rexrd 10743 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
12 elmapi 8445 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
1413ffvelrnda 6849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
1514rexrd 10743 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
16 hoiqssbllem1.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
17 2rp 12449 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
19 hoiqssbllem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
20 hoiqssbllem1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21 hashnncl 13791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2319, 22mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
2423nnred 11703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
2523nngt0d 11737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
2624, 25elrpd 12483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 14833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
2818, 27rpmulcld 12502 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
2916, 28rpdivcld 12503 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
3029rpred 12486 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3130adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3214, 31resubcld 11120 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3332rexrd 10743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
34 hoiqssbllem1.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
35 iooltub 42559 . . . . . . . 8 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
3633, 15, 34, 35syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
377, 14, 36ltled 10840 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
3814, 31readdcld 10722 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3938rexrd 10743 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
40 hoiqssbllem1.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
41 ioogtlb 42544 . . . . . . 7 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
4215, 39, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
438, 11, 15, 37, 42elicod 12843 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑋 → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
455, 44ralrimi 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
462, 4, 453jca 1126 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
47 elixp2 8497 . 2 (𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
4846, 47sylibr 237 1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  Vcvv 3410  ∅c0 4228   class class class wbr 5037   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157   ↑m cmap 8423  Xcixp 8493  Fincfn 8541  ℝcr 10588   + caddc 10592   · cmul 10594  ℝ*cxr 10726   < clt 10727   − cmin 10922   / cdiv 11349  ℕcn 11688  2c2 11743  ℝ+crp 12444  (,)cioo 12793  [,)cico 12795  ♯chash 13754  √csqrt 14654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-map 8425  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-sup 8953  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-rp 12445  df-ioo 12797  df-ico 12799  df-fz 12954  df-seq 13433  df-exp 13494  df-hash 13755  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656 This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  43675
 Copyright terms: Public domain W3C validator