Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem1 46578
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem1.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem1.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem1.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem1.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
21elexd 3502 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
3 elmapfn 8904 . . . 4 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌 Fn 𝑋)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝑋)
5 hoiqssbllem1.i . . . 4 𝑖𝜑
6 hoiqssbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
76ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
87rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
9 hoiqssbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
109ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
1110rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
12 elmapi 8888 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
1413ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
1514rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
16 hoiqssbllem1.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
17 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
19 hoiqssbllem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
20 hoiqssbllem1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21 hashnncl 14402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2319, 22mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
2423nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
2523nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
2624, 25elrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 15447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
2818, 27rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
2916, 28rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
3029rpred 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3214, 31resubcld 11689 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3332rexrd 11309 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
34 hoiqssbllem1.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
35 iooltub 45463 . . . . . . . 8 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
3633, 15, 34, 35syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
377, 14, 36ltled 11407 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
3814, 31readdcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3938rexrd 11309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
40 hoiqssbllem1.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
41 ioogtlb 45448 . . . . . . 7 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
4215, 39, 40, 41syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
438, 11, 15, 37, 42elicod 13434 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑋 → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
455, 44ralrimi 3255 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
462, 4, 453jca 1127 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
47 elixp2 8940 . 2 (𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
4846, 47sylibr 234 1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wnf 1780  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  c0 4339   class class class wbr 5148   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Xcixp 8936  Fincfn 8984  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  chash 14366  csqrt 15269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  46580
  Copyright terms: Public domain W3C validator