Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem1 45016
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem1.i β„²π‘–πœ‘
hoiqssbllem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
hoiqssbllem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢:π‘‹βŸΆβ„)
hoiqssbllem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷:π‘‹βŸΆβ„)
hoiqssbllem1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
hoiqssbllem1.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖)   𝐢(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem1.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
21elexd 3479 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
3 elmapfn 8825 . . . 4 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
5 hoiqssbllem1.i . . . 4 β„²π‘–πœ‘
6 hoiqssbllem1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢:π‘‹βŸΆβ„)
76ffvelcdmda 7055 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
87rexrd 11229 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
9 hoiqssbllem1.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷:π‘‹βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7055 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ ℝ)
1110rexrd 11229 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
12 elmapi 8809 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
131, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
1413ffvelcdmda 7055 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
1514rexrd 11229 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
16 hoiqssbllem1.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
17 2rp 12944 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
19 hoiqssbllem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
20 hoiqssbllem1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21 hashnncl 14291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2319, 22mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•)
2423nnred 12192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2523nngt0d 12226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘‹))
2624, 25elrpd 12978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 15323 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)) ∈ ℝ+)
2818, 27rpmulcld 12997 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))) ∈ ℝ+)
2916, 28rpdivcld 12998 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
3029rpred 12981 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ)
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ)
3214, 31resubcld 11607 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
3332rexrd 11229 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
34 hoiqssbllem1.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
35 iooltub 43901 . . . . . . . 8 ((((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (πΆβ€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (πΆβ€˜π‘–) < (π‘Œβ€˜π‘–))
3633, 15, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) < (π‘Œβ€˜π‘–))
377, 14, 36ltled 11327 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–))
3814, 31readdcld 11208 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
3938rexrd 11229 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
40 hoiqssbllem1.r . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
41 ioogtlb 43886 . . . . . . 7 (((π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) < (π·β€˜π‘–))
4215, 39, 40, 41syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) < (π·β€˜π‘–))
438, 11, 15, 37, 42elicod 13339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
4443ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–))))
455, 44ralrimi 3251 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
462, 4, 453jca 1128 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ V ∧ π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–))))
47 elixp2 8861 . 2 (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)) ↔ (π‘Œ ∈ V ∧ π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–))))
4846, 47sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3459  βˆ…c0 4302   class class class wbr 5125   Fn wfn 6511  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ↑m cmap 8787  Xcixp 8857  Fincfn 8905  β„cr 11074   + caddc 11078   Β· cmul 11080  β„*cxr 11212   < clt 11213   βˆ’ cmin 11409   / cdiv 11836  β„•cn 12177  2c2 12232  β„+crp 12939  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  β™―chash 14255  βˆšcsqrt 15145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fz 13450  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  45018
  Copyright terms: Public domain W3C validator