Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem1 42466
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem1.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem1.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
hoiqssbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem1.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem1.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
21elexd 3457 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
3 elmapfn 8279 . . . 4 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑌 Fn 𝑋)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝑋)
5 hoiqssbllem1.i . . . 4 𝑖𝜑
6 hoiqssbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
76ffvelrnda 6716 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
87rexrd 10537 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
9 hoiqssbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
109ffvelrnda 6716 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
1110rexrd 10537 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
12 elmapi 8278 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
1413ffvelrnda 6716 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
1514rexrd 10537 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
16 hoiqssbllem1.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
17 2rp 12244 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
19 hoiqssbllem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
20 hoiqssbllem1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21 hashnncl 13577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2319, 22mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
2423nnred 11501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
2523nngt0d 11534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
2624, 25elrpd 12278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 14605 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
2818, 27rpmulcld 12297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
2916, 28rpdivcld 12298 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
3029rpred 12281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3214, 31resubcld 10916 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3332rexrd 10537 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
34 hoiqssbllem1.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
35 iooltub 41347 . . . . . . . 8 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
3633, 15, 34, 35syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
377, 14, 36ltled 10635 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
3814, 31readdcld 10516 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3938rexrd 10537 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
40 hoiqssbllem1.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
41 ioogtlb 41331 . . . . . . 7 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
4215, 39, 40, 41syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
438, 11, 15, 37, 42elicod 12637 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑋 → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
455, 44ralrimi 3183 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
462, 4, 453jca 1121 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
47 elixp2 8314 . 2 (𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
4846, 47sylibr 235 1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wnf 1765  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  Vcvv 3437  c0 4211   class class class wbr 4962   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑚 cmap 8256  Xcixp 8310  Fincfn 8357  cr 10382   + caddc 10386   · cmul 10388  *cxr 10520   < clt 10521  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  +crp 12239  (,)cioo 12588  [,)cico 12590  chash 13540  csqrt 14426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  42468
  Copyright terms: Public domain W3C validator