Theorem hoiqssbllem1 46933

Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiqssbllem1.i	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
hoiqssbllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
hoiqssbllem1.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))

Assertion

Ref	Expression
hoiqssbllem1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiqssbllem1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
2	1	elexd 3465	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
3		elmapfn 8806	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌 Fn 𝑋)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑋)
5		hoiqssbllem1.i	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
6		hoiqssbllem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ*)
9		hoiqssbllem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℝ)
10	9	ffvelcdmda 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℝ*)
12		elmapi 8790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ*)
16		hoiqssbllem1.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
17		2rp 12914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
19		hoiqssbllem1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
20		hoiqssbllem1.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
21		hashnncl 14293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
25	23	nngt0d 12198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
26	24, 25	elrpd 12950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
27	26	rpsqrtcld 15339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
28	18, 27	rpmulcld 12969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
29	16, 28	rpdivcld 12970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
32	14, 31	resubcld 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
34		hoiqssbllem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
35		iooltub 45823	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) → (𝐶‘𝑖) < (𝑌‘𝑖))
36	33, 15, 34, 35	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) < (𝑌‘𝑖))
37	7, 14, 36	ltled 11285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ≤ (𝑌‘𝑖))
38	14, 31	readdcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
40		hoiqssbllem1.r	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
41		ioogtlb 45808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌‘𝑖) < (𝐷‘𝑖))
42	15, 39, 40, 41	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) < (𝐷‘𝑖))
43	8, 11, 15, 37, 42	elicod 13315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
44	43	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑋 → (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖))))
45	5, 44	ralrimi 3235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
46	2, 4, 45	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖))))
47		elixp2 8843	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ↔ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑖) ∈ ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖))))
48	46, 47	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3441  ∅c0 4286   class class class wbr 5099   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Xcixp 8839  Fincfn 8887  ℝcr 11029   + caddc 11033   · cmul 11035  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  2c2 12204  ℝ⁺crp 12909  (,)cioo 13265  [,)cico 13267  ♯chash 14257  √csqrt 15160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-fz 13428  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162

This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  46935