Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodcl 41549
Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodcl.1 𝑘𝜑
hoiprodcl.2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoiprodcl (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl
StepHypRef Expression
1 0xr 10410 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 10417 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 hoiprodcl.1 . . . 4 𝑘𝜑
6 hoiprodcl.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 hoiprodcl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
87adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
108, 9fvovco 40184 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))))
1110fveq2d 6441 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))))
127ffvelrnda 6613 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13 xp1st 7465 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
15 xp2nd 7466 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
17 volico 40988 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1814, 16, 17syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1911, 18eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
2016, 14resubcld 10789 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))) ∈ ℝ)
21 0red 10367 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2220, 21ifcld 4353 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2906 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
245, 6, 23fprodreclf 15069 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
2524rexrd 10413 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
2616rexrd 10413 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*)
27 icombl 23737 . . . . . 6 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2814, 26, 27syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2910, 28eqeltrd 2906 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30 volge0 40965 . . . 4 ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
325, 6, 23, 31fprodge0 15103 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3324ltpnfd 12248 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
342, 4, 25, 32, 33elicod 12519 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wnf 1882  wcel 2164  ifcif 4308   class class class wbr 4875   × cxp 5344  dom cdm 5346  ccom 5350  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  1st c1st 7431  2nd c2nd 7432  Fincfn 8228  cr 10258  0cc0 10259  +∞cpnf 10395  *cxr 10397   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  [,)cico 12472  cprod 15015  volcvol 23636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-prod 15016  df-rest 16443  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-cmp 21568  df-ovol 23637  df-vol 23638
This theorem is referenced by:  ovnprodcl  41556  hoiprodcl2  41557  ovnhoilem1  41603
  Copyright terms: Public domain W3C validator