Theorem hoiprodcl 47760

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11380	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11387	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		hoiprodcl.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		hoiprodcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		hoiprodcl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
10	8, 9	fvovco 46411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))))
11	10	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))))
12	7	ffvelcdmda 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13		xp1st 8054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		xp2nd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
17		volico 47196	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
18	14, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
19	11, 18	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
20	16, 14	resubcld 11768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ ℝ)
21		0red 11335	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
22	20, 21	ifcld 4532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
24	5, 6, 23	fprodreclf 16152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11383	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
26	16	rexrd 11383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*)
27		icombl 25912	. . . . . 6 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ dom vol)
28	14, 26, 27	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ dom vol)
29	10, 28	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30		volge0 47174	. . . 4 ⊢ ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
31	29, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
32	5, 6, 23, 31	fprodge0 16186	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
33	24	ltpnfd 13274	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
34	2, 4, 25, 32, 33	elicod 13550	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106   × cxp 5653  dom cdm 5655   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1^st c1st 8020  2^nd c2nd 8021  Fincfn 8998  ℝcr 11223  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565  [,)cico 13502  ∏cprod 16098  volcvol 25811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-prod 16099  df-rest 17619  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-cmp 23732  df-ovol 25812  df-vol 25813

This theorem is used by:  ovnprodcl  47767  hoiprodcl2  47768  ovnhoilem1  47814