Theorem hoiprodcl 46538

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11197	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11204	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		hoiprodcl.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		hoiprodcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		hoiprodcl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
10	8, 9	fvovco 45180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))))
11	10	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))))
12	7	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13		xp1st 7979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		xp2nd 7980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
17		volico 45974	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
19	11, 18	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
20	16, 14	resubcld 11582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ ℝ)
21		0red 11153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
22	20, 21	ifcld 4531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
24	5, 6, 23	fprodreclf 15901	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11200	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
26	16	rexrd 11200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*)
27		icombl 25498	. . . . . 6 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ dom vol)
28	14, 26, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ dom vol)
29	10, 28	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30		volge0 45952	. . . 4 ⊢ ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
32	5, 6, 23, 31	fprodge0 15935	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
33	24	ltpnfd 13057	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
34	2, 4, 25, 32, 33	elicod 13332	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ifcif 4484   class class class wbr 5102   × cxp 5629  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1^st c1st 7945  2^nd c2nd 7946  Fincfn 8895  ℝcr 11043  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  [,)cico 13284  ∏cprod 15845  volcvol 25397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-prod 15846  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cmp 23307  df-ovol 25398  df-vol 25399

This theorem is referenced by:  ovnprodcl  46545  hoiprodcl2  46546  ovnhoilem1  46592