Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodcl 46073
Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodcl.1 𝑘𝜑
hoiprodcl.2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoiprodcl (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl
StepHypRef Expression
1 0xr 11293 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11300 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 hoiprodcl.1 . . . 4 𝑘𝜑
6 hoiprodcl.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 hoiprodcl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
87adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
108, 9fvovco 44705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))))
1110fveq2d 6900 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))))
127ffvelcdmda 7093 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13 xp1st 8026 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
15 xp2nd 8027 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
17 volico 45509 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1814, 16, 17syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1911, 18eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
2016, 14resubcld 11674 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))) ∈ ℝ)
21 0red 11249 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2220, 21ifcld 4576 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
245, 6, 23fprodreclf 15939 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
2524rexrd 11296 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
2616rexrd 11296 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*)
27 icombl 25537 . . . . . 6 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2814, 26, 27syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2910, 28eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30 volge0 45487 . . . 4 ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
325, 6, 23, 31fprodge0 15973 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3324ltpnfd 13136 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
342, 4, 25, 32, 33elicod 13409 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  ifcif 4530   class class class wbr 5149   × cxp 5676  dom cdm 5678  ccom 5682  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  1st c1st 7992  2nd c2nd 7993  Fincfn 8964  cr 11139  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  [,)cico 13361  cprod 15885  volcvol 25436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-prod 15886  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cmp 23335  df-ovol 25437  df-vol 25438
This theorem is referenced by:  ovnprodcl  46080  hoiprodcl2  46081  ovnhoilem1  46127
  Copyright terms: Public domain W3C validator