Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodcl 42823
Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodcl.1 𝑘𝜑
hoiprodcl.2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoiprodcl (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl
StepHypRef Expression
1 0xr 10682 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 10689 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 hoiprodcl.1 . . . 4 𝑘𝜑
6 hoiprodcl.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 hoiprodcl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
87adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
108, 9fvovco 41448 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))))
1110fveq2d 6668 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))))
127ffvelrnda 6845 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13 xp1st 7715 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
15 xp2nd 7716 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
17 volico 42262 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1814, 16, 17syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1911, 18eqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
2016, 14resubcld 11062 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))) ∈ ℝ)
21 0red 10638 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2220, 21ifcld 4511 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2913 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
245, 6, 23fprodreclf 15307 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
2524rexrd 10685 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
2616rexrd 10685 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*)
27 icombl 24159 . . . . . 6 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2814, 26, 27syl2anc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2910, 28eqeltrd 2913 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30 volge0 42239 . . . 4 ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
325, 6, 23, 31fprodge0 15341 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3324ltpnfd 12510 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
342, 4, 25, 32, 33elicod 12781 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wnf 1780  wcel 2110  ifcif 4466   class class class wbr 5058   × cxp 5547  dom cdm 5549  ccom 5553  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7150  1st c1st 7681  2nd c2nd 7682  Fincfn 8503  cr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  [,)cico 12734  cprod 15253  volcvol 24058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-prod 15254  df-rest 16690  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cmp 21989  df-ovol 24059  df-vol 24060
This theorem is referenced by:  ovnprodcl  42830  hoiprodcl2  42831  ovnhoilem1  42877
  Copyright terms: Public domain W3C validator