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Theorem mod42tp1mod8 47527
Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
mod42tp1mod8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 12347 . . . . 5 4 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3 3nn0 12542 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5 3lt4 12438 . . . . 5 3 < 4
64, 5jctir 520 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7 modremain 16442 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
82, 6, 7mpd3an23 1462 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9 2cnd 12342 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11 4z 12649 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
1310, 12zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
1413zcnd 12721 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15 3cn 12345 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
179, 14, 16adddid 11283 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
1810zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19 4cn 12349 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
219, 18, 20mul12d 11468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22 2cn 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
23 4t2e8 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
2419, 22, 23mulcomli 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
2524oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
2621, 25eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
27 3t2e6 12430 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
2815, 22, 27mulcomli 11268 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = 6
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
3026, 29oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
3117, 30eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
3231oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
34 8nn 12359 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
3534nnzi 12639 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
3733, 36zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
3837zcnd 12721 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
39 6cn 12355 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
41 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
4238, 40, 41addassd 11281 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
43 6p1e7 12412 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
4544oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
4642, 45eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4746adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4832, 47eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4948oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
50 nnrp 13044 . . . . . . . . 9 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
5134, 50mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
52 0xr 11306 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
54 8re 12360 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
5554rexri 11317 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
57 7re 12357 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
5857rexri 11317 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
60 0re 11261 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 7pos 12375 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
6260, 57, 61ltleii 11382 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 7
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
64 7lt8 12456 . . . . . . . . . 10 7 < 8
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
6653, 56, 59, 63, 65elicod 13434 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
67 muladdmodid 13948 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
6851, 66, 67mpd3an23 1462 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
6968adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
7049, 69eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
7271oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
7372oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
7473eqeq1d 2737 . . . . 5 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7570, 74syl5ibcom 245 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7675rexlimdva 3153 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
778, 76sylbid 240 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7877imp 406 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  [,)cico 13386   mod cmo 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  47529
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