Theorem mod42tp1mod8 48175

Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mod42tp1mod8	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12298	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3		3nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5		3lt4 12391	. . . . 5 ⊢ 3 < 4
6	4, 5	jctir 528	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7		modremain 16425	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
8	2, 6, 7	mpd3an23 1483	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9		2cnd 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11		4z 12602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 12680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15		3cn 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
17	9, 14, 16	adddid 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
18	10	zcnd 12675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19		4cn 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
21	9, 18, 20	mul12d 11389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22		2t4e8 12384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
23	22	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
24	21, 23	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
25		2t3e6 12381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
27	24, 26	oveq12d 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
28	17, 27	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
29	28	oveq1d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
31		8nn 12310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
32	31	nnzi 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
34	30, 33	zmulcld 12680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
36		6cn 12306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
38		1cnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	addassd 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
40		6p1e7 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 1) = 7
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
42	41	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
43	39, 42	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
44	43	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
45	29, 44	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
46	45	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
47		nnrp 13002	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
48	31, 47	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
49		0xr 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
51		8re 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
52	51	rexri 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ*
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
54		7re 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
55	54	rexri 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
57		0re 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		7pos 12329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 7
59	57, 54, 58	ltleii 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 7
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
61		7lt8 12409	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 < 8
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
63	50, 53, 56, 60, 62	elicod 13396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
64		muladdmodid 13920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
65	48, 63, 64	mpd3an23 1483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
66	65	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
67	46, 66	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
68		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
69	68	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
70	69	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
71	70	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
72	67, 71	syl5ibcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
73	72	rexlimdva 3162	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
74	8, 73	sylbid 242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
75	74	imp 410	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  6c6 12273  7c7 12274  8c8 12275  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990  [,)cico 13348   mod cmo 13876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-ico 13352  df-fz 13510  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270

This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  48177