Theorem mod42tp1mod8 48395

Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mod42tp1mod8	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12342	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3		3nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5		3lt4 12435	. . . . 5 ⊢ 3 < 4
6	4, 5	jctir 530	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7		modremain 16491	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
8	2, 6, 7	mpd3an23 1492	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9		2cnd 12337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11		4z 12646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 12724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15		3cn 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
17	9, 14, 16	adddid 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
18	10	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19		4cn 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
21	9, 18, 20	mul12d 11437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22		2t4e8 12428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
23	22	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
24	21, 23	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
25		2t3e6 12425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
27	24, 26	oveq12d 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
28	17, 27	eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
29	28	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
30		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
31		8nn 12354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
32	31	nnzi 12636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
34	30, 33	zmulcld 12724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
36		6cn 12350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
38		1cnd 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	addassd 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
40		6p1e7 12406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 1) = 7
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
42	41	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
43	39, 42	eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
44	43	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
45	29, 44	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
46	45	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
47		nnrp 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
48	31, 47	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
49		0xr 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
51		8re 12355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
52	51	rexri 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ*
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
54		7re 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
55	54	rexri 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
57		0re 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		7pos 12373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 7
59	57, 54, 58	ltleii 11351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 7
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
61		7lt8 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 < 8
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
63	50, 53, 56, 60, 62	elicod 13440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
64		muladdmodid 13966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
65	48, 63, 64	mpd3an23 1492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
66	65	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
67	46, 66	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
68		oveq2 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
69	68	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
70	69	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
71	70	eqeq1d 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
72	67, 71	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
73	72	rexlimdva 3169	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
74	8, 73	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
75	74	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  6c6 12317  7c7 12318  8c8 12319  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13392   mod cmo 13922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336

This theorem is used by:  sgprmdvdsmersenne  48397