Theorem mod42tp1mod8 47001

Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mod42tp1mod8	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12320	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3		3nn0 12515	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5		3lt4 12411	. . . . 5 ⊢ 3 < 4
6	4, 5	jctir 519	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7		modremain 16379	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
8	2, 6, 7	mpd3an23 1459	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9		2cnd 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11		4z 12621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 12697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15		3cn 12318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
17	9, 14, 16	adddid 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
18	10	zcnd 12692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19		4cn 12322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
21	9, 18, 20	mul12d 11448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22		2cn 12312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		4t2e8 12405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
24	19, 22, 23	mulcomli 11248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
25	24	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
26	21, 25	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
27		3t2e6 12403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
28	15, 22, 27	mulcomli 11248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
30	26, 29	oveq12d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
31	17, 30	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
32	31	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
33		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
34		8nn 12332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
35	34	nnzi 12611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
37	33, 36	zmulcld 12697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
39		6cn 12328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
41		1cnd 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
42	38, 40, 41	addassd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
43		6p1e7 12385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 1) = 7
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
45	44	oveq2d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
46	42, 45	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
47	46	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
48	32, 47	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
49	48	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
50		nnrp 13012	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
51	34, 50	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
52		0xr 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
54		8re 12333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
55	54	rexri 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
57		7re 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
58	57	rexri 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℝ*
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
60		0re 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		7pos 12348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 7
62	60, 57, 61	ltleii 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 7
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
64		7lt8 12429	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 < 8
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
66	53, 56, 59, 63, 65	elicod 13401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
67		muladdmodid 13903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
68	51, 66, 67	mpd3an23 1459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
69	68	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
70	49, 69	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71		oveq2 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
72	71	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
73	72	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
74	73	eqeq1d 2727	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
75	70, 74	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
76	75	rexlimdva 3145	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
77	8, 76	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
78	77	imp 405	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138  ℝ^*cxr 11272   < clt 11273   ≤ cle 11274  ℕcn 12237  2c2 12292  3c3 12293  4c4 12294  6c6 12296  7c7 12297  8c8 12298  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ℝ⁺crp 13001  [,)cico 13353   mod cmo 13861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226

This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  47003