Theorem mod42tp1mod8 42367

Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mod42tp1mod8	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 11442	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3		3nn0 11645	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5		3lt4 11539	. . . . 5 ⊢ 3 < 4
6	4, 5	jctir 516	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7		modremain 15512	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
8	2, 6, 7	mpd3an23 1591	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9		2cnd 11436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10		simpr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11		4z 11746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 11823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15		3cn 11439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
17	9, 14, 16	adddid 10388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
18	10	zcnd 11818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19		4cn 11444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
21	9, 18, 20	mul12d 10571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22		2cn 11433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		4t2e8 11533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
24	19, 22, 23	mulcomli 10373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
25	24	oveq2i 6921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
26	21, 25	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
27		3t2e6 11531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
28	15, 22, 27	mulcomli 10373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
30	26, 29	oveq12d 6928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
31	17, 30	eqtrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
32	31	oveq1d 6925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
33		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
34		8nn 11458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
35	34	nnzi 11736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
37	33, 36	zmulcld 11823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
39		6cn 11452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
41		1cnd 10358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
42	38, 40, 41	addassd 10386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
43		6p1e7 11513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 1) = 7
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
45	44	oveq2d 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
46	42, 45	eqtrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
47	46	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
48	32, 47	eqtrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
49	48	oveq1d 6925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
50		nnrp 12132	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
51	34, 50	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
52		0xr 10410	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
54		8re 11459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
55	54	rexri 10422	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
57		7re 11455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
58	57	rexri 10422	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℝ*
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
60		0re 10365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		7pos 11476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 7
62	60, 57, 61	ltleii 10486	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 7
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
64		7lt8 11557	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 < 8
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
66	53, 56, 59, 63, 65	elicod 12519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
67		muladdmodid 13012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
68	51, 66, 67	mpd3an23 1591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
69	68	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
70	49, 69	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71		oveq2 6918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
72	71	oveq1d 6925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
73	72	oveq1d 6925	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
74	73	eqeq1d 2827	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
75	70, 74	syl5ibcom 237	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
76	75	rexlimdva 3240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
77	8, 76	sylbid 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
78	77	imp 397	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  ℕcn 11357  2c2 11413  3c3 11414  4c4 11415  6c6 11417  7c7 11418  8c8 11419  ℕ₀cn0 11625  ℤcz 11711  ℝ⁺crp 12119  [,)cico 12472   mod cmo 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-ico 12476  df-fz 12627  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365

This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  42369