Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mod42tp1mod8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod42tp1mod8 46855
Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
mod42tp1mod8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ mod 4) = 3) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 12311 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
21a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
3 3nn0 12506 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„•0
43a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
5 3lt4 12402 . . . . 5 3 < 4
64, 5jctir 520 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (3 โˆˆ โ„•0 โˆง 3 < 4))
7 modremain 16370 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 4 โˆˆ โ„• โˆง (3 โˆˆ โ„•0 โˆง 3 < 4)) โ†’ ((๐‘ mod 4) = 3 โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘))
82, 6, 7mpd3an23 1460 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 4) = 3 โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘))
9 2cnd 12306 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
11 4z 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 4 โˆˆ โ„ค
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
1310, 12zmulcld 12688 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท 4) โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12683 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท 4) โˆˆ โ„‚)
15 3cn 12309 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
179, 14, 16adddid 11254 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) = ((2 ยท (๐‘ง ยท 4)) + (2 ยท 3)))
1810zcnd 12683 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
19 4cn 12313 . . . . . . . . . . . . . 14 4 โˆˆ โ„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
219, 18, 20mul12d 11439 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘ง ยท 4)) = (๐‘ง ยท (2 ยท 4)))
22 2cn 12303 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
23 4t2e8 12396 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ยท 2) = 8
2419, 22, 23mulcomli 11239 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 4) = 8
2524oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง ยท (2 ยท 4)) = (๐‘ง ยท 8)
2621, 25eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘ง ยท 4)) = (๐‘ง ยท 8))
27 3t2e6 12394 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ยท 2) = 6
2815, 22, 27mulcomli 11239 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 3) = 6
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท 3) = 6)
3026, 29oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท (๐‘ง ยท 4)) + (2 ยท 3)) = ((๐‘ง ยท 8) + 6))
3117, 30eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) = ((๐‘ง ยท 8) + 6))
3231oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) = (((๐‘ง ยท 8) + 6) + 1))
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
34 8nn 12323 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 โˆˆ โ„•
3534nnzi 12602 . . . . . . . . . . . . . 14 8 โˆˆ โ„ค
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„ค)
3733, 36zmulcld 12688 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ง ยท 8) โˆˆ โ„ค)
3837zcnd 12683 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ง ยท 8) โˆˆ โ„‚)
39 6cn 12319 . . . . . . . . . . . 12 6 โˆˆ โ„‚
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 6 โˆˆ โ„‚)
41 1cnd 11225 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4238, 40, 41addassd 11252 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 6) + 1) = ((๐‘ง ยท 8) + (6 + 1)))
43 6p1e7 12376 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (6 + 1) = 7)
4544oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ง ยท 8) + (6 + 1)) = ((๐‘ง ยท 8) + 7))
4642, 45eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 6) + 1) = ((๐‘ง ยท 8) + 7))
4746adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 6) + 1) = ((๐‘ง ยท 8) + 7))
4832, 47eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) = ((๐‘ง ยท 8) + 7))
4948oveq1d 7429 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((๐‘ง ยท 8) + 7) mod 8))
50 nnrp 13003 . . . . . . . . 9 (8 โˆˆ โ„• โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
5134, 50mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
52 0xr 11277 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„*
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
54 8re 12324 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„
5554rexri 11288 . . . . . . . . . 10 8 โˆˆ โ„*
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„*)
57 7re 12321 . . . . . . . . . . 11 7 โˆˆ โ„
5857rexri 11288 . . . . . . . . . 10 7 โˆˆ โ„*
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 7 โˆˆ โ„*)
60 0re 11232 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
61 7pos 12339 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
6260, 57, 61ltleii 11353 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 7
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โ‰ค 7)
64 7lt8 12420 . . . . . . . . . 10 7 < 8
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 7 < 8)
6653, 56, 59, 63, 65elicod 13392 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 7 โˆˆ (0[,)8))
67 muladdmodid 13894 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+ โˆง 7 โˆˆ (0[,)8)) โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 7) mod 8) = 7)
6851, 66, 67mpd3an23 1460 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 7) mod 8) = 7)
6968adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 7) mod 8) = 7)
7049, 69eqtrd 2767 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) = (2 ยท ๐‘))
7271oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ ((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 1))
7372oveq1d 7429 . . . . . 6 (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8))
7473eqeq1d 2729 . . . . 5 (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 โ†” (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7))
7570, 74syl5ibcom 244 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7))
7675rexlimdva 3150 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7))
778, 76sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 4) = 3 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7))
7877imp 406 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ mod 4) = 3) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129  โ„*cxr 11263   < clt 11264   โ‰ค cle 11265  โ„•cn 12228  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  6c6 12287  7c7 12288  8c8 12289  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ„+crp 12992  [,)cico 13344   mod cmo 13852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  46857
  Copyright terms: Public domain W3C validator