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Theorem mod42tp1mod8 47079
Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
mod42tp1mod8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 12328 . . . . 5 4 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3 3nn0 12523 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5 3lt4 12419 . . . . 5 3 < 4
64, 5jctir 519 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7 modremain 16388 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
82, 6, 7mpd3an23 1459 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9 2cnd 12323 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11 4z 12629 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
1310, 12zmulcld 12705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
1413zcnd 12700 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15 3cn 12326 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
179, 14, 16adddid 11270 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
1810zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19 4cn 12330 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
219, 18, 20mul12d 11455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22 2cn 12320 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
23 4t2e8 12413 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
2419, 22, 23mulcomli 11255 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
2524oveq2i 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
2621, 25eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
27 3t2e6 12411 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
2815, 22, 27mulcomli 11255 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = 6
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
3026, 29oveq12d 7437 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
3117, 30eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
3231oveq1d 7434 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
34 8nn 12340 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
3534nnzi 12619 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
3733, 36zmulcld 12705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
3837zcnd 12700 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
39 6cn 12336 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
41 1cnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
4238, 40, 41addassd 11268 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
43 6p1e7 12393 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
4544oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
4642, 45eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4746adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4832, 47eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4948oveq1d 7434 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
50 nnrp 13020 . . . . . . . . 9 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
5134, 50mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
52 0xr 11293 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
54 8re 12341 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
5554rexri 11304 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
57 7re 12338 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
5857rexri 11304 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
60 0re 11248 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 7pos 12356 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
6260, 57, 61ltleii 11369 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 7
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
64 7lt8 12437 . . . . . . . . . 10 7 < 8
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
6653, 56, 59, 63, 65elicod 13409 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
67 muladdmodid 13912 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
6851, 66, 67mpd3an23 1459 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
6968adantl 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
7049, 69eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71 oveq2 7427 . . . . . . . 8 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
7271oveq1d 7434 . . . . . . 7 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
7372oveq1d 7434 . . . . . 6 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
7473eqeq1d 2727 . . . . 5 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7570, 74syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7675rexlimdva 3144 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
778, 76sylbid 239 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7877imp 405 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  6c6 12304  7c7 12305  8c8 12306  0cn0 12505  cz 12591  +crp 13009  [,)cico 13361   mod cmo 13870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  47081
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