Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mod42tp1mod8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod42tp1mod8 42127
Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
mod42tp1mod8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 11355 . . . . 5 4 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3 3nn0 11557 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5 3lt4 11451 . . . . 5 3 < 4
64, 5jctir 516 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7 modremain 15414 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
82, 6, 7mpd3an23 1587 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9 2cnd 11349 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11 4z 11657 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
1310, 12zmulcld 11734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
1413zcnd 11729 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15 3cn 11352 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
179, 14, 16adddid 10317 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
1810zcnd 11729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19 4cn 11357 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
219, 18, 20mul12d 10498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22 2cn 11346 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
23 4t2e8 11445 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
2419, 22, 23mulcomli 10302 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
2524oveq2i 6852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
2621, 25syl6eq 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
27 3t2e6 11443 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
2815, 22, 27mulcomli 10302 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = 6
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
3026, 29oveq12d 6859 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
3117, 30eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
3231oveq1d 6856 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
34 8nn 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
3534nnzi 11647 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
3733, 36zmulcld 11734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
3837zcnd 11729 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
39 6cn 11365 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
41 1cnd 10287 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
4238, 40, 41addassd 10315 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
43 6p1e7 11425 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
4544oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
4642, 45eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4746adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4832, 47eqtrd 2798 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4948oveq1d 6856 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
50 nnrp 12040 . . . . . . . . 9 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
5134, 50mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
52 0xr 10339 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
54 8re 11372 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
5554rexri 10350 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
57 7re 11368 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
5857rexri 10350 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
60 0re 10294 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 7pos 11389 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
6260, 57, 61ltleii 10413 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 7
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
64 7lt8 11469 . . . . . . . . . 10 7 < 8
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
6653, 56, 59, 63, 65elicod 12425 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
67 muladdmodid 12917 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
6851, 66, 67mpd3an23 1587 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
6968adantl 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
7049, 69eqtrd 2798 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71 oveq2 6849 . . . . . . . 8 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
7271oveq1d 6856 . . . . . . 7 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
7372oveq1d 6856 . . . . . 6 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
7473eqeq1d 2766 . . . . 5 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7570, 74syl5ibcom 236 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7675rexlimdva 3177 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
778, 76sylbid 231 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7877imp 395 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3055   class class class wbr 4808  (class class class)co 6841  cc 10186  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  *cxr 10326   < clt 10327  cle 10328  cn 11273  2c2 11326  3c3 11327  4c4 11328  6c6 11330  7c7 11331  8c8 11332  0cn0 11537  cz 11623  +crp 12027  [,)cico 12378   mod cmo 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-rp 12028  df-ico 12382  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-dvds 15267
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  42129
  Copyright terms: Public domain W3C validator