Theorem mod42tp1mod8 45394

Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mod42tp1mod8	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12149	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3		3nn0 12344	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5		3lt4 12240	. . . . 5 ⊢ 3 < 4
6	4, 5	jctir 521	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7		modremain 16208	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
8	2, 6, 7	mpd3an23 1462	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9		2cnd 12144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11		4z 12447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15		3cn 12147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
17	9, 14, 16	adddid 11092	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
18	10	zcnd 12520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19		4cn 12151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
21	9, 18, 20	mul12d 11277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22		2cn 12141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		4t2e8 12234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
24	19, 22, 23	mulcomli 11077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
25	24	oveq2i 7340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
26	21, 25	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
27		3t2e6 12232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
28	15, 22, 27	mulcomli 11077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
30	26, 29	oveq12d 7347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
31	17, 30	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
32	31	oveq1d 7344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
33		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
34		8nn 12161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
35	34	nnzi 12437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
37	33, 36	zmulcld 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
39		6cn 12157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
41		1cnd 11063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
42	38, 40, 41	addassd 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
43		6p1e7 12214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 1) = 7
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
45	44	oveq2d 7345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
46	42, 45	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
48	32, 47	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
49	48	oveq1d 7344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
50		nnrp 12834	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
51	34, 50	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
52		0xr 11115	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
54		8re 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
55	54	rexri 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
57		7re 12159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
58	57	rexri 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℝ*
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
60		0re 11070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		7pos 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 7
62	60, 57, 61	ltleii 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 7
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
64		7lt8 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 < 8
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
66	53, 56, 59, 63, 65	elicod 13222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
67		muladdmodid 13724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
68	51, 66, 67	mpd3an23 1462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
69	68	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
70	49, 69	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71		oveq2 7337	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
72	71	oveq1d 7344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
73	72	oveq1d 7344	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
74	73	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
75	70, 74	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
76	75	rexlimdva 3148	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
77	8, 76	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
78	77	imp 407	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3070   class class class wbr 5089  (class class class)co 7329  ℂcc 10962  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969  ℝ^*cxr 11101   < clt 11102   ≤ cle 11103  ℕcn 12066  2c2 12121  3c3 12122  4c4 12123  6c6 12125  7c7 12126  8c8 12127  ℕ₀cn0 12326  ℤcz 12412  ℝ⁺crp 12823  [,)cico 13174   mod cmo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-inf 9292  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-ico 13178  df-fz 13333  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-dvds 16055

This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  45396