Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mod42tp1mod8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod42tp1mod8 45868
Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
mod42tp1mod8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ mod 4) = 3) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 12243 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
21a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
3 3nn0 12438 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„•0
43a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
5 3lt4 12334 . . . . 5 3 < 4
64, 5jctir 522 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (3 โˆˆ โ„•0 โˆง 3 < 4))
7 modremain 16297 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 4 โˆˆ โ„• โˆง (3 โˆˆ โ„•0 โˆง 3 < 4)) โ†’ ((๐‘ mod 4) = 3 โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘))
82, 6, 7mpd3an23 1464 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 4) = 3 โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘))
9 2cnd 12238 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
10 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
11 4z 12544 . . . . . . . . . . . . . 14 4 โˆˆ โ„ค
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
1310, 12zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท 4) โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท 4) โˆˆ โ„‚)
15 3cn 12241 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
179, 14, 16adddid 11186 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) = ((2 ยท (๐‘ง ยท 4)) + (2 ยท 3)))
1810zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
19 4cn 12245 . . . . . . . . . . . . . 14 4 โˆˆ โ„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
219, 18, 20mul12d 11371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘ง ยท 4)) = (๐‘ง ยท (2 ยท 4)))
22 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
23 4t2e8 12328 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ยท 2) = 8
2419, 22, 23mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 4) = 8
2524oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง ยท (2 ยท 4)) = (๐‘ง ยท 8)
2621, 25eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘ง ยท 4)) = (๐‘ง ยท 8))
27 3t2e6 12326 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ยท 2) = 6
2815, 22, 27mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 3) = 6
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท 3) = 6)
3026, 29oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท (๐‘ง ยท 4)) + (2 ยท 3)) = ((๐‘ง ยท 8) + 6))
3117, 30eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) = ((๐‘ง ยท 8) + 6))
3231oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) = (((๐‘ง ยท 8) + 6) + 1))
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
34 8nn 12255 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 โˆˆ โ„•
3534nnzi 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 8 โˆˆ โ„ค
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„ค)
3733, 36zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ง ยท 8) โˆˆ โ„ค)
3837zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ง ยท 8) โˆˆ โ„‚)
39 6cn 12251 . . . . . . . . . . . 12 6 โˆˆ โ„‚
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 6 โˆˆ โ„‚)
41 1cnd 11157 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4238, 40, 41addassd 11184 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 6) + 1) = ((๐‘ง ยท 8) + (6 + 1)))
43 6p1e7 12308 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (6 + 1) = 7)
4544oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ง ยท 8) + (6 + 1)) = ((๐‘ง ยท 8) + 7))
4642, 45eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 6) + 1) = ((๐‘ง ยท 8) + 7))
4746adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 6) + 1) = ((๐‘ง ยท 8) + 7))
4832, 47eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) = ((๐‘ง ยท 8) + 7))
4948oveq1d 7377 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((๐‘ง ยท 8) + 7) mod 8))
50 nnrp 12933 . . . . . . . . 9 (8 โˆˆ โ„• โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
5134, 50mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
52 0xr 11209 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„*
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
54 8re 12256 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„
5554rexri 11220 . . . . . . . . . 10 8 โˆˆ โ„*
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„*)
57 7re 12253 . . . . . . . . . . 11 7 โˆˆ โ„
5857rexri 11220 . . . . . . . . . 10 7 โˆˆ โ„*
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 7 โˆˆ โ„*)
60 0re 11164 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
61 7pos 12271 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
6260, 57, 61ltleii 11285 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 7
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โ‰ค 7)
64 7lt8 12352 . . . . . . . . . 10 7 < 8
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 7 < 8)
6653, 56, 59, 63, 65elicod 13321 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ 7 โˆˆ (0[,)8))
67 muladdmodid 13823 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+ โˆง 7 โˆˆ (0[,)8)) โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 7) mod 8) = 7)
6851, 66, 67mpd3an23 1464 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 7) mod 8) = 7)
6968adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง ยท 8) + 7) mod 8) = 7)
7049, 69eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) = (2 ยท ๐‘))
7271oveq1d 7377 . . . . . . 7 (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ ((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 1))
7372oveq1d 7377 . . . . . 6 (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8))
7473eqeq1d 2739 . . . . 5 (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ((๐‘ง ยท 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 โ†” (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7))
7570, 74syl5ibcom 244 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7))
7675rexlimdva 3153 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท 4) + 3) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7))
778, 76sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 4) = 3 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7))
7877imp 408 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ mod 4) = 3) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) mod 8) = 7)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  [,)cico 13273   mod cmo 13781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  45870
  Copyright terms: Public domain W3C validator