Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvlelem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvlelem5 46050
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Induction step of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvlelem5.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvlelem5.f (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvlelem5.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
hoidmvlelem5.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
hoidmvlelem5.w π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
hoidmvlelem5.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
hoidmvlelem5.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
hoidmvlelem5.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
hoidmvlelem5.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
hoidmvlelem5.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
hoidmvlelem5.s (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
hoidmvlelem5.n (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
hoidmvlelem5 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐴,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐡,𝑓,𝑔   𝐢,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐢,𝑔   𝐷,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐷,𝑔   𝐿,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑒,𝐿,𝑓,𝑔   π‘Š,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑔,π‘Š   π‘Œ,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑒,π‘Œ,𝑓,𝑔   𝑍,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑔,𝑍   πœ‘,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,𝑓,𝑔)   𝐡(𝑒)   𝐢(𝑒,𝑓)   𝐷(𝑒,𝑓)   π‘Š(𝑒,𝑓)   𝑋(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝑍(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem hoidmvlelem5
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 𝑐 𝑀 𝑧 𝑖 𝑙 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘ πœ‘
2 nfre1 3273 . . . . 5 β„²π‘ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )
31, 2nfan 1894 . . . 4 Ⅎ𝑠(πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ))
4 hoidmvlelem5.l . . . 4 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
5 hoidmvlelem5.w . . . . . 6 π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
6 hoidmvlelem5.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
7 hoidmvlelem5.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
8 ssfi 9196 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ Fin)
96, 7, 8syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
10 snfi 9067 . . . . . . . 8 {𝑍} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑍} ∈ Fin)
12 unfi 9195 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
139, 11, 12syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
145, 13eqeltrid 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Fin)
1514adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ π‘Š ∈ Fin)
16 hoidmvlelem5.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
1716adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
18 hoidmvlelem5.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
1918adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
20 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ))
213, 4, 15, 17, 19, 20hoidmvval0 46038 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) = 0)
22 nnex 12248 . . . . . 6 β„• ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
24 icossicc 13445 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
2514adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Fin)
26 hoidmvlelem5.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
2726ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
28 elmapi 8866 . . . . . . . . 9 ((πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
30 hoidmvlelem5.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
3130ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
32 elmapi 8866 . . . . . . . . 9 ((π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
344, 25, 29, 33hoidmvcl 46033 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,)+∞))
3524, 34sselid 3970 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,]+∞))
3635fmpttd 7120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
3723, 36sge0ge0 45835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
3837adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
3921, 38eqbrtrd 5165 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
40 icossxr 13441 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
414, 14, 16, 18hoidmvcl 46033 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ (0[,)+∞))
4240, 41sselid 3970 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ*)
4342adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ*)
4423, 36sge0xrcl 45836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
4544adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
46 rge0ssre 13465 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
4746, 41sselid 3970 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ)
48 ltpnf 13132 . . . . . . . 8 ((𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) < +∞)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) < +∞)
5049adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) < +∞)
51 id 22 . . . . . . . 8 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞)
5251eqcomd 2731 . . . . . . 7 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞ β†’ +∞ = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5352adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ +∞ = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5450, 53breqtrd 5169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) < (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5543, 45, 54xrltled 13161 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5655adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
57 simpll 765 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ πœ‘)
58 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ))
5916ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
6018ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ π‘Š) β†’ (π΅β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
6159, 60ltnled 11391 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ π‘Š) β†’ ((π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ Β¬ (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
6261ralbidva 3166 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘  ∈ π‘Š Β¬ (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
63 ralnex 3062 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘  ∈ π‘Š Β¬ (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ))
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ π‘Š Β¬ (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
6562, 64bitrd 278 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
6665adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
6758, 66mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ))
6867adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ))
69 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞)
7022a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ β„• ∈ V)
7136adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
7270, 71sge0repnf 45837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞))
7369, 72mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
7473adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
75 simpll 765 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )))
76 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΆβ€˜π‘—) = (πΆβ€˜π‘–))
77 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π·β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘–))
7876, 77oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) = ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))
7978cbvmptv 5256 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))
8079fveq2i 6895 . . . . . . . . . 10 (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–))))
8180eleq1i 2816 . . . . . . . . 9 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ ↔ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
8281biimpi 215 . . . . . . . 8 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
8382ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
84 simpr 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
856ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
867ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
87 hoidmvlelem5.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
8887ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
89 hoidmvlelem5.z . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
9089ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
9116ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
9218ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
93 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘ ) = (π΄β€˜π‘˜))
94 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘˜ β†’ (π΅β€˜π‘ ) = (π΅β€˜π‘˜))
9593, 94breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘˜ β†’ ((π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)))
9695cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
9796biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
9897adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
99 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ π‘Š)
100 rspa 3236 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
10198, 99, 100syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
102101ad5ant25 760 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
10326ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
10430ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
10581biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
106105ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
107 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑐 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘–))
108107breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑐 β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ (π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯))
109108, 107ifbieq1d 4548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑐 β†’ if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯) = if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))
110107, 109ifeq12d 4545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑐 β†’ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)) = if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯)))
111110mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))) = (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))))
112 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ π‘Œ ↔ 𝑗 ∈ π‘Œ))
113 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘—))
114113breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ (π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
115114, 113ifbieq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯) = if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))
116112, 113, 115ifbieq12d 4552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯)) = if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))
117116cbvmptv 5256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))
119111, 118eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))
120119cbvmptv 5256 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))
121120mpteq2i 5248 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
122 eqid 2725 . . . . . . . 8 ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ))
123 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
124 oveq1 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘)) = (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))
125124oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) = (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))))
126 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀 ↔ (π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯))
127 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘₯ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘–))
128 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝑀 = π‘₯)
129126, 127, 128ifbieq12d 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = π‘₯ β†’ if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀) = if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))
130129ifeq2d 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 = π‘₯ β†’ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)) = if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))
131130mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀))) = (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))))
132131mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))) = (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))
133132cbvmptv 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))))))
135 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ 𝑀 = 𝑧)
136134, 135fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§))
137136fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)))
138137oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))) = ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™))))
139138mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)))) = (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)))))
140 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΆβ€˜π‘™) = (πΆβ€˜π‘—))
141 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))
142140, 141oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™))) = ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))
143142cbvmptv 5256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))))
145139, 144eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))))
146145fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))
147146oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)))))) = ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))))))
148125, 147breq12d 5156 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)))))) ↔ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))))
149148cbvrabv 3430 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))))))} = {𝑧 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))}
150 eqid 2725 . . . . . . . 8 sup({𝑀 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))))))}, ℝ, < ) = sup({𝑀 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))))))}, ℝ, < )
151 hoidmvlelem5.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
152151ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
153 hoidmvlelem5.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
154153ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
1554, 85, 86, 88, 90, 5, 91, 92, 102, 103, 104, 106, 121, 122, 123, 149, 150, 152, 154hoidmvlelem4 46049 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))))))
15675, 83, 84, 155syl21anc 836 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))))))
157156ralrimiva 3136 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))))))
158 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘Ÿ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
15942ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ*)
160 0xr 11291 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
161160a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ*)
162 pnfxr 11298 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
163162a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
16444ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
16537ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
166 ltpnf 13132 . . . . . . . 8 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) < +∞)
167166adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) < +∞)
168161, 163, 164, 165, 167elicod 13406 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ (0[,)+∞))
169158, 159, 168xralrple2 44799 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))))
170157, 169mpbird 256 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
17157, 68, 74, 170syl21anc 836 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
17256, 171pm2.61dan 811 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
17339, 172pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936   βˆͺ cun 3937   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑m cmap 8843  Xcixp 8914  Fincfn 8962  supcsup 9463  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  β„+crp 13006  [,)cico 13358  [,]cicc 13359  βˆcprod 15881  volcvol 25410  Ξ£^csumge0 45813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-prod 15882  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cmp 23309  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-sumge0 45814
This theorem is referenced by:  hoidmvle  46051
  Copyright terms: Public domain W3C validator