Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvlelem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvlelem5 44930
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Induction step of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvlelem5.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvlelem5.f (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvlelem5.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
hoidmvlelem5.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
hoidmvlelem5.w π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
hoidmvlelem5.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
hoidmvlelem5.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
hoidmvlelem5.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
hoidmvlelem5.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
hoidmvlelem5.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
hoidmvlelem5.s (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
hoidmvlelem5.n (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
hoidmvlelem5 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐴,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐡,𝑓,𝑔   𝐢,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐢,𝑔   𝐷,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐷,𝑔   𝐿,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑒,𝐿,𝑓,𝑔   π‘Š,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑔,π‘Š   π‘Œ,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑒,π‘Œ,𝑓,𝑔   𝑍,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑔,𝑍   πœ‘,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,𝑓,𝑔)   𝐡(𝑒)   𝐢(𝑒,𝑓)   𝐷(𝑒,𝑓)   π‘Š(𝑒,𝑓)   𝑋(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝑍(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem hoidmvlelem5
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 𝑐 𝑀 𝑧 𝑖 𝑙 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘ πœ‘
2 nfre1 3267 . . . . 5 β„²π‘ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )
31, 2nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑠(πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ))
4 hoidmvlelem5.l . . . 4 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
5 hoidmvlelem5.w . . . . . 6 π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
6 hoidmvlelem5.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
7 hoidmvlelem5.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
8 ssfi 9123 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ Fin)
96, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
10 snfi 8994 . . . . . . . 8 {𝑍} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑍} ∈ Fin)
12 unfi 9122 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
139, 11, 12syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
145, 13eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Fin)
1514adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ π‘Š ∈ Fin)
16 hoidmvlelem5.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
1716adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
18 hoidmvlelem5.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
1918adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
20 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ))
213, 4, 15, 17, 19, 20hoidmvval0 44918 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) = 0)
22 nnex 12167 . . . . . 6 β„• ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
24 icossicc 13362 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
2514adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Fin)
26 hoidmvlelem5.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
2726ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
28 elmapi 8793 . . . . . . . . 9 ((πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
30 hoidmvlelem5.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
3130ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
32 elmapi 8793 . . . . . . . . 9 ((π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
344, 25, 29, 33hoidmvcl 44913 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,)+∞))
3524, 34sselid 3946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,]+∞))
3635fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
3723, 36sge0ge0 44715 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
3837adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
3921, 38eqbrtrd 5131 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
40 icossxr 13358 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
414, 14, 16, 18hoidmvcl 44913 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ (0[,)+∞))
4240, 41sselid 3946 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ*)
4342adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ*)
4423, 36sge0xrcl 44716 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
4544adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
46 rge0ssre 13382 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
4746, 41sselid 3946 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ)
48 ltpnf 13049 . . . . . . . 8 ((𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) < +∞)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) < +∞)
5049adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) < +∞)
51 id 22 . . . . . . . 8 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞)
5251eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞ β†’ +∞ = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5352adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ +∞ = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5450, 53breqtrd 5135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) < (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5543, 45, 54xrltled 13078 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5655adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
57 simpll 766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ πœ‘)
58 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ))
5916ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
6018ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ π‘Š) β†’ (π΅β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
6159, 60ltnled 11310 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ π‘Š) β†’ ((π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ Β¬ (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
6261ralbidva 3169 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘  ∈ π‘Š Β¬ (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
63 ralnex 3072 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘  ∈ π‘Š Β¬ (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ))
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ π‘Š Β¬ (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
6562, 64bitrd 279 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
6665adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )))
6758, 66mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ))
6867adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ))
69 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞)
7022a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ β„• ∈ V)
7136adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
7270, 71sge0repnf 44717 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞))
7369, 72mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
7473adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
75 simpll 766 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )))
76 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΆβ€˜π‘—) = (πΆβ€˜π‘–))
77 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π·β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘–))
7876, 77oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) = ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))
7978cbvmptv 5222 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))
8079fveq2i 6849 . . . . . . . . . 10 (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–))))
8180eleq1i 2825 . . . . . . . . 9 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ ↔ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
8281biimpi 215 . . . . . . . 8 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
8382ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
84 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
856ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
867ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
87 hoidmvlelem5.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
8887ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
89 hoidmvlelem5.z . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
9116ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
9218ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
93 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘ ) = (π΄β€˜π‘˜))
94 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘˜ β†’ (π΅β€˜π‘ ) = (π΅β€˜π‘˜))
9593, 94breq12d 5122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘˜ β†’ ((π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)))
9695cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
9796biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
9897adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
99 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ π‘Š)
100 rspa 3230 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
10198, 99, 100syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
102101ad5ant25 761 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
10326ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
10430ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
10581biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
106105ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
107 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑐 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘–))
108107breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑐 β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ (π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯))
109108, 107ifbieq1d 4514 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑐 β†’ if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯) = if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))
110107, 109ifeq12d 4511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑐 β†’ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)) = if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯)))
111110mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))) = (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))))
112 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ π‘Œ ↔ 𝑗 ∈ π‘Œ))
113 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘—))
114113breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ (π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
115114, 113ifbieq1d 4514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯) = if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))
116112, 113, 115ifbieq12d 4518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯)) = if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))
117116cbvmptv 5222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))
119111, 118eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))
120119cbvmptv 5222 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))
121120mpteq2i 5214 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
122 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ))
123 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
124 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘)) = (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))
125124oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) = (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))))
126 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀 ↔ (π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯))
127 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘₯ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘–))
128 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝑀 = π‘₯)
129126, 127, 128ifbieq12d 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = π‘₯ β†’ if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀) = if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))
130129ifeq2d 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 = π‘₯ β†’ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)) = if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))
131130mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀))) = (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))))
132131mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))) = (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))
133132cbvmptv 5222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯))))))
135 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ 𝑀 = 𝑧)
136134, 135fveq12d 6853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§))
137136fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)))
138137oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))) = ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™))))
139138mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)))) = (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)))))
140 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΆβ€˜π‘™) = (πΆβ€˜π‘—))
141 2fveq3 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))
142140, 141oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™))) = ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))
143142cbvmptv 5222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘™)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))))
145139, 144eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))))
146145fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))
147146oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)))))) = ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))))))
148125, 147breq12d 5122 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™)))))) ↔ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))))
149148cbvrabv 3416 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))))))} = {𝑧 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘‘β€˜π‘–), π‘₯)))))β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))}
150 eqid 2733 . . . . . . . 8 sup({𝑀 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))))))}, ℝ, < ) = sup({𝑀 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) Β· (𝑀 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑙 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘™)(πΏβ€˜π‘Š)(((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘‘β€˜π‘–), if((π‘‘β€˜π‘–) ≀ 𝑀, (π‘‘β€˜π‘–), 𝑀)))))β€˜π‘€)β€˜(π·β€˜π‘™))))))}, ℝ, < )
151 hoidmvlelem5.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
152151ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
153 hoidmvlelem5.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
154153ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
1554, 85, 86, 88, 90, 5, 91, 92, 102, 103, 104, 106, 121, 122, 123, 149, 150, 152, 154hoidmvlelem4 44929 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))))))
15675, 83, 84, 155syl21anc 837 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))))))
157156ralrimiva 3140 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))))))
158 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘Ÿ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
15942ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ ℝ*)
160 0xr 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
161160a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ*)
162 pnfxr 11217 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
163162a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
16444ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
16537ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
166 ltpnf 13049 . . . . . . . 8 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) < +∞)
167166adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) < +∞)
168161, 163, 164, 165, 167elicod 13323 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ (0[,)+∞))
169158, 159, 168xralrple2 43679 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ ((1 + π‘Ÿ) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))))
170157, 169mpbird 257 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘Š (π΄β€˜π‘ ) < (π΅β€˜π‘ )) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
17157, 68, 74, 170syl21anc 837 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) = +∞) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
17256, 171pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ π‘Š (π΅β€˜π‘ ) ≀ (π΄β€˜π‘ )) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
17339, 172pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘Š)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  {csn 4590  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ↑m cmap 8771  Xcixp 8841  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„+crp 12923  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  βˆcprod 15796  volcvol 24850  Ξ£^csumge0 44693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-prod 15797  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-sumge0 44694
This theorem is referenced by:  hoidmvle  44931
  Copyright terms: Public domain W3C validator