MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzaddOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzaddOLD 12861
Description: Obsolete version of eluzadd 12855 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eluzaddOLD ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzaddOLD
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12831 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ𝑀) = (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
32eleq2d 2813 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4 fvoveq1 7428 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
54eleq2d 2813 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
63, 5imbi12d 344 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))))
7 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 + 𝐾) = (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
8 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
98fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
107, 9eleq12d 2821 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
1110imbi2d 340 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))))
12 0z 12573 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
1312elimel 4592 . . . . . 6 if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
1413eluzaddi 12857 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
156, 11, 14dedth2h 4582 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
1615com12 32 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
171, 16mpand 692 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
1817imp 406 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4523  cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112   + caddc 11115  cz 12562  cuz 12826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator