Theorem eluzaddOLD 12895

Description: Obsolete version of eluzadd 12889 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eluzaddOLD	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzaddOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12865	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	2	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4		fvoveq1 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
5	4	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
6	3, 5	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))))
7		oveq2 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 + 𝐾) = (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
8		oveq2 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
9	8	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
10	7, 9	eleq12d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
11	10	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))))
12		0z 12607	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	elimel 4575	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
14	13	eluzaddi 12891	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
15	6, 11, 14	dedth2h 4565	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))))
16	15	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))))
17	1, 16	mpand 695	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))))
18	17	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4505  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137   + caddc 11140  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861

This theorem is referenced by: (None)