MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzaddOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzaddOLD 12885
Description: Obsolete version of eluzadd 12879 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eluzaddOLD ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzaddOLD
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12855 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ𝑀) = (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
32eleq2d 2811 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4 fvoveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
54eleq2d 2811 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
63, 5imbi12d 343 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))))
7 oveq2 7423 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 + 𝐾) = (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
8 oveq2 7423 . . . . . . . 8 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
98fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
107, 9eleq12d 2819 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
1110imbi2d 339 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))))
12 0z 12597 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
1312elimel 4593 . . . . . 6 if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
1413eluzaddi 12881 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
156, 11, 14dedth2h 4583 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
1615com12 32 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
171, 16mpand 693 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
1817imp 405 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4524  cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136   + caddc 11139  cz 12586  cuz 12850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator