Theorem eluzadd 12542

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
eluzadd	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12516	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	2	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4		fvoveq1 7278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
5	4	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
6	3, 5	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))))
7		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 + 𝐾) = (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
8		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
9	8	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
10	7, 9	eleq12d 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
11	10	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))))
12		0z 12260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	elimel 4525	. . . . . 6 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
14	12	elimel 4525	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
15	13, 14	eluzaddi 12540	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
16	6, 11, 15	dedth2h 4515	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))))
17	16	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))))
18	1, 17	mpand 691	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  seqshft2  13677  shftuz  14708  isumshft  15479  vdwlem2  16611  vdwlem8  16617  mulgnndir  18647  efgcpbllemb  19276  plymullem1  25280  coeeulem  25290  ulmshftlem  25453  ulmshft  25454  fsum2dsub  32487  caushft  35846