Theorem subeluzsub 12721

Description: Membership of a difference in an earlier upper set of integers. (Contributed by AV, 10-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
subeluzsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Proof of Theorem subeluzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12698	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zsubcl 12468	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
4		eluzel2 12693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zsubcl 12468	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
6	4, 5	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	4	zred 12532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	1	zred 12532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		zre 12429	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ ℝ)
13		eluzle 12701	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
14	13	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
15	8, 10, 12, 14	lesub2dd 11698	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝑁) ≤ (𝑀 − 𝐾))
16		eluz2 12694	. 2 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ↔ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ≤ (𝑀 − 𝐾)))
17	3, 6, 15, 16	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5097  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  ℝcr 10976   ≤ cle 11116   − cmin 11311  ℤcz 12425  ℤ_≥cuz 12688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689

This theorem is referenced by:  clwwnrepclwwn  28996