Theorem subeluzsub 12874

Description: Membership of a difference in an earlier upper set of integers. (Contributed by AV, 10-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
subeluzsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Proof of Theorem subeluzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12851	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zsubcl 12615	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
4		eluzel2 12846	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zsubcl 12615	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
6	4, 5	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	4	zred 12679	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	1	zred 12679	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		zre 12574	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ ℝ)
13		eluzle 12854	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
14	13	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
15	8, 10, 12, 14	lesub2dd 11806	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝑁) ≤ (𝑀 − 𝐾))
16		eluz2 12847	. 2 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ↔ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ≤ (𝑀 − 𝐾)))
17	3, 6, 15, 16	syl3anbrc 1358	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074   ≤ cle 11219   − cmin 11416  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842

This theorem is referenced by:  clwwnrepclwwn  30548