MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl2lem 14110
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
expcl2lem.4 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
expcl2lem ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lem
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12624 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ ℂ
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 ∈ 𝐹
52, 3, 4expcllem 14109 . . . . . 6 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
65ex 412 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
76adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
8 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴𝐹)
92, 8sselid 3992 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1110recnd 11286 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 nnnn0 12530 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
1312ad2antll 729 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
14 expneg2 14107 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
159, 11, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16 difss 4145 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐹
17 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐹𝐴 ≠ 0))
18 eldifsn 4790 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝐴𝐹𝐴 ≠ 0))
1917, 18sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}))
2016, 2sstri 4004 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℂ
2116sseli 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑥𝐹)
2216sseli 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑦𝐹)
2321, 22, 3syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
24 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥𝐹𝑥 ≠ 0))
252sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹𝑥 ∈ ℂ)
2625anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
2724, 26sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑦𝐹𝑦 ≠ 0))
292sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐹𝑦 ∈ ℂ)
3029anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐹𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3128, 30sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
32 mulne0 11902 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
3327, 31, 32syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
34 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
3523, 33, 34sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
36 ax-1ne0 11221 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
37 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
384, 36, 37mpbir2an 711 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (𝐹 ∖ {0})
3920, 35, 38expcllem 14109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
4019, 13, 39syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
4116, 40sselid 3992 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
42 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
4340, 42sylib 218 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
4443simprd 495 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ≠ 0)
45 neeq1 3000 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
46 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
4746eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
49 expcl2lem.4 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
5049ex 412 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → (𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
5148, 50vtoclga 3576 . . . . . . 7 ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
5241, 44, 51sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
5315, 52eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
5453ex 412 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
557, 54jaod 859 . . 3 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
561, 55biimtrid 242 . 2 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
57563impia 1116 1 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  wss 3962  {csn 4630  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cexp 14098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099
This theorem is referenced by:  rpexpcl  14117  qexpclz  14118  reexpclz  14119  expclzlem  14120  m1expcl2  14122  1exp  14128
  Copyright terms: Public domain W3C validator