MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl2lem 14044
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 ๐น โŠ† โ„‚
expcllem.2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
expcllem.3 1 โˆˆ ๐น
expcl2lem.4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น)
Assertion
Ref Expression
expcl2lem ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem expcl2lem
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12577 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 ๐น โŠ† โ„‚
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 โˆˆ ๐น
52, 3, 4expcllem 14043 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
65ex 412 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
76adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
8 simpll 764 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐น)
92, 8sselid 3981 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simprl 768 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1110recnd 11247 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
12 nnnn0 12484 . . . . . . . 8 (-๐ต โˆˆ โ„• โ†’ -๐ต โˆˆ โ„•0)
1312ad2antll 726 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„•0)
14 expneg2 14041 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
159, 11, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
16 difss 4132 . . . . . . . 8 (๐น โˆ– {0}) โŠ† ๐น
17 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0))
18 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0))
1917, 18sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
2016, 2sstri 3992 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆ– {0}) โŠ† โ„‚
2116sseli 3979 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐น)
2216sseli 3979 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐น)
2321, 22, 3syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
24 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
252sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2625anim1i 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
2724, 26sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
28 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
292sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐น โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3029anim1i 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
3128, 30sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
32 mulne0 11861 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
3327, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
34 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0))
3523, 33, 34sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
36 ax-1ne0 11182 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
37 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (1 โˆˆ ๐น โˆง 1 โ‰  0))
384, 36, 37mpbir2an 708 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ (๐น โˆ– {0})
3920, 35, 38expcllem 14043 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง -๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
4019, 13, 39syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
4116, 40sselid 3981 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น)
42 eldifsn 4791 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
4340, 42sylib 217 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
4443simprd 495 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0)
45 neeq1 3002 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
46 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
4746eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น โ†” (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น))
4845, 47imbi12d 343 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น) โ†” ((๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0 โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น)))
49 expcl2lem.4 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น)
5049ex 412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น))
5148, 50vtoclga 3566 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0 โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น))
5241, 44, 51sylc 65 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น)
5315, 52eqeltrd 2832 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
5453ex 412 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
557, 54jaod 856 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
561, 55biimtrid 241 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
57563impia 1116 1 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   โˆ– cdif 3946   โŠ† wss 3949  {csn 4629  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   ยท cmul 11118  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  rpexpcl  14051  qexpclz  14052  reexpclz  14053  expclzlem  14054  m1expcl2  14056  1exp  14062
  Copyright terms: Public domain W3C validator