Theorem expcl2lem 14089

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lem.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12600	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 14088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sselid 3956	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		nnnn0 12506	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
14		expneg2 14086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16		difss 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐹
17		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
18		eldifsn 4762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}))
20	16, 2	sstri 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℂ
21	16	sseli 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ 𝐹)
22	16	sseli 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ 𝐹)
23	21, 22, 3	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
24		eldifsn 4762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25	2	sseli 3954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
27	24, 26	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28		eldifsn 4762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0))
29	2	sseli 3954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
31	28, 30	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
32		mulne0 11877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
33	27, 31, 32	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
34		eldifsn 4762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
35	23, 33, 34	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
36		ax-1ne0 11196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
37		eldifsn 4762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
38	4, 36, 37	mpbir2an 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (𝐹 ∖ {0})
39	20, 35, 38	expcllem 14088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
40	19, 13, 39	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
41	16, 40	sselid 3956	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
42		eldifsn 4762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
43	40, 42	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
44	43	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ≠ 0)
45		neeq1 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
46		oveq2 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
47	46	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
49		expcl2lem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
50	49	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
51	48, 50	vtoclga 3556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
52	41, 44, 51	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
53	15, 52	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
54	53	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
55	7, 54	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
56	1, 55	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
57	56	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  -cneg 11465   / cdiv 11892  ℕcn 12238  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ↑cexp 14077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 14018  df-exp 14078

This theorem is referenced by:  rpexpcl  14096  qexpclz  14097  reexpclz  14098  expclzlem  14099  m1expcl2  14101  1exp  14107