Theorem expcl2lem 13722

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lem.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12263	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 13721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		nnnn0 12170	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
14		expneg2 13719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16		difss 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐹
17		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
18		eldifsn 4717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}))
20	16, 2	sstri 3926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℂ
21	16	sseli 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ 𝐹)
22	16	sseli 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ 𝐹)
23	21, 22, 3	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
24		eldifsn 4717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25	2	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
27	24, 26	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28		eldifsn 4717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0))
29	2	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
31	28, 30	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
32		mulne0 11547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
33	27, 31, 32	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
34		eldifsn 4717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
35	23, 33, 34	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
36		ax-1ne0 10871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
37		eldifsn 4717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
38	4, 36, 37	mpbir2an 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (𝐹 ∖ {0})
39	20, 35, 38	expcllem 13721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
40	19, 13, 39	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
41	16, 40	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
42		eldifsn 4717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
43	40, 42	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
44	43	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ≠ 0)
45		neeq1 3005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
46		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
47	46	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
49		expcl2lem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
50	49	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
51	48, 50	vtoclga 3503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
52	41, 44, 51	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
53	15, 52	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
54	53	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
55	7, 54	jaod 855	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
56	1, 55	syl5bi 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
57	56	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  rpexpcl  13729  reexpclz  13730  qexpclz  13731  m1expcl2  13732  expclzlem  13734  1exp  13740