MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl2lem 13979
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
expcl2lem.4 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
expcl2lem ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lem
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12513 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ ℂ
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 ∈ 𝐹
52, 3, 4expcllem 13978 . . . . . 6 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
65ex 413 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
76adantr 481 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
8 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴𝐹)
92, 8sselid 3942 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1110recnd 11183 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 nnnn0 12420 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
1312ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
14 expneg2 13976 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
159, 11, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16 difss 4091 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐹
17 simpl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐹𝐴 ≠ 0))
18 eldifsn 4747 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝐴𝐹𝐴 ≠ 0))
1917, 18sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}))
2016, 2sstri 3953 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℂ
2116sseli 3940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑥𝐹)
2216sseli 3940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑦𝐹)
2321, 22, 3syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
24 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥𝐹𝑥 ≠ 0))
252sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹𝑥 ∈ ℂ)
2625anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
2724, 26sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑦𝐹𝑦 ≠ 0))
292sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐹𝑦 ∈ ℂ)
3029anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐹𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3128, 30sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
32 mulne0 11797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
3327, 31, 32syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
34 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
3523, 33, 34sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
36 ax-1ne0 11120 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
37 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
384, 36, 37mpbir2an 709 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (𝐹 ∖ {0})
3920, 35, 38expcllem 13978 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
4019, 13, 39syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
4116, 40sselid 3942 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
42 eldifsn 4747 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
4340, 42sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
4443simprd 496 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ≠ 0)
45 neeq1 3006 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
46 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
4746eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
49 expcl2lem.4 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
5049ex 413 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → (𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
5148, 50vtoclga 3534 . . . . . . 7 ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
5241, 44, 51sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
5315, 52eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
5453ex 413 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
557, 54jaod 857 . . 3 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
561, 55biimtrid 241 . 2 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
57563impia 1117 1 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  rpexpcl  13986  qexpclz  13987  reexpclz  13988  expclzlem  13989  m1expcl2  13991  1exp  13997
  Copyright terms: Public domain W3C validator