MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl2lem 14043
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 ๐น โІ โ„‚
expcllem.2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
expcllem.3 1 โˆˆ ๐น
expcl2lem.4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น)
Assertion
Ref Expression
expcl2lem ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem expcl2lem
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12576 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 ๐น โІ โ„‚
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 โˆˆ ๐น
52, 3, 4expcllem 14042 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
65ex 411 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
76adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
8 simpll 763 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐น)
92, 8sselid 3979 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simprl 767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1110recnd 11246 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
12 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (-๐ต โˆˆ โ„• โ†’ -๐ต โˆˆ โ„•0)
1312ad2antll 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„•0)
14 expneg2 14040 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
159, 11, 13, 14syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
16 difss 4130 . . . . . . . 8 (๐น โˆ– {0}) โІ ๐น
17 simpl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0))
18 eldifsn 4789 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0))
1917, 18sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
2016, 2sstri 3990 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆ– {0}) โІ โ„‚
2116sseli 3977 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐น)
2216sseli 3977 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐น)
2321, 22, 3syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
24 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
252sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2625anim1i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
2724, 26sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
28 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
292sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐น โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3029anim1i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
3128, 30sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
32 mulne0 11860 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
3327, 31, 32syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
34 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0))
3523, 33, 34sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
36 ax-1ne0 11181 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
37 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (1 โˆˆ ๐น โˆง 1 โ‰  0))
384, 36, 37mpbir2an 707 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ (๐น โˆ– {0})
3920, 35, 38expcllem 14042 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง -๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
4019, 13, 39syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
4116, 40sselid 3979 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น)
42 eldifsn 4789 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
4340, 42sylib 217 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
4443simprd 494 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0)
45 neeq1 3001 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
46 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
4746eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น โ†” (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น))
4845, 47imbi12d 343 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น) โ†” ((๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0 โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น)))
49 expcl2lem.4 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น)
5049ex 411 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น))
5148, 50vtoclga 3565 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0 โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น))
5241, 44, 51sylc 65 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น)
5315, 52eqeltrd 2831 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
5453ex 411 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
557, 54jaod 855 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
561, 55biimtrid 241 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
57563impia 1115 1 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ– cdif 3944   โІ wss 3947  {csn 4627  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032
This theorem is referenced by:  rpexpcl  14050  qexpclz  14051  reexpclz  14052  expclzlem  14053  m1expcl2  14055  1exp  14061
  Copyright terms: Public domain W3C validator