MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl2lem 13986
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 ๐น โŠ† โ„‚
expcllem.2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
expcllem.3 1 โˆˆ ๐น
expcl2lem.4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น)
Assertion
Ref Expression
expcl2lem ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem expcl2lem
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12520 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 ๐น โŠ† โ„‚
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 โˆˆ ๐น
52, 3, 4expcllem 13985 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
65ex 414 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
76adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
8 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐น)
92, 8sselid 3947 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simprl 770 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1110recnd 11190 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
12 nnnn0 12427 . . . . . . . 8 (-๐ต โˆˆ โ„• โ†’ -๐ต โˆˆ โ„•0)
1312ad2antll 728 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„•0)
14 expneg2 13983 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
159, 11, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
16 difss 4096 . . . . . . . 8 (๐น โˆ– {0}) โŠ† ๐น
17 simpl 484 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0))
18 eldifsn 4752 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0))
1917, 18sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
2016, 2sstri 3958 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆ– {0}) โŠ† โ„‚
2116sseli 3945 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐น)
2216sseli 3945 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐น)
2321, 22, 3syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
24 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
252sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2625anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
2724, 26sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
28 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
292sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐น โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3029anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
3128, 30sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
32 mulne0 11804 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
3327, 31, 32syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
34 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0))
3523, 33, 34sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐น โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
36 ax-1ne0 11127 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
37 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” (1 โˆˆ ๐น โˆง 1 โ‰  0))
384, 36, 37mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ (๐น โˆ– {0})
3920, 35, 38expcllem 13985 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โˆง -๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
4019, 13, 39syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}))
4116, 40sselid 3947 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น)
42 eldifsn 4752 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ (๐น โˆ– {0}) โ†” ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
4340, 42sylib 217 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
4443simprd 497 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0)
45 neeq1 3007 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0))
46 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
4746eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น โ†” (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น))
4845, 47imbi12d 345 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น) โ†” ((๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0 โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น)))
49 expcl2lem.4 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น)
5049ex 414 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น))
5148, 50vtoclga 3537 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘-๐ต) โ‰  0 โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น))
5241, 44, 51sylc 65 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น)
5315, 52eqeltrd 2838 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
5453ex 414 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
557, 54jaod 858 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
561, 55biimtrid 241 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
57563impia 1118 1 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912   โŠ† wss 3915  {csn 4591  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  rpexpcl  13993  qexpclz  13994  reexpclz  13995  expclzlem  13996  m1expcl2  13998  1exp  14004
  Copyright terms: Public domain W3C validator