Theorem expcl2lem 14083

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lem.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12579	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 14082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simprl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		nnnn0 12485	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
14		expneg2 14080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16		difss 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐹
17		eldifsn 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
18	17	biranri 509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}))
19	16, 2	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℂ
20	16	sseli 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ 𝐹)
21	16	sseli 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ 𝐹)
22	20, 21, 3	syl2an 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
23		eldifsn 4745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0))
24	2	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24	anim1i 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
26	23, 25	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
27		eldifsn 4745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0))
28	2	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
30	27, 29	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
31		mulne0 11826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
32	26, 30, 31	syl2an 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
33		eldifsn 4745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
34	22, 32, 33	sylanbrc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
35		ax-1ne0 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
36		eldifsn 4745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
37	4, 35, 36	mpbir2an 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (𝐹 ∖ {0})
38	19, 34, 37	expcllem 14082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
39	18, 13, 38	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
40	16, 39	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
41		eldifsn 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
42	39, 41	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
43	42	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ≠ 0)
44		neeq1 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
45		oveq2 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
46	45	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
47	44, 46	imbi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
48		expcl2lem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
49	48	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
50	47, 49	vtoclga 3541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
51	40, 43, 50	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
52	15, 51	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
53	52	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
54	7, 53	jaod 870	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
55	1, 54	biimtrid 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
56	55	3impia 1129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4581  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075  -cneg 11412   / cdiv 11841  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  rpexpcl  14090  qexpclz  14091  reexpclz  14092  expclzlem  14093  m1expcl2  14095  1exp  14101