Theorem expcl2lem 13794

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lem.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12333	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 13793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		nnnn0 12240	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
14		expneg2 13791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16		difss 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐹
17		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
18		eldifsn 4720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}))
20	16, 2	sstri 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℂ
21	16	sseli 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ 𝐹)
22	16	sseli 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ 𝐹)
23	21, 22, 3	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
24		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25	2	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
27	24, 26	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0))
29	2	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
31	28, 30	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
32		mulne0 11617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
33	27, 31, 32	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
34		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
35	23, 33, 34	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
36		ax-1ne0 10940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
37		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
38	4, 36, 37	mpbir2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (𝐹 ∖ {0})
39	20, 35, 38	expcllem 13793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
40	19, 13, 39	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
41	16, 40	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
42		eldifsn 4720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
43	40, 42	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
44	43	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ≠ 0)
45		neeq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
46		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
47	46	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
48	45, 47	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
49		expcl2lem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
50	49	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
51	48, 50	vtoclga 3513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
52	41, 44, 51	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
53	15, 52	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
54	53	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
55	7, 54	jaod 856	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
56	1, 55	syl5bi 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
57	56	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  rpexpcl  13801  reexpclz  13802  qexpclz  13803  m1expcl2  13804  expclzlem  13806  1exp  13812