MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulexpz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulexpz 14064
Description: Integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulexpz (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem mulexpz
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12568 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
2 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
42, 3anim12i 614 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
5 mulexp 14063 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
653expa 1119 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
74, 6sylan 581 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
8 simplll 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108, 9mulcld 11230 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 recn 11196 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1211ad2antrl 727 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
13 nnnn0 12475 . . . . . . 7 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
1413ad2antll 728 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
15 expneg2 14032 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1372 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
17 expneg2 14032 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
188, 12, 14, 17syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
19 expneg2 14032 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (1 / (๐ตโ†‘-๐‘)))
209, 12, 14, 19syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (1 / (๐ตโ†‘-๐‘)))
2118, 20oveq12d 7422 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))))
22 mulexp 14063 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘) = ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
238, 9, 14, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘) = ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
2423oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
25 1t1e1 12370 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
2625oveq1i 7414 . . . . . . . 8 ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
2724, 26eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
28 expcl 14041 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
298, 14, 28syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
30 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
31 nnz 12575 . . . . . . . . . 10 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
3231ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
33 expne0i 14056 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โ‰  0)
348, 30, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โ‰  0)
35 expcl 14041 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
369, 14, 35syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
37 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
38 expne0i 14056 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) โ‰  0)
399, 37, 32, 38syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) โ‰  0)
40 ax-1cn 11164 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
41 divmuldiv 11910 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) โ‰  0) โˆง ((๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘-๐‘) โ‰  0))) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4240, 40, 41mpanl12 701 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) โ‰  0) โˆง ((๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘-๐‘) โ‰  0)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4329, 34, 36, 39, 42syl22anc 838 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4427, 43eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))))
4521, 44eqtr4d 2776 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
4616, 45eqtr4d 2776 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
477, 46jaodan 957 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
481, 47sylan2b 595 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
49483impa 1111 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  exprec  14065  knoppndvlem14  35339  knoppndvlem17  35342
  Copyright terms: Public domain W3C validator