MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulexpz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulexpz 13751
Description: Integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulexpz (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem mulexpz
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12263 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42, 3anim12i 612 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5 mulexp 13750 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
653expa 1116 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
74, 6sylan 579 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
8 simplll 771 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simplrl 773 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 10926 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
11 recn 10892 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
1211ad2antrl 724 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13 nnnn0 12170 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
1413ad2antll 725 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
15 expneg2 13719 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
17 expneg2 13719 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
188, 12, 14, 17syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
19 expneg2 13719 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
209, 12, 14, 19syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
2118, 20oveq12d 7273 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))))
22 mulexp 13750 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁) = ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
238, 9, 14, 22syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁) = ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
2423oveq2d 7271 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = (1 / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
25 1t1e1 12065 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
2625oveq1i 7265 . . . . . . . 8 ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
2724, 26eqtr4di 2797 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
28 expcl 13728 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
298, 14, 28syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
30 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
31 nnz 12272 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
3231ad2antll 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
33 expne0i 13743 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
348, 30, 32, 33syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
35 expcl 13728 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
369, 14, 35syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
37 simplrr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
38 expne0i 13743 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
399, 37, 32, 38syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
40 ax-1cn 10860 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
41 divmuldiv 11605 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-𝑁) ≠ 0))) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
4240, 40, 41mpanl12 698 . . . . . . . 8 ((((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
4329, 34, 36, 39, 42syl22anc 835 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
4427, 43eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))))
4521, 44eqtr4d 2781 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
4616, 45eqtr4d 2781 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
477, 46jaodan 954 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
481, 47sylan2b 593 . 2 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
49483impa 1108 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942  (class class class)co 7255  cc 10800  cr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  -cneg 11136   / cdiv 11562  cn 11903  0cn0 12163  cz 12249  cexp 13710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711
This theorem is referenced by:  exprec  13752  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem17  34635
  Copyright terms: Public domain W3C validator