Theorem mulexpz 14272

Description: Integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulexpz	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem mulexpz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12734	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		mulexp 14271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
6	5	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
7	4, 6	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
8		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11356	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		recn 11317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnnn0 12640	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
15		expneg2 14240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑ -𝑁)))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑ -𝑁)))
17		expneg2 14240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑ -𝑁)))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑ -𝑁)))
19		expneg2 14240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑ -𝑁)))
20	9, 12, 14, 19	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑ -𝑁)))
21	18, 20	oveq12d 7461	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑ -𝑁)) · (1 / (𝐵↑ -𝑁))))
22		mulexp 14271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑ -𝑁) = ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁)))
23	8, 9, 14, 22	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑ -𝑁) = ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁)))
24	23	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑ -𝑁)) = (1 / ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁))))
25		1t1e1 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
26	25	oveq1i 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) / ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁))) = (1 / ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁)))
27	24, 26	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑ -𝑁)) = ((1 · 1) / ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁))))
28		expcl 14249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑ -𝑁) ∈ ℂ)
29	8, 14, 28	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑ -𝑁) ∈ ℂ)
30		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
31		nnz 12741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
32	31	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
33		expne0i 14264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑ -𝑁) ≠ 0)
34	8, 30, 32, 33	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑ -𝑁) ≠ 0)
35		expcl 14249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑ -𝑁) ∈ ℂ)
36	9, 14, 35	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑ -𝑁) ∈ ℂ)
37		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
38		expne0i 14264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑ -𝑁) ≠ 0)
39	9, 37, 32, 38	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑ -𝑁) ≠ 0)
40		ax-1cn 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		divmuldiv 12044	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝐴↑ -𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑ -𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑ -𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑ -𝑁) ≠ 0))) → ((1 / (𝐴↑ -𝑁)) · (1 / (𝐵↑ -𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁))))
42	40, 40, 41	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑ -𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑ -𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑ -𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑ -𝑁) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴↑ -𝑁)) · (1 / (𝐵↑ -𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁))))
43	29, 34, 36, 39, 42	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑ -𝑁)) · (1 / (𝐵↑ -𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑ -𝑁) · (𝐵↑ -𝑁))))
44	27, 43	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑ -𝑁)) = ((1 / (𝐴↑ -𝑁)) · (1 / (𝐵↑ -𝑁))))
45	21, 44	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑ -𝑁)))
46	16, 45	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
47	7, 46	jaodan 972	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
48	1, 47	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
49	48	3impa 1127	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   -cneg 11569   / cdiv 12000  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by:  exprec  14273  knoppndvlem14  37569  knoppndvlem17  37572