Theorem mulexpz 14214

Description: Integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulexpz	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem mulexpz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12677	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		mulexp 14213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
6	5	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
7	4, 6	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
8		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11301	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		recn 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnnn0 12583	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
15		expneg2 14182	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
17		expneg2 14182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
19		expneg2 14182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
20	9, 12, 14, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
21	18, 20	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))))
22		mulexp 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁) = ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
23	8, 9, 14, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁) = ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
24	23	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = (1 / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
25		1t1e1 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
26	25	oveq1i 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
27	24, 26	eqtr4di 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
28		expcl 14191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
29	8, 14, 28	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
30		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
31		nnz 12684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
32	31	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
33		expne0i 14206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
34	8, 30, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
35		expcl 14191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
36	9, 14, 35	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
37		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
38		expne0i 14206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
39	9, 37, 32, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
40		ax-1cn 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		divmuldiv 11987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-𝑁) ≠ 0))) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
42	40, 40, 41	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
43	29, 34, 36, 39, 42	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
44	27, 43	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))))
45	21, 44	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
46	16, 45	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
47	7, 46	jaodan 972	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
48	1, 47	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
49	48	3impa 1127	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   · cmul 11177  -cneg 11514   / cdiv 11943  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ↑cexp 14173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-seq 14114  df-exp 14174

This theorem is used by:  exprec  14215  knoppndvlem14  37313  knoppndvlem17  37316