Theorem mulexpz 14001

Description: Integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulexpz	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem mulexpz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12474	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		mulexp 14000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
6	5	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
7	4, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
8		simplll 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11124	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		recn 11088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnnn0 12380	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
15		expneg2 13969	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
17		expneg2 13969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
19		expneg2 13969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
20	9, 12, 14, 19	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
21	18, 20	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))))
22		mulexp 14000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁) = ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
23	8, 9, 14, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁) = ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
24	23	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = (1 / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
25		1t1e1 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
26	25	oveq1i 7351	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
27	24, 26	eqtr4di 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
28		expcl 13978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
29	8, 14, 28	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
30		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
31		nnz 12481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
32	31	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
33		expne0i 13993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
34	8, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
35		expcl 13978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
36	9, 14, 35	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
37		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
38		expne0i 13993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
39	9, 37, 32, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
40		ax-1cn 11056	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		divmuldiv 11813	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-𝑁) ≠ 0))) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
42	40, 40, 41	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
43	29, 34, 36, 39, 42	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
44	27, 43	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))))
45	21, 44	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
46	16, 45	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
47	7, 46	jaodan 959	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
48	1, 47	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
49	48	3impa 1109	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   · cmul 11003  -cneg 11337   / cdiv 11766  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ↑cexp 13960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-seq 13901  df-exp 13961

This theorem is referenced by:  exprec  14002  knoppndvlem14  36538  knoppndvlem17  36541