Theorem mulexpz 14129

Description: Integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulexpz	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem mulexpz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12631	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	anim12i 611	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		mulexp 14128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
6	5	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
7	4, 6	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
8		simplll 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11288	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		recn 11252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnnn0 12538	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
15		expneg2 14097	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
17		expneg2 14097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
19		expneg2 14097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
20	9, 12, 14, 19	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
21	18, 20	oveq12d 7443	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))))
22		mulexp 14128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁) = ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
23	8, 9, 14, 22	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁) = ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
24	23	oveq2d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = (1 / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
25		1t1e1 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
26	25	oveq1i 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁)))
27	24, 26	eqtr4di 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
28		expcl 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
29	8, 14, 28	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
30		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
31		nnz 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
32	31	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
33		expne0i 14121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
34	8, 30, 32, 33	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
35		expcl 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
36	9, 14, 35	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
37		simplrr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
38		expne0i 14121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
39	9, 37, 32, 38	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
40		ax-1cn 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		divmuldiv 11972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-𝑁) ≠ 0))) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
42	40, 40, 41	mpanl12 700	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) ∧ ((𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
43	29, 34, 36, 39, 42	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑁) · (𝐵↑-𝑁))))
44	27, 43	eqtr4d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑁)) · (1 / (𝐵↑-𝑁))))
45	21, 44	eqtr4d 2772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)) = (1 / ((𝐴 · 𝐵)↑-𝑁)))
46	16, 45	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
47	7, 46	jaodan 955	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
48	1, 47	sylan2b 592	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
49	48	3impa 1107	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  (class class class)co 7425  ℂcc 11160  ℝcr 11161  0cc0 11162  1c1 11163   · cmul 11167  -cneg 11499   / cdiv 11925  ℕcn 12271  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12617  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5434  ax-un 7746  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3428  df-v 3473  df-sbc 3786  df-csb 3902  df-dif 3959  df-un 3961  df-in 3963  df-ss 3973  df-pss 3976  df-nul 4333  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5581  df-eprel 5587  df-po 5595  df-so 5596  df-fr 5638  df-we 5640  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6314  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6507  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7880  df-2nd 8007  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8737  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11926  df-nn 12272  df-n0 12532  df-z 12618  df-uz 12882  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  exprec  14130  knoppndvlem14  36254  knoppndvlem17  36257