Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgsubcl 18255
 Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnnsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t · = (.g𝐺)
mulgnnsubcl.p + = (+g𝐺)
mulgnnsubcl.g (𝜑𝐺𝑉)
mulgnnsubcl.s (𝜑𝑆𝐵)
mulgnnsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z 0 = (0g𝐺)
mulgnn0subcl.c (𝜑0𝑆)
mulgsubcl.i 𝐼 = (invg𝐺)
mulgsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mulgsubcl ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgsubcl
StepHypRef Expression
1 mulgnnsubcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnnsubcl.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
3 mulgnnsubcl.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
4 mulgnnsubcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑉)
5 mulgnnsubcl.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
6 mulgnnsubcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7 mulgnn0subcl.z . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
8 mulgnn0subcl.c . . . . . 6 (𝜑0𝑆)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mulgnn0subcl 18254 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
1093expa 1115 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
1110an32s 651 . . 3 (((𝜑𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
12113adantl2 1164 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
13 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1514zcnd 12096 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
1615negnegd 10995 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1716oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18 id 22 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ)
1953ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑆𝐵)
20 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
2119, 20sseldd 3918 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝐵)
22 mulgsubcl.i . . . . . . 7 𝐼 = (invg𝐺)
231, 2, 22mulgnegnn 18251 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
2418, 21, 23syl2anr 599 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
2517, 24eqtr3d 2835 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
26 fveq2 6655 . . . . . 6 (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → (𝐼𝑥) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
2726eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆))
28 mulgsubcl.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
2928ralrimiva 3149 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
30293ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
3130adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
321, 2, 3, 4, 5, 6mulgnnsubcl 18253 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
33323expa 1115 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
3433an32s 651 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
35343adantl2 1164 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
3627, 31, 35rspcdva 3574 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆)
3725, 36eqeltrd 2890 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
3837adantrl 715 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
39 elznn0nn 12003 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4013, 39sylib 221 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4112, 38, 40mpjaodan 956 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝcr 10543  -cneg 10878  ℕcn 11643  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  Basecbs 16495  +gcplusg 16577  0gc0g 16725  invgcminusg 18116  .gcmg 18237 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-seq 13385  df-mulg 18238 This theorem is referenced by:  mulgcl  18258  subgmulgcl  18305
 Copyright terms: Public domain W3C validator