Theorem mulgsubcl 18985

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgnn0subcl.c	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
mulgsubcl.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
mulgsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnnsubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnnsubcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnnsubcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		mulgnnsubcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		mulgnnsubcl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7		mulgnn0subcl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		mulgnn0subcl.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 18984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
10	9	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
11	10	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
12	11	3adantl2 1168	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
13		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 11484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
17	16	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ)
19	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
20		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
21	19, 20	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		mulgsubcl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
23	1, 2, 22	mulgnegnn 18981	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
24	18, 21, 23	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
25	17, 24	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
26		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
27	26	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆))
28		mulgsubcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
29	28	ralrimiva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6	mulgnnsubcl 18983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
33	32	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
34	33	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
35	34	3adantl2 1168	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
36	27, 31, 35	rspcdva 3580	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆)
37	25, 36	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
38	37	adantrl 716	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
39		elznn0nn 12503	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
40	13, 39	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
41	12, 38, 40	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  -cneg 11366  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  inv_gcminusg 18831  ._gcmg 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927  df-mulg 18965

This theorem is referenced by:  mulgcl  18988  subgmulgcl  19036