MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgsubcl 19106
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnnsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t · = (.g𝐺)
mulgnnsubcl.p + = (+g𝐺)
mulgnnsubcl.g (𝜑𝐺𝑉)
mulgnnsubcl.s (𝜑𝑆𝐵)
mulgnnsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z 0 = (0g𝐺)
mulgnn0subcl.c (𝜑0𝑆)
mulgsubcl.i 𝐼 = (invg𝐺)
mulgsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mulgsubcl ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgsubcl
StepHypRef Expression
1 mulgnnsubcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnnsubcl.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
3 mulgnnsubcl.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
4 mulgnnsubcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑉)
5 mulgnnsubcl.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
6 mulgnnsubcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7 mulgnn0subcl.z . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
8 mulgnn0subcl.c . . . . . 6 (𝜑0𝑆)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mulgnn0subcl 19105 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
1093expa 1119 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
1110an32s 652 . . 3 (((𝜑𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
12113adantl2 1168 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
13 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1514zcnd 12723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
1615negnegd 11611 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1716oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18 id 22 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ)
1953ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑆𝐵)
20 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
2119, 20sseldd 3984 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝐵)
22 mulgsubcl.i . . . . . . 7 𝐼 = (invg𝐺)
231, 2, 22mulgnegnn 19102 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
2418, 21, 23syl2anr 597 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
2517, 24eqtr3d 2779 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
26 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → (𝐼𝑥) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
2726eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆))
28 mulgsubcl.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
2928ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
30293ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
3130adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
321, 2, 3, 4, 5, 6mulgnnsubcl 19104 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
33323expa 1119 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
3433an32s 652 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
35343adantl2 1168 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
3627, 31, 35rspcdva 3623 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆)
3725, 36eqeltrd 2841 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
3837adantrl 716 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
39 elznn0nn 12627 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4013, 39sylib 218 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4112, 38, 40mpjaodan 961 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  invgcminusg 18952  .gcmg 19085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-mulg 19086
This theorem is referenced by:  mulgcl  19109  subgmulgcl  19157
  Copyright terms: Public domain W3C validator