Proof of Theorem expmulz
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | elznn0nn 12627 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨
(𝑁 ∈ ℝ ∧
-𝑁 ∈
ℕ))) |
| 2 | | elznn0nn 12627 |
. . . 4
⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨
(𝑀 ∈ ℝ ∧
-𝑀 ∈
ℕ))) |
| 3 | | expmul 14148 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)) |
| 4 | 3 | 3expia 1122 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ (𝑁 ∈
ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 5 | 4 | adantlr 715 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 6 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
| 7 | 6 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝑀 ∈
ℂ) |
| 8 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 9 | 8 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝑁 ∈
ℂ) |
| 10 | 7, 9 | mulneg1d 11716 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁)) |
| 11 | 10 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) |
| 12 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℂ) |
| 13 | | simp2r 1201 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ -𝑀 ∈
ℕ) |
| 14 | 13 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ -𝑀 ∈
ℕ0) |
| 15 | | expmul 14148 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)) |
| 16 | 12, 14, 8, 15 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)) |
| 17 | 11, 16 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)) |
| 18 | 17 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))) |
| 19 | | expcl 14120 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑-𝑀) ∈
ℂ) |
| 20 | 12, 14, 19 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑-𝑀) ∈
ℂ) |
| 21 | | simp1r 1199 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ≠
0) |
| 22 | 13 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ -𝑀 ∈
ℤ) |
| 23 | | expne0i 14135 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0) |
| 24 | 12, 21, 22, 23 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑-𝑀) ≠ 0) |
| 25 | 8 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
| 26 | | exprec 14144 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))) |
| 27 | 20, 24, 25, 26 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))) |
| 28 | 18, 27 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁)) |
| 29 | 7, 9 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝑀 · 𝑁) ∈
ℂ) |
| 30 | 14, 8 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (-𝑀 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 31 | 10, 30 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ -(𝑀 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 32 | | expneg2 14111 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)))) |
| 33 | 12, 29, 31, 32 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)))) |
| 34 | | expneg2 14111 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀))) |
| 35 | 12, 7, 14, 34 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀))) |
| 36 | 35 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑀)↑𝑁) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁)) |
| 37 | 28, 33, 36 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)) |
| 38 | 37 | 3expia 1122 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 39 | 5, 38 | jaodan 960 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨
(𝑀 ∈ ℝ ∧
-𝑀 ∈ ℕ))) →
(𝑁 ∈
ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 40 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈
ℕ0) |
| 41 | 40 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈
ℂ) |
| 42 | | simp3l 1202 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 43 | 42 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 44 | 41, 43 | mulneg2d 11717 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁)) |
| 45 | 44 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) |
| 46 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 47 | | simp3r 1203 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈
ℕ) |
| 48 | 47 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈
ℕ0) |
| 49 | | expmul 14148 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0
∧ -𝑁 ∈
ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁)) |
| 50 | 46, 40, 48, 49 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁)) |
| 51 | 45, 50 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁)) |
| 52 | 51 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 /
(𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁))) |
| 53 | 41, 43 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ) |
| 54 | 40, 48 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · -𝑁) ∈
ℕ0) |
| 55 | 44, 54 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 56 | 46, 53, 55, 32 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)))) |
| 57 | | expcl 14120 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑀) ∈
ℂ) |
| 58 | 46, 40, 57 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) |
| 59 | | expneg2 14111 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁))) |
| 60 | 58, 43, 48, 59 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁))) |
| 61 | 52, 56, 60 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)) |
| 62 | 61 | 3expia 1122 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 63 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 64 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈
ℝ) |
| 65 | 64 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈
ℂ) |
| 66 | | simp2r 1201 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈
ℕ) |
| 67 | 66 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈
ℕ0) |
| 68 | 63, 65, 67, 34 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀))) |
| 69 | 68 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑁) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁)) |
| 70 | 63, 67, 19 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ) |
| 71 | | simp1r 1199 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0) |
| 72 | 66 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈
ℤ) |
| 73 | 63, 71, 72, 23 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0) |
| 74 | 70, 73 | reccld 12036 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 /
(𝐴↑-𝑀)) ∈ ℂ) |
| 75 | | simp3l 1202 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 76 | 75 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 77 | | simp3r 1203 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈
ℕ) |
| 78 | 77 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈
ℕ0) |
| 79 | | expneg2 14111 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((1 /
(𝐴↑-𝑀)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 /
(𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁))) |
| 80 | 74, 76, 78, 79 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 /
(𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁))) |
| 81 | 77 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈
ℤ) |
| 82 | | exprec 14144 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))) |
| 83 | 70, 73, 81, 82 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 /
(𝐴↑-𝑀))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))) |
| 84 | 83 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 /
((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)) = (1 / (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁)))) |
| 85 | | expcl 14120 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) ∈ ℂ) |
| 86 | 70, 78, 85 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) ∈ ℂ) |
| 87 | | expne0i 14135 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) ≠ 0) |
| 88 | 70, 73, 81, 87 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) ≠ 0) |
| 89 | 86, 88 | recrecd 12040 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (1
/ ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁)) |
| 90 | | expmul 14148 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0
∧ -𝑁 ∈
ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁)) |
| 91 | 63, 67, 78, 90 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁)) |
| 92 | 65, 76 | mul2negd 11718 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁)) |
| 93 | 92 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁))) |
| 94 | 91, 93 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁))) |
| 95 | 84, 89, 94 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 /
((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁))) |
| 96 | 69, 80, 95 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)) |
| 97 | 96 | 3expia 1122 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 98 | 62, 97 | jaodan 960 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨
(𝑀 ∈ ℝ ∧
-𝑀 ∈ ℕ))) →
((𝑁 ∈ ℝ ∧
-𝑁 ∈ ℕ) →
(𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 99 | 39, 98 | jaod 860 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨
(𝑀 ∈ ℝ ∧
-𝑀 ∈ ℕ))) →
((𝑁 ∈
ℕ0 ∨ (𝑁
∈ ℝ ∧ -𝑁
∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 100 | 2, 99 | sylan2b 594 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 101 | 1, 100 | biimtrid 242 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))) |
| 102 | 101 | impr 454 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)) |