MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmirred 20848
Description: The irreducible elements of are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
prmirred.i 𝐼 = (Irred‘ℤring)
Assertion
Ref Expression
prmirred (𝐴𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))

Proof of Theorem prmirred
StepHypRef Expression
1 prmirred.i . . 3 𝐼 = (Irred‘ℤring)
2 zringbas 20828 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
31, 2irredcl 20086 . 2 (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℤ)
4 elnn0 12374 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5 zringring 20825 . . . . . . . . . . 11 ring ∈ Ring
6 zring0 20832 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℤring)
71, 6irredn0 20085 . . . . . . . . . . 11 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴𝐼) → 𝐴 ≠ 0)
85, 7mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐼𝐴 ≠ 0)
98necon2bi 2973 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴𝐼)
109pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
1110jao1i 857 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
124, 11sylbi 216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
13 prmnn 16510 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ)
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ))
151prmirredlem 20846 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ))
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ)))
1712, 14, 16pm5.21ndd 381 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ))
18 nn0re 12381 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
19 nn0ge0 12397 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
2018, 19absidd 15267 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
2120eleq1d 2823 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
2217, 21bitr4d 282 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
2322adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
241prmirredlem 20846 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
2524adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (-𝐴𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
26 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
271, 26, 2irrednegb 20093 . . . . . . . 8 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
285, 27mpan 689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
29 zsubrg 20803 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
30 subrgsubg 20181 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
32 df-zring 20823 . . . . . . . . . . 11 ring = (ℂflds ℤ)
33 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
3432, 33, 26subginv 18894 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
3531, 34mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
36 zcn 12463 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
37 cnfldneg 20776 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
3935, 38eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
4039eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
4128, 40bitrd 279 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
4241adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
43 zre 12462 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4443adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
45 nnnn0 12379 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
4645nn0ge0d 12435 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ -𝐴)
4746adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 0 ≤ -𝐴)
4844le0neg1d 11685 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
4947, 48mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 0)
5044, 49absnidd 15258 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
5150eleq1d 2823 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
5225, 42, 513bitr4d 311 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
5352adantrl 715 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
54 elznn0nn 12472 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
5554biimpi 215 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
5623, 53, 55mpjaodan 958 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
573, 56biadanii 821 1 (𝐴𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942   class class class wbr 5104  cfv 6494  cc 11008  cr 11009  0cc0 11010  cle 11149  -cneg 11345  cn 12112  0cn0 12372  cz 12458  abscabs 15079  cprime 16507  invgcminusg 18709  SubGrpcsubg 18881  Ringcrg 19918  Irredcir 20022  SubRingcsubrg 20171  fldccnfld 20749  ringczring 20822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088  ax-addf 11089  ax-mulf 11090
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-seq 13862  df-exp 13923  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-dvds 16097  df-prm 16508  df-gz 16762  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-subg 18884  df-cmn 19523  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-irred 20025  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-subrg 20173  df-cnfld 20750  df-zring 20823
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator