Theorem absexpz 15473

Description: Absolute value of integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
absexpz	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexpz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12708	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		absexp 15472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
3	2	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
5		1cnd 11303	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
6		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		nnnn0 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 14290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑ -𝑁) ∈ ℂ)
10		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
11		nnz 12715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
12	11	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
13	6, 10, 12	expne0d 14296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑ -𝑁) ≠ 0)
14		absdiv 15463	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑ -𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑ -𝑁) ≠ 0) → (abs‘(1 / (𝐴↑ -𝑁))) = ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑ -𝑁))))
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(1 / (𝐴↑ -𝑁))) = ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑ -𝑁))))
16		abs1 15465	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
17	16	oveq1i 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑ -𝑁))) = (1 / (abs‘(𝐴↑ -𝑁)))
18		absexp 15472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑ -𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑ -𝑁))
19	6, 8, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑ -𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑ -𝑁))
20	19	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (abs‘(𝐴↑ -𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑ -𝑁)))
21	17, 20	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑ -𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑ -𝑁)))
22	15, 21	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(1 / (𝐴↑ -𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑ -𝑁)))
23		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		expneg2 14214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑ -𝑁)))
26	6, 24, 8, 25	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑ -𝑁)))
27	26	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = (abs‘(1 / (𝐴↑ -𝑁))))
28		abscl 15446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
31		expneg2 14214	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (1 / ((abs‘𝐴)↑ -𝑁)))
32	30, 24, 8, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (1 / ((abs‘𝐴)↑ -𝑁)))
33	22, 27, 32	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
34	33	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
35	4, 34	jaod 873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
36	35	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
37	1, 36	syl3an3b 1432	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   -cneg 11543   / cdiv 11974  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ↑cexp 14205  abscabs 15402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404

This theorem is used by:  iseraltlem3  15852  root1cj  27085  lgseisen  27707  knoppndvlem14  37466