Theorem absexpz 15346

Description: Absolute value of integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
absexpz	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexpz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12596	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		absexp 15345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
3	2	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
5		1cnd 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
6		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		nnnn0 12502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	ad2antll 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 14173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
10		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
11		nnz 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
12	11	ad2antll 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
13	6, 10, 12	expne0d 14179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
14		absdiv 15336	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ≠ 0) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))))
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))))
16		abs1 15338	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
17	16	oveq1i 7410	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / (abs‘(𝐴↑-𝑁)))
18		absexp 15345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑-𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑-𝑁))
19	6, 8, 18	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑-𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑-𝑁))
20	19	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
21	17, 20	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
22	15, 21	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
23		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		expneg2 14097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
26	6, 24, 8, 25	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
27	26	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))))
28		abscl 15319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
31		expneg2 14097	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
32	30, 24, 8, 31	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
33	22, 27, 32	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
34	33	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
35	4, 34	jaod 872	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
36	35	3impia 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
37	1, 36	syl3an3b 1428	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ↑cexp 14088  abscabs 15275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277

This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15725  root1cj  26879  lgseisen  27501  knoppndvlem14  36976