Theorem pcid 16805

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcid	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12569	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
2		pcidlem 16804	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
3		prmnn 16608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
6		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		nnnn0 12476	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antll 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → -𝐴 ∈ ℕ0)
10		expneg2 14033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
12	11	oveq2d 7417	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))))
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℙ)
14		1zzd 12590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
15		ax-1ne0 11175	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ≠ 0)
17	4, 9	nnexpcld 14205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ)
18		pcdiv 16784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
19	13, 14, 16, 17, 18	syl121anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
20		pc1 16787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
22		pcidlem 16804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
23	9, 22	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
24	21, 23	oveq12d 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = (0 − -𝐴))
25		df-neg 11444	. . . . . . 7 ⊢ --𝐴 = (0 − -𝐴)
26	7	negnegd 11559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → --𝐴 = 𝐴)
27	25, 26	eqtr3id 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
28	24, 27	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
29	19, 28	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
30	12, 29	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
31	2, 30	jaodan 954	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
32	1, 31	sylan2b 593	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ↑cexp 14024  ℙcprime 16605   pCnt cpc 16768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16769

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  16814  pcaddlem  16820  expnprm  16834  sylow1lem1  19508  pgpfi  19515  ablfaclem3  19999  isppw2  26963  dvdsppwf1o  27034  lgsval2lem  27156  dchrisum0flblem1  27357  ostth3  27487  aks4d1p8d2  41443