MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem3 28771
Description: Lemma for ipassi 28779. Show the inner product associative law for all integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem3
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12079 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 ip1i.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 ip1i.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
4 ip1i.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
5 ip1i.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
6 ip1i.9 . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
7 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
82, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem1 28769 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
9 nnnn0 11986 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
102, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem2 28770 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
119, 10sylan 583 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
1211adantll 714 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
13 recn 10708 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
1413negnegd 11069 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → --𝑁 = 𝑁)
1514oveq1d 7188 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (--𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
1615oveq1d 7188 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1716ad2antrr 726 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1814oveq1d 7188 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
1918ad2antrr 726 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
2012, 17, 193eqtr3d 2782 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
218, 20jaoian 956 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
221, 21sylanb 584 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6340  (class class class)co 7173  cr 10617   · cmul 10623  -cneg 10952  cn 11719  0cn0 11979  cz 12065   +𝑣 cpv 28523  BaseSetcba 28524   ·𝑠OLD cns 28525  ·𝑖OLDcdip 28638  CPreHilOLDccphlo 28750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-sup 8982  df-oi 9050  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-rp 12476  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-seq 13464  df-exp 13525  df-hash 13786  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-clim 14938  df-sum 15139  df-grpo 28431  df-gid 28432  df-ginv 28433  df-ablo 28483  df-vc 28497  df-nv 28530  df-va 28533  df-ba 28534  df-sm 28535  df-0v 28536  df-nmcv 28538  df-dip 28639  df-ph 28751
This theorem is referenced by:  ipasslem5  28773
  Copyright terms: Public domain W3C validator