MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem3 28595
Description: Lemma for ipassi 28603. Show the inner product associative law for all integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem3
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 11974 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 ip1i.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 ip1i.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
4 ip1i.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
5 ip1i.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
6 ip1i.9 . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
7 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
82, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem1 28593 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
9 nnnn0 11883 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
102, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem2 28594 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
119, 10sylan 582 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
1211adantll 712 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
13 recn 10605 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
1413negnegd 10966 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → --𝑁 = 𝑁)
1514oveq1d 7148 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (--𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
1615oveq1d 7148 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1716ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1814oveq1d 7148 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
1918ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
2012, 17, 193eqtr3d 2863 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
218, 20jaoian 953 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
221, 21sylanb 583 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1537  wcel 2114  cfv 6331  (class class class)co 7133  cr 10514   · cmul 10520  -cneg 10849  cn 11616  0cn0 11876  cz 11960   +𝑣 cpv 28347  BaseSetcba 28348   ·𝑠OLD cns 28349  ·𝑖OLDcdip 28462  CPreHilOLDccphlo 28574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-grpo 28255  df-gid 28256  df-ginv 28257  df-ablo 28307  df-vc 28321  df-nv 28354  df-va 28357  df-ba 28358  df-sm 28359  df-0v 28360  df-nmcv 28362  df-dip 28463  df-ph 28575
This theorem is referenced by:  ipasslem5  28597
  Copyright terms: Public domain W3C validator