Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem3 28260
 Description: Lemma for ipassi 28268. Show the inner product associative law for all integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem3
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 11742 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 ip1i.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 ip1i.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
4 ip1i.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
5 ip1i.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
6 ip1i.9 . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
7 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
82, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem1 28258 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
9 nnnn0 11650 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
102, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem2 28259 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
119, 10sylan 575 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
1211adantll 704 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
13 recn 10362 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
1413negnegd 10725 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → --𝑁 = 𝑁)
1514oveq1d 6937 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (--𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
1615oveq1d 6937 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1716ad2antrr 716 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1814oveq1d 6937 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
1918ad2antrr 716 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
2012, 17, 193eqtr3d 2822 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
218, 20jaoian 942 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
221, 21sylanb 576 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271   · cmul 10277  -cneg 10607  ℕcn 11374  ℕ0cn0 11642  ℤcz 11728   +𝑣 cpv 28012  BaseSetcba 28013   ·𝑠OLD cns 28014  ·𝑖OLDcdip 28127  CPreHilOLDccphlo 28239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-nmcv 28027  df-dip 28128  df-ph 28240 This theorem is referenced by:  ipasslem5  28262
 Copyright terms: Public domain W3C validator