MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem3 28537
Description: Lemma for ipassi 28545. Show the inner product associative law for all integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem3
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 11983 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 ip1i.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 ip1i.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
4 ip1i.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
5 ip1i.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
6 ip1i.9 . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
7 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
82, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem1 28535 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
9 nnnn0 11892 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
102, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem2 28536 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
119, 10sylan 580 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
1211adantll 710 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
13 recn 10615 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
1413negnegd 10976 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → --𝑁 = 𝑁)
1514oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (--𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
1615oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1716ad2antrr 722 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((--𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1814oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
1918ad2antrr 722 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → (--𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
2012, 17, 193eqtr3d 2861 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
218, 20jaoian 950 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
221, 21sylanb 581 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   · cmul 10530  -cneg 10859  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969   +𝑣 cpv 28289  BaseSetcba 28290   ·𝑠OLD cns 28291  ·𝑖OLDcdip 28404  CPreHilOLDccphlo 28516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-nmcv 28304  df-dip 28405  df-ph 28517
This theorem is referenced by:  ipasslem5  28539
  Copyright terms: Public domain W3C validator