Theorem enege 47675

Description: The negative of an even number is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enege	⊢ (𝐴 ∈ Even → -𝐴 ∈ Even )

Proof of Theorem enege

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12504	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → -𝐴 ∈ ℤ)
3		znegcl 12504	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → -(𝐴 / 2) ∈ ℤ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → -(𝐴 / 2) ∈ ℤ)
5		zcn 12470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		2cnd 12200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12226	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9	5, 6, 8	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11		divneg 11810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
12	11	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-(𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-(𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
14	4, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-𝐴 / 2) ∈ ℤ)
15	2, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
16		iseven 47658	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Even ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
17		iseven 47658	. 2 ⊢ (-𝐴 ∈ Even ↔ (-𝐴 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
18	15, 16, 17	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ Even → -𝐴 ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  -cneg 11342   / cdiv 11771  2c2 12177  ℤcz 12465   Even ceven 47654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-z 12466  df-even 47656

This theorem is referenced by:  omeoALTV  47716  emee  47736