Theorem enege 47630

Description: The negative of an even number is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enege	⊢ (𝐴 ∈ Even → -𝐴 ∈ Even )

Proof of Theorem enege

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12528	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → -𝐴 ∈ ℤ)
3		znegcl 12528	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → -(𝐴 / 2) ∈ ℤ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → -(𝐴 / 2) ∈ ℤ)
5		zcn 12494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		2cnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9	5, 6, 8	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11		divneg 11834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
12	11	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-(𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-(𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
14	4, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-𝐴 / 2) ∈ ℤ)
15	2, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
16		iseven 47613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Even ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
17		iseven 47613	. 2 ⊢ (-𝐴 ∈ Even ↔ (-𝐴 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
18	15, 16, 17	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ Even → -𝐴 ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  -cneg 11366   / cdiv 11795  2c2 12201  ℤcz 12489   Even ceven 47609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-z 12490  df-even 47611

This theorem is referenced by:  omeoALTV  47671  emee  47691