Theorem enege 48121

Description: The negative of an even number is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enege	⊢ (𝐴 ∈ Even → -𝐴 ∈ Even )

Proof of Theorem enege

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12562	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → -𝐴 ∈ ℤ)
3		znegcl 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → -(𝐴 / 2) ∈ ℤ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → -(𝐴 / 2) ∈ ℤ)
5		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		2cnd 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12285	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9	5, 6, 8	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11		divneg 11846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
12	11	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-(𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-(𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
14	4, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-𝐴 / 2) ∈ ℤ)
15	2, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
16		iseven 48104	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Even ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
17		iseven 48104	. 2 ⊢ (-𝐴 ∈ Even ↔ (-𝐴 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 / 2) ∈ ℤ))
18	15, 16, 17	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ Even → -𝐴 ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤcz 12524   Even ceven 48100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-z 12525  df-even 48102

This theorem is referenced by:  omeoALTV  48162  emee  48182