Theorem oddneven 47628

Description: An odd number is not an even number. (Contributed by AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
oddneven	⊢ (𝑍 ∈ Odd → ¬ 𝑍 ∈ Even )

Proof of Theorem oddneven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isodd 47613	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Odd ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		zeo2 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	2	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4	3	con2d 134	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
5	4	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ)
6	1, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ)
7	6	olcd 874	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (¬ 𝑍 ∈ ℤ ∨ ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
8		ianor 983	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝑍 ∈ ℤ ∨ ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
9		iseven 47612	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
10	8, 9	xchnxbir 333	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ Even ↔ (¬ 𝑍 ∈ ℤ ∨ ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
11	7, 10	sylibr 234	1 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ¬ 𝑍 ∈ Even )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012   / cdiv 11777  2c2 12183  ℤcz 12471   Even ceven 47608   Odd codd 47609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-even 47610  df-odd 47611

This theorem is referenced by:  zneoALTV  47653  evenprm2  47698  sbgoldbalt  47765