Theorem oddneven 48135

Description: An odd number is not an even number. (Contributed by AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
oddneven	⊢ (𝑍 ∈ Odd → ¬ 𝑍 ∈ Even )

Proof of Theorem oddneven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isodd 48120	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Odd ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		zeo2 12610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	2	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4	3	con2d 134	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
5	4	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ)
6	1, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ)
7	6	olcd 875	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (¬ 𝑍 ∈ ℤ ∨ ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
8		ianor 984	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝑍 ∈ ℤ ∨ ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
9		iseven 48119	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
10	8, 9	xchnxbir 333	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ Even ↔ (¬ 𝑍 ∈ ℤ ∨ ¬ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
11	7, 10	sylibr 234	1 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ¬ 𝑍 ∈ Even )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  1c1 11033   + caddc 11035   / cdiv 11801  2c2 12230  ℤcz 12518   Even ceven 48115   Odd codd 48116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-even 48117  df-odd 48118

This theorem is referenced by:  zneoALTV  48160  evenprm2  48205  sbgoldbalt  48272