Theorem epee 46673

Description: The sum of two even numbers is even. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
epee	⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem epee

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenp1odd 46608	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 1) ∈ Odd )
2		evenm1odd 46607	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → (𝐵 − 1) ∈ Odd )
3		opoeALTV 46651	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ Odd ∧ (𝐵 − 1) ∈ Odd ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
4	1, 2, 3	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
5		evenz 46598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		1cnd 11215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 1 ∈ ℂ)
9		evenz 46598	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12673	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		ppncan 11508	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) = (𝐴 + 𝐵))
13	12	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
14	7, 8, 11, 13	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
15	4, 14	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7413  ℂcc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   − cmin 11450   Even ceven 46592   Odd codd 46593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-z 12565  df-even 46594  df-odd 46595

This theorem is referenced by:  emee  46674  evensumeven  46675  mogoldbblem  46688  bgoldbtbndlem1  46773