Theorem epee 49070

Description: The sum of two even numbers is even. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
epee	⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem epee

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenp1odd 49005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 1) ∈ Odd )
2		evenm1odd 49004	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → (𝐵 − 1) ∈ Odd )
3		opoeALTV 49048	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ Odd ∧ (𝐵 − 1) ∈ Odd ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
5		evenz 48995	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12842	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		1cnd 11339	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 1 ∈ ℂ)
9		evenz 48995	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12842	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		ppncan 11637	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) = (𝐴 + 𝐵))
13	12	eleq1d 2849	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
14	7, 8, 11, 13	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
15	4, 14	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  1c1 11238   + caddc 11240   − cmin 11578   Even ceven 48989   Odd codd 48990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-even 48991  df-odd 48992

This theorem is used by:  emee  49071  evensumeven  49072  mogoldbblem  49085  bgoldbtbndlem1  49170