Theorem epee 48897

Description: The sum of two even numbers is even. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
epee	⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem epee

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenp1odd 48832	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 1) ∈ Odd )
2		evenm1odd 48831	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → (𝐵 − 1) ∈ Odd )
3		opoeALTV 48875	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ Odd ∧ (𝐵 − 1) ∈ Odd ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
5		evenz 48822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12808	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		1cnd 11306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 1 ∈ ℂ)
9		evenz 48822	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12808	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		ppncan 11604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) = (𝐴 + 𝐵))
13	12	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
14	7, 8, 11, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
15	4, 14	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  1c1 11205   + caddc 11207   − cmin 11545   Even ceven 48816   Odd codd 48817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-even 48818  df-odd 48819

This theorem is used by:  emee  48898  evensumeven  48899  mogoldbblem  48912  bgoldbtbndlem1  48997