Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  epee Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem epee 42437
Description: The sum of two even numbers is even. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
epee ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem epee
StepHypRef Expression
1 evenp1odd 42376 . . 3 (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 1) ∈ Odd )
2 evenm1odd 42375 . . 3 (𝐵 ∈ Even → (𝐵 − 1) ∈ Odd )
3 opoeALTV 42417 . . 3 (((𝐴 + 1) ∈ Odd ∧ (𝐵 − 1) ∈ Odd ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
41, 2, 3syl2an 589 . 2 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
5 evenz 42366 . . . . 5 (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℤ)
65zcnd 11811 . . . 4 (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℂ)
76adantr 474 . . 3 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 1cnd 10351 . . 3 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 1 ∈ ℂ)
9 evenz 42366 . . . . 5 (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
109zcnd 11811 . . . 4 (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℂ)
1110adantl 475 . . 3 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 ppncan 10644 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) = (𝐴 + 𝐵))
1312eleq1d 2891 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
147, 8, 11, 13syl3anc 1494 . 2 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
154, 14mpbid 224 1 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111  wcel 2164  (class class class)co 6905  cc 10250  1c1 10253   + caddc 10255  cmin 10585   Even ceven 42360   Odd codd 42361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-even 42362  df-odd 42363
This theorem is referenced by:  emee  42438  evensumeven  42439  mogoldbblem  42452  bgoldbtbndlem1  42516
  Copyright terms: Public domain W3C validator