Theorem evensumeven 45128

Description: If a summand is even, the other summand is even iff the sum is even. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evensumeven	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))

Proof of Theorem evensumeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epee 45126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )
2	1	expcom 414	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
4		zcn 12324	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		evenz 45051	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12426	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℂ)
7		pncan 11227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
8	4, 6, 7	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
10		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐵 ∈ Even )
11	10	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → (𝐵 ∈ Even ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
12	11	ancomd 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ))
13		emee 45127	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ Even )
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ Even )
15	9, 14	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → 𝐴 ∈ Even )
16	15	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even → 𝐴 ∈ Even ))
17	3, 16	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271  ℂcc 10870   + caddc 10875   − cmin 11205  ℤcz 12319   Even ceven 45045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-even 45047  df-odd 45048

This theorem is referenced by:  sbgoldbaltlem1  45200