Theorem eqscut3 27792

Description: A variant of the simplicity theorem - if 𝐵 lies between the cut sets of 𝐴 but none of its options do, then 𝐴 = 𝐵. Theorem 11 of [Conway] p. 23. (Contributed by Scott Fenton, 28-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqscut3.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
eqscut3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆)
eqscut3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
eqscut3.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))
eqscut3.5	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {𝐵})
eqscut3.6	⊢ (𝜑 → {𝐵} <<s 𝑅)
eqscut3.7	⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝑂 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆) ¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
eqscut3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐿,𝑥_𝑂   𝑅,𝑥_𝑂   𝑀,𝑥_𝑂   𝑆,𝑥_𝑂   𝜑,𝑥_𝑂

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥_𝑂)   𝐵(𝑥_𝑂)

Proof of Theorem eqscut3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑥_𝐿 𝑥_𝑅 𝑧_𝐿 𝑧_𝑅 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → {𝑥𝑂} = {𝑧𝑅})
2	1	breq2d 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ↔ 𝐿 <<s {𝑧𝑅}))
3	1	breq1d 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → ({𝑥𝑂} <<s 𝑅 ↔ {𝑧𝑅} <<s 𝑅))
4	2, 3	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → ((𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅) ↔ (𝐿 <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝑧𝑅} <<s 𝑅)))
5	4	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → (¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅) ↔ ¬ (𝐿 <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝑧𝑅} <<s 𝑅)))
6		eqscut3.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝑂 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆) ¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑂 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆) ¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅))
8		elun2 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧𝑅 ∈ 𝑆 → 𝑧𝑅 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆))
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑧𝑅 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆))
10	5, 7, 9	rspcdva 3575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐿 <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝑧𝑅} <<s 𝑅))
11		eqscut3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {𝐵})
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝐿 <<s {𝐵})
13		eqscut3.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))
14	13	sneqd 4590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐵} = {(𝑀 |s 𝑆)})
15		eqscut3.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆)
16		scutcut 27769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
18	17	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆)
19	14, 18	eqbrtrd 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐵} <<s 𝑆)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝐵} <<s 𝑆)
21		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝑧𝑅 ∈ 𝑆)
22	21	snssd 4763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝑧𝑅} ⊆ 𝑆)
23		sssslt2 27764	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐵} <<s 𝑆 ∧ {𝑧𝑅} ⊆ 𝑆) → {𝐵} <<s {𝑧𝑅})
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝐵} <<s {𝑧𝑅})
25	15	scutcld 27771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 |s 𝑆) ∈ No )
26	13, 25	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
27		snnzg 4729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ No → {𝐵} ≠ ∅)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≠ ∅)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝐵} ≠ ∅)
30		sslttr 27775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 <<s {𝐵} ∧ {𝐵} <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝐵} ≠ ∅) → 𝐿 <<s {𝑧𝑅})
31	12, 24, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝐿 <<s {𝑧𝑅})
32		snex 5379	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧𝑅} ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝑧𝑅} ∈ V)
34		eqscut3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
35		ssltex2 27754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝑅 ∈ V)
38		ssltss2 27756	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} <<s {𝑧𝑅} → {𝑧𝑅} ⊆ No )
39	24, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝑧𝑅} ⊆ No )
40		ssltss2 27756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
41	34, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝑅 ⊆ No )
43		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → (𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆))
44		ssltss2 27756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑆 ⊆ No )
45	15, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ No )
46	45	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑧𝑅 ∈ No )
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑧𝑅 ∈ No )
48		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝜑)
49		eqscut3.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
50	34	scutcld 27771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) ∈ No )
51	49, 50	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ No )
53	42	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑥𝑅 ∈ No )
54		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑧𝑅 ≤s 𝐴)
55		scutcut 27769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
56	34, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
57	56	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅)
59	58	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅)
60		ovex 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 |s 𝑅) ∈ V
61	60	elsn2 4620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)} ↔ 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
62	49, 61	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
65		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑥𝑅 ∈ 𝑅)
66	59, 64, 65	ssltsepcd 27762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝐴 <s 𝑥𝑅)
67	47, 52, 53, 54, 66	slelttrd 27727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑧𝑅 <s 𝑥𝑅)
68		velsn 4594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} ↔ 𝑥 = 𝑧𝑅)
69		breq1 5099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧𝑅 → (𝑥 <s 𝑥𝑅 ↔ 𝑧𝑅 <s 𝑥𝑅))
70	68, 69	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} → (𝑥 <s 𝑥𝑅 ↔ 𝑧𝑅 <s 𝑥𝑅))
71	67, 70	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} → 𝑥 <s 𝑥𝑅))
72	71	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → (𝑥𝑅 ∈ 𝑅 → (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} → 𝑥 <s 𝑥𝑅)))
73	72	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} → (𝑥𝑅 ∈ 𝑅 → 𝑥 <s 𝑥𝑅)))
74	73	3imp 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧𝑅} ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑥 <s 𝑥𝑅)
75	33, 37, 39, 42, 74	ssltd 27758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝑧𝑅} <<s 𝑅)
76	31, 75	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → (𝐿 <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝑧𝑅} <<s 𝑅))
77	10, 76	mtand 815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴)
78	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ No )
79		sltnle 27719	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑧𝑅 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝑧𝑅 ↔ ¬ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴))
80	78, 46, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → (𝐴 <s 𝑧𝑅 ↔ ¬ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴))
81	77, 80	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝐴 <s 𝑧𝑅)
82	81	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧𝑅 ∈ 𝑆 𝐴 <s 𝑧𝑅)
83		ssltsep 27757	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s {𝐵} → ∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦)
84	11, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦)
85		breq2 5100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐵))
86	85	ralsng 4630	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ No → (∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐵))
87	26, 86	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐵))
88	87	ralbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 𝑥 <s 𝐵))
89	84, 88	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐿 𝑥 <s 𝐵)
90	34, 15, 49, 13	slerecd 27788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (∀𝑧𝑅 ∈ 𝑆 𝐴 <s 𝑧𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐿 𝑥 <s 𝐵)))
91	82, 89, 90	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
92		eqscut3.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} <<s 𝑅)
93		ssltsep 27757	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} <<s 𝑅 → ∀𝑥 ∈ {𝐵}∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦)
94	92, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐵}∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦)
95		breq1 5099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝐵 <s 𝑦))
96	95	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦))
97	96	ralsng 4630	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → (∀𝑥 ∈ {𝐵}∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦))
98	26, 97	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐵}∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦))
99	94, 98	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦)
100		sneq 4588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → {𝑥𝑂} = {𝑧𝐿})
101	100	breq2d 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ↔ 𝐿 <<s {𝑧𝐿}))
102	100	breq1d 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → ({𝑥𝑂} <<s 𝑅 ↔ {𝑧𝐿} <<s 𝑅))
103	101, 102	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → ((𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅) ↔ (𝐿 <<s {𝑧𝐿} ∧ {𝑧𝐿} <<s 𝑅)))
104	103	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → (¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅) ↔ ¬ (𝐿 <<s {𝑧𝐿} ∧ {𝑧𝐿} <<s 𝑅)))
105	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → ∀𝑥𝑂 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆) ¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅))
106		elun1 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧𝐿 ∈ 𝑀 → 𝑧𝐿 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆))
107	106	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝑧𝐿 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆))
108	104, 105, 107	rspcdva 3575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → ¬ (𝐿 <<s {𝑧𝐿} ∧ {𝑧𝐿} <<s 𝑅))
109		ssltex1 27753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
110	34, 109	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
111	110	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐿 ∈ V)
112		snex 5379	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧𝐿} ∈ V
113	112	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} ∈ V)
114		ssltss1 27755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
115	34, 114	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
116	115	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝐿 ⊆ No )
117	116	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐿 ⊆ No )
118		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝑧𝐿 ∈ 𝑀)
119	118	snssd 4763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} ⊆ 𝑀)
120		ssltss1 27755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑀 ⊆ No )
121	15, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ No )
122	121	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝑀 ⊆ No )
123	119, 122	sstrd 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} ⊆ No )
124	117	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑥𝐿 ∈ No )
125		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝜑)
126	125, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ No )
127	121	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝑧𝐿 ∈ No )
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝑧𝐿 ∈ No )
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑧𝐿 ∈ No )
130	56	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
134		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑥𝐿 ∈ 𝐿)
135	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
137	136	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
138	133, 134, 137	ssltsepcd 27762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑥𝐿 <s 𝐴)
139		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝐴 ≤s 𝑧𝐿)
140	124, 126, 129, 138, 139	sltletrd 27726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑥𝐿 <s 𝑧𝐿)
141		velsn 4594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧𝐿} ↔ 𝑥 = 𝑧𝐿)
142		breq2 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧𝐿 → (𝑥𝐿 <s 𝑥 ↔ 𝑥𝐿 <s 𝑧𝐿))
143	141, 142	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧𝐿} → (𝑥𝐿 <s 𝑥 ↔ 𝑥𝐿 <s 𝑧𝐿))
144	140, 143	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ {𝑧𝐿} → 𝑥𝐿 <s 𝑥))
145	144	3impia 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧𝐿}) → 𝑥𝐿 <s 𝑥)
146	111, 113, 117, 123, 145	ssltd 27758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐿 <<s {𝑧𝐿})
147	17	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)})
148	147, 14	breqtrrd 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s {𝐵})
149	148	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝑀 <<s {𝐵})
150	149	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝑀 <<s {𝐵})
151		sssslt1 27763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 <<s {𝐵} ∧ {𝑧𝐿} ⊆ 𝑀) → {𝑧𝐿} <<s {𝐵})
152	150, 119, 151	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} <<s {𝐵})
153		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝜑)
154	153, 92	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝐵} <<s 𝑅)
155	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → {𝐵} ≠ ∅)
156	155	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝐵} ≠ ∅)
157		sslttr 27775	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑧𝐿} <<s {𝐵} ∧ {𝐵} <<s 𝑅 ∧ {𝐵} ≠ ∅) → {𝑧𝐿} <<s 𝑅)
158	152, 154, 156, 157	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} <<s 𝑅)
159	146, 158	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → (𝐿 <<s {𝑧𝐿} ∧ {𝑧𝐿} <<s 𝑅))
160	108, 159	mtand 815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → ¬ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿)
161	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ No )
162		sltnle 27719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧𝐿 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝑧𝐿 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿))
163	127, 161, 162	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → (𝑧𝐿 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿))
164	160, 163	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝑧𝐿 <s 𝐴)
165	164	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧𝐿 ∈ 𝑀 𝑧𝐿 <s 𝐴)
166	15, 34, 13, 49	slerecd 27788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐿 ∈ 𝑀 𝑧𝐿 <s 𝐴)))
167	99, 165, 166	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤s 𝐴)
168		sletri3 27721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
169	51, 26, 168	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
170	91, 167, 169	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  {csn 4578   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356   No csur 27605   <s cslt 27606   ≤s csle 27710   <<s csslt 27747   |s cscut 27749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27608  df-slt 27609  df-bday 27610  df-sle 27711  df-sslt 27748  df-scut 27750

This theorem is referenced by:  pw2cut2  28419