MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpdivcld 12441
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpdivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpdivcl 12407 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7151   / cdiv 11289  +crp 12382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-rp 12383
This theorem is referenced by:  bcpasc  13674  mulcn2  14945  o1rlimmul  14968  mertenslem1  15232  mertenslem2  15233  effsumlt  15456  prmind2  16021  nlmvscnlem2  23209  nlmvscnlem1  23210  nghmcn  23269  lebnumlem3  23482  lebnumii  23485  nmoleub3  23638  ipcnlem2  23762  ipcnlem1  23763  equivcfil  23817  equivcau  23818  ovollb2lem  24004  ovoliunlem1  24018  uniioombllem6  24104  itg2const2  24257  itg2cnlem2  24278  aalioulem2  24837  aalioulem4  24839  aalioulem5  24840  aalioulem6  24841  aaliou  24842  aaliou2b  24845  aaliou3lem9  24854  itgulm  24911  abelthlem7  24941  abelthlem8  24942  tanrpcl  25005  logdivlti  25116  logcnlem2  25139  ang180lem2  25301  isosctrlem2  25310  birthdaylem2  25444  cxp2limlem  25467  cxp2lim  25468  cxploglim  25469  cxploglim2  25470  amgmlem  25481  logdiflbnd  25486  emcllem2  25488  fsumharmonic  25503  lgamgulmlem2  25521  lgamgulmlem3  25522  lgamgulmlem4  25523  lgamgulmlem5  25524  lgamgulmlem6  25525  lgamgulm2  25527  lgamucov  25529  lgamcvg2  25546  gamcvg  25547  gamcvg2lem  25550  regamcl  25552  relgamcl  25553  lgam1  25555  ftalem4  25567  chpval2  25708  chpchtsum  25709  logfacrlim  25714  logexprlim  25715  bclbnd  25770  bposlem1  25774  bposlem2  25775  lgsquadlem2  25871  chebbnd1lem1  25959  chebbnd1lem3  25961  chebbnd1  25962  chtppilimlem2  25964  chebbnd2  25967  chto1lb  25968  rplogsumlem2  25975  rpvmasumlem  25977  dchrvmasumlem1  25985  dchrvmasum2if  25987  dchrisum0lem1b  26005  dchrisum0lem2a  26007  vmalogdivsum2  26028  2vmadivsumlem  26030  selberglem3  26037  selberg  26038  selberg4lem1  26050  selberg3r  26059  selberg4r  26060  selberg34r  26061  pntrlog2bndlem1  26067  pntrlog2bndlem2  26068  pntrlog2bndlem3  26069  pntrlog2bndlem4  26070  pntrlog2bndlem5  26071  pntrlog2bndlem6a  26072  pntrlog2bndlem6  26073  pntrlog2bnd  26074  pntpbnd1a  26075  pntpbnd1  26076  pntpbnd2  26077  pntibndlem2  26081  pntibndlem3  26082  pntlemd  26084  pntlemc  26085  pntlema  26086  pntlemb  26087  pntlemg  26088  pntlemn  26090  pntlemq  26091  pntlemr  26092  pntlemj  26093  pntlemf  26095  pntlemo  26097  pnt2  26103  pnt  26104  ostth2lem3  26125  ostth2  26127  blocni  28496  ubthlem2  28562  lnconi  29724  rpxdivcld  30524  omssubadd  31444  hgt750leme  31815  faclimlem1  32859  faclimlem3  32861  faclim  32862  iprodfac  32863  equivtotbnd  34924  rrncmslem  34978  rrnequiv  34981  fltne  39133  irrapxlem5  39284  xralrple2  41483  xralrple3  41503  iooiinicc  41679  iooiinioc  41693  limclner  41793  fprodsubrecnncnvlem  42052  fprodaddrecnncnvlem  42054  stoweidlem31  42178  stoweidlem59  42206  wallispilem3  42214  wallispilem4  42215  wallispilem5  42216  wallispi  42217  wallispi2lem1  42218  stirlinglem2  42222  stirlinglem4  42224  stirlinglem8  42228  stirlinglem13  42233  stirlinglem15  42235  stirlingr  42237  fourierdlem30  42284  fourierdlem73  42326  fourierdlem87  42340  qndenserrnbllem  42441  ovnsubaddlem1  42714  ovnsubaddlem2  42715  hoiqssbllem1  42766  hoiqssbllem2  42767  hoiqssbllem3  42768  ovolval5lem1  42796  ovolval5lem2  42797  vonioolem1  42824  smfmullem1  42928  smfmullem2  42929  smfmullem3  42930
  Copyright terms: Public domain W3C validator