Theorem rpdivcld 13038

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13004	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412   / cdiv 11876  ℝ⁺crp 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-rp 12980

This theorem is referenced by:  bcpasc  14286  mulcn2  15545  o1rlimmul  15568  mertenslem1  15835  mertenslem2  15836  effsumlt  16059  prmind2  16627  nlmvscnlem2  24423  nlmvscnlem1  24424  nghmcn  24483  lebnumlem3  24710  lebnumii  24713  nmoleub3  24867  ipcnlem2  24993  ipcnlem1  24994  equivcfil  25048  equivcau  25049  ovollb2lem  25238  ovoliunlem1  25252  uniioombllem6  25338  itg2const2  25492  itg2cnlem2  25513  aalioulem2  26079  aalioulem4  26081  aalioulem5  26082  aalioulem6  26083  aaliou  26084  aaliou2b  26087  aaliou3lem9  26096  itgulm  26153  abelthlem7  26183  abelthlem8  26184  tanrpcl  26247  logdivlti  26361  logcnlem2  26384  ang180lem2  26548  isosctrlem2  26557  birthdaylem2  26690  cxp2limlem  26713  cxp2lim  26714  cxploglim  26715  cxploglim2  26716  amgmlem  26727  logdiflbnd  26732  emcllem2  26734  fsumharmonic  26749  lgamgulmlem2  26767  lgamgulmlem3  26768  lgamgulmlem4  26769  lgamgulmlem5  26770  lgamgulmlem6  26771  lgamgulm2  26773  lgamucov  26775  lgamcvg2  26792  gamcvg  26793  gamcvg2lem  26796  regamcl  26798  relgamcl  26799  lgam1  26801  ftalem4  26813  chpval2  26954  chpchtsum  26955  logfacrlim  26960  logexprlim  26961  bclbnd  27016  bposlem1  27020  bposlem2  27021  lgsquadlem2  27117  chebbnd1lem1  27205  chebbnd1lem3  27207  chebbnd1  27208  chtppilimlem2  27210  chebbnd2  27213  chto1lb  27214  rplogsumlem2  27221  rpvmasumlem  27223  dchrvmasumlem1  27231  dchrvmasum2if  27233  dchrisum0lem1b  27251  dchrisum0lem2a  27253  vmalogdivsum2  27274  2vmadivsumlem  27276  selberglem3  27283  selberg  27284  selberg4lem1  27296  selberg3r  27305  selberg4r  27306  selberg34r  27307  pntrlog2bndlem1  27313  pntrlog2bndlem2  27314  pntrlog2bndlem3  27315  pntrlog2bndlem4  27316  pntrlog2bndlem5  27317  pntrlog2bndlem6a  27318  pntrlog2bndlem6  27319  pntrlog2bnd  27320  pntpbnd1a  27321  pntpbnd1  27322  pntpbnd2  27323  pntibndlem2  27327  pntibndlem3  27328  pntlemd  27330  pntlemc  27331  pntlema  27332  pntlemb  27333  pntlemg  27334  pntlemn  27336  pntlemq  27337  pntlemr  27338  pntlemj  27339  pntlemf  27341  pntlemo  27343  pnt2  27349  pnt  27350  ostth2lem3  27371  ostth2  27373  nrt2irr  29990  blocni  30322  ubthlem2  30388  lnconi  31550  rpxdivcld  32364  omssubadd  33594  hgt750leme  33965  faclimlem1  35014  faclimlem3  35016  faclim  35017  iprodfac  35018  equivtotbnd  36950  rrncmslem  37004  rrnequiv  37007  3lexlogpow2ineq2  41231  3lexlogpow5ineq5  41232  aks4d1p1p7  41246  fltne  41689  irrapxlem5  41867  xralrple2  44364  xralrple3  44384  iooiinicc  44555  iooiinioc  44569  limclner  44667  fprodsubrecnncnvlem  44923  fprodaddrecnncnvlem  44925  stoweidlem31  45047  stoweidlem59  45075  wallispilem3  45083  wallispilem4  45084  wallispilem5  45085  wallispi  45086  wallispi2lem1  45087  stirlinglem2  45091  stirlinglem4  45093  stirlinglem8  45097  stirlinglem13  45102  stirlinglem15  45104  stirlingr  45106  fourierdlem30  45153  fourierdlem73  45195  fourierdlem87  45209  qndenserrnbllem  45310  ovnsubaddlem1  45586  ovnsubaddlem2  45587  hoiqssbllem1  45638  hoiqssbllem2  45639  hoiqssbllem3  45640  ovolval5lem1  45668  ovolval5lem2  45669  vonioolem1  45696  smfmullem1  45807  smfmullem2  45808  smfmullem3  45809