Theorem rpdivcld 12988

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   / cdiv 11811  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  bcpasc  14262  mulcn2  15538  o1rlimmul  15561  mertenslem1  15826  mertenslem2  15827  effsumlt  16055  prmind2  16631  nlmvscnlem2  24606  nlmvscnlem1  24607  nghmcn  24666  lebnumlem3  24895  lebnumii  24898  nmoleub3  25052  ipcnlem2  25177  ipcnlem1  25178  equivcfil  25232  equivcau  25233  ovollb2lem  25422  ovoliunlem1  25436  uniioombllem6  25522  itg2const2  25675  itg2cnlem2  25696  aalioulem2  26274  aalioulem4  26276  aalioulem5  26277  aalioulem6  26278  aaliou  26279  aaliou2b  26282  aaliou3lem9  26291  itgulm  26350  abelthlem7  26381  abelthlem8  26382  tanrpcl  26446  logdivlti  26562  logcnlem2  26585  ang180lem2  26753  isosctrlem2  26762  birthdaylem2  26895  cxp2limlem  26919  cxp2lim  26920  cxploglim  26921  cxploglim2  26922  amgmlem  26933  logdiflbnd  26938  emcllem2  26940  fsumharmonic  26955  lgamgulmlem2  26973  lgamgulmlem3  26974  lgamgulmlem4  26975  lgamgulmlem5  26976  lgamgulmlem6  26977  lgamgulm2  26979  lgamucov  26981  lgamcvg2  26998  gamcvg  26999  gamcvg2lem  27002  regamcl  27004  relgamcl  27005  lgam1  27007  ftalem4  27019  chpval2  27162  chpchtsum  27163  logfacrlim  27168  logexprlim  27169  bclbnd  27224  bposlem1  27228  bposlem2  27229  lgsquadlem2  27325  chebbnd1lem1  27413  chebbnd1lem3  27415  chebbnd1  27416  chtppilimlem2  27418  chebbnd2  27421  chto1lb  27422  rplogsumlem2  27429  rpvmasumlem  27431  dchrvmasumlem1  27439  dchrvmasum2if  27441  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem2a  27461  vmalogdivsum2  27482  2vmadivsumlem  27484  selberglem3  27491  selberg  27492  selberg4lem1  27504  selberg3r  27513  selberg4r  27514  selberg34r  27515  pntrlog2bndlem1  27521  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem3  27523  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntrlog2bndlem6a  27526  pntrlog2bndlem6  27527  pntrlog2bnd  27528  pntpbnd1a  27529  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  pntibndlem2  27535  pntibndlem3  27536  pntlemd  27538  pntlemc  27539  pntlema  27540  pntlemb  27541  pntlemg  27542  pntlemn  27544  pntlemq  27545  pntlemr  27546  pntlemj  27547  pntlemf  27549  pntlemo  27551  pnt2  27557  pnt  27558  ostth2lem3  27579  ostth2  27581  nrt2irr  30452  blocni  30784  ubthlem2  30850  lnconi  32012  rpxdivcld  32904  omssubadd  34284  hgt750leme  34642  faclimlem1  35723  faclimlem3  35725  faclim  35726  iprodfac  35727  equivtotbnd  37765  rrncmslem  37819  rrnequiv  37822  3lexlogpow2ineq2  42040  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1p1p7  42055  fltne  42625  irrapxlem5  42807  xralrple2  45343  xralrple3  45363  iooiinicc  45533  iooiinioc  45547  limclner  45642  fprodsubrecnncnvlem  45898  fprodaddrecnncnvlem  45900  stoweidlem31  46022  stoweidlem59  46050  wallispilem3  46058  wallispilem4  46059  wallispilem5  46060  wallispi  46061  wallispi2lem1  46062  stirlinglem2  46066  stirlinglem4  46068  stirlinglem8  46072  stirlinglem13  46077  stirlinglem15  46079  stirlingr  46081  fourierdlem30  46128  fourierdlem73  46170  fourierdlem87  46184  qndenserrnbllem  46285  ovnsubaddlem1  46561  ovnsubaddlem2  46562  hoiqssbllem1  46613  hoiqssbllem2  46614  hoiqssbllem3  46615  ovolval5lem1  46643  ovolval5lem2  46644  vonioolem1  46671  smfmullem1  46782  smfmullem2  46783  smfmullem3  46784