Theorem rpdivcld 12718

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12684	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   / cdiv 11562  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  bcpasc  13963  mulcn2  15233  o1rlimmul  15256  mertenslem1  15524  mertenslem2  15525  effsumlt  15748  prmind2  16318  nlmvscnlem2  23755  nlmvscnlem1  23756  nghmcn  23815  lebnumlem3  24032  lebnumii  24035  nmoleub3  24188  ipcnlem2  24313  ipcnlem1  24314  equivcfil  24368  equivcau  24369  ovollb2lem  24557  ovoliunlem1  24571  uniioombllem6  24657  itg2const2  24811  itg2cnlem2  24832  aalioulem2  25398  aalioulem4  25400  aalioulem5  25401  aalioulem6  25402  aaliou  25403  aaliou2b  25406  aaliou3lem9  25415  itgulm  25472  abelthlem7  25502  abelthlem8  25503  tanrpcl  25566  logdivlti  25680  logcnlem2  25703  ang180lem2  25865  isosctrlem2  25874  birthdaylem2  26007  cxp2limlem  26030  cxp2lim  26031  cxploglim  26032  cxploglim2  26033  amgmlem  26044  logdiflbnd  26049  emcllem2  26051  fsumharmonic  26066  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamgulmlem4  26086  lgamgulmlem5  26087  lgamgulmlem6  26088  lgamgulm2  26090  lgamucov  26092  lgamcvg2  26109  gamcvg  26110  gamcvg2lem  26113  regamcl  26115  relgamcl  26116  lgam1  26118  ftalem4  26130  chpval2  26271  chpchtsum  26272  logfacrlim  26277  logexprlim  26278  bclbnd  26333  bposlem1  26337  bposlem2  26338  lgsquadlem2  26434  chebbnd1lem1  26522  chebbnd1lem3  26524  chebbnd1  26525  chtppilimlem2  26527  chebbnd2  26530  chto1lb  26531  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrvmasumlem1  26548  dchrvmasum2if  26550  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem2a  26570  vmalogdivsum2  26591  2vmadivsumlem  26593  selberglem3  26600  selberg  26601  selberg4lem1  26613  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6a  26635  pntrlog2bndlem6  26636  pntrlog2bnd  26637  pntpbnd1a  26638  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  pntibndlem2  26644  pntibndlem3  26645  pntlemd  26647  pntlemc  26648  pntlema  26649  pntlemb  26650  pntlemg  26651  pntlemn  26653  pntlemq  26654  pntlemr  26655  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemo  26660  pnt2  26666  pnt  26667  ostth2lem3  26688  ostth2  26690  blocni  29068  ubthlem2  29134  lnconi  30296  rpxdivcld  31110  omssubadd  32167  hgt750leme  32538  faclimlem1  33615  faclimlem3  33617  faclim  33618  iprodfac  33619  equivtotbnd  35863  rrncmslem  35917  rrnequiv  35920  3lexlogpow2ineq2  39995  3lexlogpow5ineq5  39996  aks4d1p1p7  40010  fltne  40397  irrapxlem5  40564  xralrple2  42783  xralrple3  42803  iooiinicc  42970  iooiinioc  42984  limclner  43082  fprodsubrecnncnvlem  43338  fprodaddrecnncnvlem  43340  stoweidlem31  43462  stoweidlem59  43490  wallispilem3  43498  wallispilem4  43499  wallispilem5  43500  wallispi  43501  wallispi2lem1  43502  stirlinglem2  43506  stirlinglem4  43508  stirlinglem8  43512  stirlinglem13  43517  stirlinglem15  43519  stirlingr  43521  fourierdlem30  43568  fourierdlem73  43610  fourierdlem87  43624  qndenserrnbllem  43725  ovnsubaddlem1  43998  ovnsubaddlem2  43999  hoiqssbllem1  44050  hoiqssbllem2  44051  hoiqssbllem3  44052  ovolval5lem1  44080  ovolval5lem2  44081  vonioolem1  44108  smfmullem1  44212  smfmullem2  44213  smfmullem3  44214