Theorem rpdivcld 12436

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135   / cdiv 11286  ℝ⁺crp 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-rp 12378

This theorem is referenced by:  bcpasc  13677  mulcn2  14944  o1rlimmul  14967  mertenslem1  15232  mertenslem2  15233  effsumlt  15456  prmind2  16019  nlmvscnlem2  23291  nlmvscnlem1  23292  nghmcn  23351  lebnumlem3  23568  lebnumii  23571  nmoleub3  23724  ipcnlem2  23848  ipcnlem1  23849  equivcfil  23903  equivcau  23904  ovollb2lem  24092  ovoliunlem1  24106  uniioombllem6  24192  itg2const2  24345  itg2cnlem2  24366  aalioulem2  24929  aalioulem4  24931  aalioulem5  24932  aalioulem6  24933  aaliou  24934  aaliou2b  24937  aaliou3lem9  24946  itgulm  25003  abelthlem7  25033  abelthlem8  25034  tanrpcl  25097  logdivlti  25211  logcnlem2  25234  ang180lem2  25396  isosctrlem2  25405  birthdaylem2  25538  cxp2limlem  25561  cxp2lim  25562  cxploglim  25563  cxploglim2  25564  amgmlem  25575  logdiflbnd  25580  emcllem2  25582  fsumharmonic  25597  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  lgamgulmlem4  25617  lgamgulmlem5  25618  lgamgulmlem6  25619  lgamgulm2  25621  lgamucov  25623  lgamcvg2  25640  gamcvg  25641  gamcvg2lem  25644  regamcl  25646  relgamcl  25647  lgam1  25649  ftalem4  25661  chpval2  25802  chpchtsum  25803  logfacrlim  25808  logexprlim  25809  bclbnd  25864  bposlem1  25868  bposlem2  25869  lgsquadlem2  25965  chebbnd1lem1  26053  chebbnd1lem3  26055  chebbnd1  26056  chtppilimlem2  26058  chebbnd2  26061  chto1lb  26062  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrvmasumlem1  26079  dchrvmasum2if  26081  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem2a  26101  vmalogdivsum2  26122  2vmadivsumlem  26124  selberglem3  26131  selberg  26132  selberg4lem1  26144  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem3  26163  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntrlog2bndlem6a  26166  pntrlog2bndlem6  26167  pntrlog2bnd  26168  pntpbnd1a  26169  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntibndlem3  26176  pntlemd  26178  pntlemc  26179  pntlema  26180  pntlemb  26181  pntlemg  26182  pntlemn  26184  pntlemq  26185  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemf  26189  pntlemo  26191  pnt2  26197  pnt  26198  ostth2lem3  26219  ostth2  26221  blocni  28588  ubthlem2  28654  lnconi  29816  rpxdivcld  30636  omssubadd  31668  hgt750leme  32039  faclimlem1  33088  faclimlem3  33090  faclim  33091  iprodfac  33092  equivtotbnd  35216  rrncmslem  35270  rrnequiv  35273  fltne  39616  irrapxlem5  39767  xralrple2  41986  xralrple3  42006  iooiinicc  42179  iooiinioc  42193  limclner  42293  fprodsubrecnncnvlem  42549  fprodaddrecnncnvlem  42551  stoweidlem31  42673  stoweidlem59  42701  wallispilem3  42709  wallispilem4  42710  wallispilem5  42711  wallispi  42712  wallispi2lem1  42713  stirlinglem2  42717  stirlinglem4  42719  stirlinglem8  42723  stirlinglem13  42728  stirlinglem15  42730  stirlingr  42732  fourierdlem30  42779  fourierdlem73  42821  fourierdlem87  42835  qndenserrnbllem  42936  ovnsubaddlem1  43209  ovnsubaddlem2  43210  hoiqssbllem1  43261  hoiqssbllem2  43262  hoiqssbllem3  43263  ovolval5lem1  43291  ovolval5lem2  43292  vonioolem1  43319  smfmullem1  43423  smfmullem2  43424  smfmullem3  43425