Theorem rpdivcld 12998

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12964	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 591	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360   / cdiv 11802  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-rp 12938

This theorem is referenced by:  bcpasc  14278  mulcn2  15553  o1rlimmul  15576  mertenslem1  15844  mertenslem2  15845  effsumlt  16073  prmind2  16649  nlmvscnlem2  24672  nlmvscnlem1  24673  nghmcn  24732  lebnumlem3  24952  lebnumii  24955  nmoleub3  25108  ipcnlem2  25233  ipcnlem1  25234  equivcfil  25288  equivcau  25289  ovollb2lem  25477  ovoliunlem1  25491  uniioombllem6  25577  itg2const2  25730  itg2cnlem2  25751  aalioulem2  26321  aalioulem4  26323  aalioulem5  26324  aalioulem6  26325  aaliou  26326  aaliou2b  26329  aaliou3lem9  26338  itgulm  26395  abelthlem7  26425  abelthlem8  26426  tanrpcl  26490  logdivlti  26606  logcnlem2  26629  ang180lem2  26796  isosctrlem2  26805  birthdaylem2  26938  cxp2limlem  26961  cxp2lim  26962  cxploglim  26963  cxploglim2  26964  amgmlem  26975  logdiflbnd  26980  emcllem2  26982  fsumharmonic  26997  lgamgulmlem2  27015  lgamgulmlem3  27016  lgamgulmlem4  27017  lgamgulmlem5  27018  lgamgulmlem6  27019  lgamgulm2  27021  lgamucov  27023  lgamcvg2  27040  gamcvg  27041  gamcvg2lem  27044  regamcl  27046  relgamcl  27047  lgam1  27049  ftalem4  27061  chpval2  27203  chpchtsum  27204  logfacrlim  27209  logexprlim  27210  bclbnd  27265  bposlem1  27269  bposlem2  27270  lgsquadlem2  27366  chebbnd1lem1  27454  chebbnd1lem3  27456  chebbnd1  27457  chtppilimlem2  27459  chebbnd2  27462  chto1lb  27463  rplogsumlem2  27470  rpvmasumlem  27472  dchrvmasumlem1  27480  dchrvmasum2if  27482  dchrisum0lem1b  27500  dchrisum0lem2a  27502  vmalogdivsum2  27523  2vmadivsumlem  27525  selberglem3  27532  selberg  27533  selberg4lem1  27545  selberg3r  27554  selberg4r  27555  selberg34r  27556  pntrlog2bndlem1  27562  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem3  27564  pntrlog2bndlem4  27565  pntrlog2bndlem5  27566  pntrlog2bndlem6a  27567  pntrlog2bndlem6  27568  pntrlog2bnd  27569  pntpbnd1a  27570  pntpbnd1  27571  pntpbnd2  27572  pntibndlem2  27576  pntibndlem3  27577  pntlemd  27579  pntlemc  27580  pntlema  27581  pntlemb  27582  pntlemg  27583  pntlemn  27585  pntlemq  27586  pntlemr  27587  pntlemj  27588  pntlemf  27590  pntlemo  27592  pnt2  27598  pnt  27599  ostth2lem3  27620  ostth2  27622  nrt2irr  30565  blocni  30898  ubthlem2  30964  lnconi  32126  rpxdivcld  33016  omssubadd  34496  hgt750leme  34854  faclimlem1  35986  faclimlem3  35988  faclim  35989  iprodfac  35990  equivtotbnd  38160  rrncmslem  38214  rrnequiv  38217  3lexlogpow2ineq2  42559  3lexlogpow5ineq5  42560  aks4d1p1p7  42574  fltne  43109  irrapxlem5  43286  xralrple2  45813  xralrple3  45832  iooiinicc  46001  iooiinioc  46015  limclner  46108  fprodsubrecnncnvlem  46364  fprodaddrecnncnvlem  46366  stoweidlem31  46488  stoweidlem59  46516  wallispilem3  46524  wallispilem4  46525  wallispilem5  46526  wallispi  46527  wallispi2lem1  46528  stirlinglem2  46532  stirlinglem4  46534  stirlinglem8  46538  stirlinglem13  46543  stirlinglem15  46545  stirlingr  46547  fourierdlem30  46594  fourierdlem73  46636  fourierdlem87  46650  qndenserrnbllem  46751  ovnsubaddlem1  47027  ovnsubaddlem2  47028  hoiqssbllem1  47079  hoiqssbllem2  47080  hoiqssbllem3  47081  ovolval5lem1  47109  ovolval5lem2  47110  vonioolem1  47137  smfmullem1  47248  smfmullem2  47249  smfmullem3  47250