Theorem rpdivcld 12970

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12936	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-rp 12910

This theorem is referenced by:  bcpasc  14248  mulcn2  15523  o1rlimmul  15546  mertenslem1  15811  mertenslem2  15812  effsumlt  16040  prmind2  16616  nlmvscnlem2  24633  nlmvscnlem1  24634  nghmcn  24693  lebnumlem3  24922  lebnumii  24925  nmoleub3  25079  ipcnlem2  25204  ipcnlem1  25205  equivcfil  25259  equivcau  25260  ovollb2lem  25449  ovoliunlem1  25463  uniioombllem6  25549  itg2const2  25702  itg2cnlem2  25723  aalioulem2  26301  aalioulem4  26303  aalioulem5  26304  aalioulem6  26305  aaliou  26306  aaliou2b  26309  aaliou3lem9  26318  itgulm  26377  abelthlem7  26408  abelthlem8  26409  tanrpcl  26473  logdivlti  26589  logcnlem2  26612  ang180lem2  26780  isosctrlem2  26789  birthdaylem2  26922  cxp2limlem  26946  cxp2lim  26947  cxploglim  26948  cxploglim2  26949  amgmlem  26960  logdiflbnd  26965  emcllem2  26967  fsumharmonic  26982  lgamgulmlem2  27000  lgamgulmlem3  27001  lgamgulmlem4  27002  lgamgulmlem5  27003  lgamgulmlem6  27004  lgamgulm2  27006  lgamucov  27008  lgamcvg2  27025  gamcvg  27026  gamcvg2lem  27029  regamcl  27031  relgamcl  27032  lgam1  27034  ftalem4  27046  chpval2  27189  chpchtsum  27190  logfacrlim  27195  logexprlim  27196  bclbnd  27251  bposlem1  27255  bposlem2  27256  lgsquadlem2  27352  chebbnd1lem1  27440  chebbnd1lem3  27442  chebbnd1  27443  chtppilimlem2  27445  chebbnd2  27448  chto1lb  27449  rplogsumlem2  27456  rpvmasumlem  27458  dchrvmasumlem1  27466  dchrvmasum2if  27468  dchrisum0lem1b  27486  dchrisum0lem2a  27488  vmalogdivsum2  27509  2vmadivsumlem  27511  selberglem3  27518  selberg  27519  selberg4lem1  27531  selberg3r  27540  selberg4r  27541  selberg34r  27542  pntrlog2bndlem1  27548  pntrlog2bndlem2  27549  pntrlog2bndlem3  27550  pntrlog2bndlem4  27551  pntrlog2bndlem5  27552  pntrlog2bndlem6a  27553  pntrlog2bndlem6  27554  pntrlog2bnd  27555  pntpbnd1a  27556  pntpbnd1  27557  pntpbnd2  27558  pntibndlem2  27562  pntibndlem3  27563  pntlemd  27565  pntlemc  27566  pntlema  27567  pntlemb  27568  pntlemg  27569  pntlemn  27571  pntlemq  27572  pntlemr  27573  pntlemj  27574  pntlemf  27576  pntlemo  27578  pnt2  27584  pnt  27585  ostth2lem3  27606  ostth2  27608  nrt2irr  30552  blocni  30884  ubthlem2  30950  lnconi  32112  rpxdivcld  33017  omssubadd  34459  hgt750leme  34817  faclimlem1  35939  faclimlem3  35941  faclim  35942  iprodfac  35943  equivtotbnd  37981  rrncmslem  38035  rrnequiv  38038  3lexlogpow2ineq2  42381  3lexlogpow5ineq5  42382  aks4d1p1p7  42396  fltne  42954  irrapxlem5  43135  xralrple2  45666  xralrple3  45685  iooiinicc  45855  iooiinioc  45869  limclner  45962  fprodsubrecnncnvlem  46218  fprodaddrecnncnvlem  46220  stoweidlem31  46342  stoweidlem59  46370  wallispilem3  46378  wallispilem4  46379  wallispilem5  46380  wallispi  46381  wallispi2lem1  46382  stirlinglem2  46386  stirlinglem4  46388  stirlinglem8  46392  stirlinglem13  46397  stirlinglem15  46399  stirlingr  46401  fourierdlem30  46448  fourierdlem73  46490  fourierdlem87  46504  qndenserrnbllem  46605  ovnsubaddlem1  46881  ovnsubaddlem2  46882  hoiqssbllem1  46933  hoiqssbllem2  46934  hoiqssbllem3  46935  ovolval5lem1  46963  ovolval5lem2  46964  vonioolem1  46991  smfmullem1  47102  smfmullem2  47103  smfmullem3  47104