Theorem rpdivcld 13205

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13171	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440   / cdiv 11997  ℝ⁺crp 13144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-rp 13145

This theorem is used by:  bcpasc  14489  mulcn2  15789  o1rlimmul  15812  mertenslem1  16079  mertenslem2  16080  effsumlt  16305  prmind2  16886  nlmvscnlem2  25031  nlmvscnlem1  25032  nghmcn  25091  lebnumlem3  25311  lebnumii  25314  nmoleub3  25467  ipcnlem2  25592  ipcnlem1  25593  equivcfil  25647  equivcau  25648  ovollb2lem  25836  ovoliunlem1  25850  uniioombllem6  25936  itg2const2  26089  itg2cnlem2  26110  aalioulem2  26687  aalioulem4  26689  aalioulem5  26690  aalioulem6  26691  aaliou  26692  aaliou2b  26695  aaliou3lem9  26704  itgulm  26762  abelthlem7  26792  abelthlem8  26793  tanrpcl  26860  logdivlti  26975  logcnlem2  26998  ang180lem2  27165  isosctrlem2  27174  birthdaylem2  27307  cxp2limlem  27330  cxp2lim  27331  cxploglim  27332  cxploglim2  27333  amgmlem  27344  logdiflbnd  27349  emcllem2  27351  fsumharmonic  27366  lgamgulmlem2  27384  lgamgulmlem3  27385  lgamgulmlem4  27386  lgamgulmlem5  27387  lgamgulmlem6  27388  lgamgulm2  27390  lgamucov  27392  lgamcvg2  27409  gamcvg  27410  gamcvg2lem  27413  regamcl  27415  relgamcl  27416  lgam1  27418  ftalem4  27430  chpval2  27572  chpchtsum  27573  logfacrlim  27578  logexprlim  27579  bclbnd  27634  bposlem1  27638  bposlem2  27639  lgsquadlem2  27735  chebbnd1lem1  27823  chebbnd1lem3  27825  chebbnd1  27826  chtppilimlem2  27828  chebbnd2  27831  chto1lb  27832  rplogsumlem2  27839  rpvmasumlem  27841  dchrvmasumlem1  27849  dchrvmasum2if  27851  dchrisum0lem1b  27869  dchrisum0lem2a  27871  vmalogdivsum2  27892  2vmadivsumlem  27894  selberglem3  27901  selberg  27902  selberg4lem1  27914  selberg3r  27923  selberg4r  27924  selberg34r  27925  pntrlog2bndlem1  27931  pntrlog2bndlem2  27932  pntrlog2bndlem3  27933  pntrlog2bndlem4  27934  pntrlog2bndlem5  27935  pntrlog2bndlem6a  27936  pntrlog2bndlem6  27937  pntrlog2bnd  27938  pntpbnd1a  27939  pntpbnd1  27940  pntpbnd2  27941  pntibndlem2  27945  pntibndlem3  27946  pntlemd  27948  pntlemc  27949  pntlema  27950  pntlemb  27951  pntlemg  27952  pntlemn  27954  pntlemq  27955  pntlemr  27956  pntlemj  27957  pntlemf  27959  pntlemo  27961  pnt2  27967  pnt  27968  ostth2lem3  27989  ostth2  27991  fltne  28002  nrt2irr  31101  blocni  31434  ubthlem2  31500  lnconi  32662  rpxdivcld  33567  omssubadd  34999  hgt750leme  35354  faclimlem1  36685  faclimlem3  36687  faclim  36688  iprodfac  36689  equivtotbnd  38903  rrncmslem  38957  rrnequiv  38960  3lexlogpow2ineq2  43300  3lexlogpow5ineq5  43301  aks4d1p1p7  43315  irrapxlem5  44024  xralrple2  46569  xralrple3  46588  iooiinicc  46757  iooiinioc  46771  limclner  46864  fprodsubrecnncnvlem  47120  fprodaddrecnncnvlem  47122  stoweidlem31  47244  stoweidlem59  47272  wallispilem3  47280  wallispilem4  47281  wallispilem5  47282  wallispi  47283  wallispi2lem1  47284  stirlinglem2  47288  stirlinglem4  47290  stirlinglem8  47294  stirlinglem13  47299  stirlinglem15  47301  stirlingr  47303  fourierdlem30  47350  fourierdlem73  47392  fourierdlem87  47406  qndenserrnbllem  47507  ovnsubaddlem1  47783  ovnsubaddlem2  47784  hoiqssbllem1  47835  hoiqssbllem2  47836  hoiqssbllem3  47837  ovolval5lem1  47865  ovolval5lem2  47866  vonioolem1  47893  smfmullem1  48004  smfmullem2  48005  smfmullem3  48006