Theorem rpdivcld 13182

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7421   / cdiv 11974  ℝ⁺crp 13121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-rp 13122

This theorem is used by:  bcpasc  14466  mulcn2  15764  o1rlimmul  15787  mertenslem1  16054  mertenslem2  16055  effsumlt  16280  prmind2  16861  nlmvscnlem2  25005  nlmvscnlem1  25006  nghmcn  25065  lebnumlem3  25285  lebnumii  25288  nmoleub3  25441  ipcnlem2  25566  ipcnlem1  25567  equivcfil  25621  equivcau  25622  ovollb2lem  25810  ovoliunlem1  25824  uniioombllem6  25910  itg2const2  26063  itg2cnlem2  26084  aalioulem2  26661  aalioulem4  26663  aalioulem5  26664  aalioulem6  26665  aaliou  26666  aaliou2b  26669  aaliou3lem9  26678  itgulm  26736  abelthlem7  26766  abelthlem8  26767  tanrpcl  26834  logdivlti  26949  logcnlem2  26972  ang180lem2  27139  isosctrlem2  27148  birthdaylem2  27281  cxp2limlem  27304  cxp2lim  27305  cxploglim  27306  cxploglim2  27307  amgmlem  27318  logdiflbnd  27323  emcllem2  27325  fsumharmonic  27340  lgamgulmlem2  27358  lgamgulmlem3  27359  lgamgulmlem4  27360  lgamgulmlem5  27361  lgamgulmlem6  27362  lgamgulm2  27364  lgamucov  27366  lgamcvg2  27383  gamcvg  27384  gamcvg2lem  27387  regamcl  27389  relgamcl  27390  lgam1  27392  ftalem4  27404  chpval2  27546  chpchtsum  27547  logfacrlim  27552  logexprlim  27553  bclbnd  27608  bposlem1  27612  bposlem2  27613  lgsquadlem2  27709  chebbnd1lem1  27797  chebbnd1lem3  27799  chebbnd1  27800  chtppilimlem2  27802  chebbnd2  27805  chto1lb  27806  rplogsumlem2  27813  rpvmasumlem  27815  dchrvmasumlem1  27823  dchrvmasum2if  27825  dchrisum0lem1b  27843  dchrisum0lem2a  27845  vmalogdivsum2  27866  2vmadivsumlem  27868  selberglem3  27875  selberg  27876  selberg4lem1  27888  selberg3r  27897  selberg4r  27898  selberg34r  27899  pntrlog2bndlem1  27905  pntrlog2bndlem2  27906  pntrlog2bndlem3  27907  pntrlog2bndlem4  27908  pntrlog2bndlem5  27909  pntrlog2bndlem6a  27910  pntrlog2bndlem6  27911  pntrlog2bnd  27912  pntpbnd1a  27913  pntpbnd1  27914  pntpbnd2  27915  pntibndlem2  27919  pntibndlem3  27920  pntlemd  27922  pntlemc  27923  pntlema  27924  pntlemb  27925  pntlemg  27926  pntlemn  27928  pntlemq  27929  pntlemr  27930  pntlemj  27931  pntlemf  27933  pntlemo  27935  pnt2  27941  pnt  27942  ostth2lem3  27963  ostth2  27965  fltne  27976  nrt2irr  31075  blocni  31408  ubthlem2  31474  lnconi  32636  rpxdivcld  33501  omssubadd  34933  hgt750leme  35288  faclimlem1  36509  faclimlem3  36511  faclim  36512  iprodfac  36513  equivtotbnd  38714  rrncmslem  38768  rrnequiv  38771  3lexlogpow2ineq2  43111  3lexlogpow5ineq5  43112  aks4d1p1p7  43126  irrapxlem5  43834  xralrple2  46367  xralrple3  46386  iooiinicc  46555  iooiinioc  46569  limclner  46662  fprodsubrecnncnvlem  46918  fprodaddrecnncnvlem  46920  stoweidlem31  47042  stoweidlem59  47070  wallispilem3  47078  wallispilem4  47079  wallispilem5  47080  wallispi  47081  wallispi2lem1  47082  stirlinglem2  47086  stirlinglem4  47088  stirlinglem8  47092  stirlinglem13  47097  stirlinglem15  47099  stirlingr  47101  fourierdlem30  47148  fourierdlem73  47190  fourierdlem87  47204  qndenserrnbllem  47305  ovnsubaddlem1  47581  ovnsubaddlem2  47582  hoiqssbllem1  47633  hoiqssbllem2  47634  hoiqssbllem3  47635  ovolval5lem1  47663  ovolval5lem2  47664  vonioolem1  47691  smfmullem1  47802  smfmullem2  47803  smfmullem3  47804