Theorem rpdivcld 12789

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12755	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  bcpasc  14035  mulcn2  15305  o1rlimmul  15328  mertenslem1  15596  mertenslem2  15597  effsumlt  15820  prmind2  16390  nlmvscnlem2  23849  nlmvscnlem1  23850  nghmcn  23909  lebnumlem3  24126  lebnumii  24129  nmoleub3  24282  ipcnlem2  24408  ipcnlem1  24409  equivcfil  24463  equivcau  24464  ovollb2lem  24652  ovoliunlem1  24666  uniioombllem6  24752  itg2const2  24906  itg2cnlem2  24927  aalioulem2  25493  aalioulem4  25495  aalioulem5  25496  aalioulem6  25497  aaliou  25498  aaliou2b  25501  aaliou3lem9  25510  itgulm  25567  abelthlem7  25597  abelthlem8  25598  tanrpcl  25661  logdivlti  25775  logcnlem2  25798  ang180lem2  25960  isosctrlem2  25969  birthdaylem2  26102  cxp2limlem  26125  cxp2lim  26126  cxploglim  26127  cxploglim2  26128  amgmlem  26139  logdiflbnd  26144  emcllem2  26146  fsumharmonic  26161  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem3  26180  lgamgulmlem4  26181  lgamgulmlem5  26182  lgamgulmlem6  26183  lgamgulm2  26185  lgamucov  26187  lgamcvg2  26204  gamcvg  26205  gamcvg2lem  26208  regamcl  26210  relgamcl  26211  lgam1  26213  ftalem4  26225  chpval2  26366  chpchtsum  26367  logfacrlim  26372  logexprlim  26373  bclbnd  26428  bposlem1  26432  bposlem2  26433  lgsquadlem2  26529  chebbnd1lem1  26617  chebbnd1lem3  26619  chebbnd1  26620  chtppilimlem2  26622  chebbnd2  26625  chto1lb  26626  rplogsumlem2  26633  rpvmasumlem  26635  dchrvmasumlem1  26643  dchrvmasum2if  26645  dchrisum0lem1b  26663  dchrisum0lem2a  26665  vmalogdivsum2  26686  2vmadivsumlem  26688  selberglem3  26695  selberg  26696  selberg4lem1  26708  selberg3r  26717  selberg4r  26718  selberg34r  26719  pntrlog2bndlem1  26725  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem3  26727  pntrlog2bndlem4  26728  pntrlog2bndlem5  26729  pntrlog2bndlem6a  26730  pntrlog2bndlem6  26731  pntrlog2bnd  26732  pntpbnd1a  26733  pntpbnd1  26734  pntpbnd2  26735  pntibndlem2  26739  pntibndlem3  26740  pntlemd  26742  pntlemc  26743  pntlema  26744  pntlemb  26745  pntlemg  26746  pntlemn  26748  pntlemq  26749  pntlemr  26750  pntlemj  26751  pntlemf  26753  pntlemo  26755  pnt2  26761  pnt  26762  ostth2lem3  26783  ostth2  26785  blocni  29167  ubthlem2  29233  lnconi  30395  rpxdivcld  31208  omssubadd  32267  hgt750leme  32638  faclimlem1  33709  faclimlem3  33711  faclim  33712  iprodfac  33713  equivtotbnd  35936  rrncmslem  35990  rrnequiv  35993  3lexlogpow2ineq2  40067  3lexlogpow5ineq5  40068  aks4d1p1p7  40082  fltne  40481  irrapxlem5  40648  xralrple2  42893  xralrple3  42913  iooiinicc  43080  iooiinioc  43094  limclner  43192  fprodsubrecnncnvlem  43448  fprodaddrecnncnvlem  43450  stoweidlem31  43572  stoweidlem59  43600  wallispilem3  43608  wallispilem4  43609  wallispilem5  43610  wallispi  43611  wallispi2lem1  43612  stirlinglem2  43616  stirlinglem4  43618  stirlinglem8  43622  stirlinglem13  43627  stirlinglem15  43629  stirlingr  43631  fourierdlem30  43678  fourierdlem73  43720  fourierdlem87  43734  qndenserrnbllem  43835  ovnsubaddlem1  44108  ovnsubaddlem2  44109  hoiqssbllem1  44160  hoiqssbllem2  44161  hoiqssbllem3  44162  ovolval5lem1  44190  ovolval5lem2  44191  vonioolem1  44218  smfmullem1  44325  smfmullem2  44326  smfmullem3  44327