Theorem rpdivcld 13003

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12969	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   / cdiv 11807  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  bcpasc  14283  mulcn2  15558  o1rlimmul  15581  mertenslem1  15849  mertenslem2  15850  effsumlt  16078  prmind2  16654  nlmvscnlem2  24650  nlmvscnlem1  24651  nghmcn  24710  lebnumlem3  24930  lebnumii  24933  nmoleub3  25086  ipcnlem2  25211  ipcnlem1  25212  equivcfil  25266  equivcau  25267  ovollb2lem  25455  ovoliunlem1  25469  uniioombllem6  25555  itg2const2  25708  itg2cnlem2  25729  aalioulem2  26299  aalioulem4  26301  aalioulem5  26302  aalioulem6  26303  aaliou  26304  aaliou2b  26307  aaliou3lem9  26316  itgulm  26373  abelthlem7  26403  abelthlem8  26404  tanrpcl  26468  logdivlti  26584  logcnlem2  26607  ang180lem2  26774  isosctrlem2  26783  birthdaylem2  26916  cxp2limlem  26939  cxp2lim  26940  cxploglim  26941  cxploglim2  26942  amgmlem  26953  logdiflbnd  26958  emcllem2  26960  fsumharmonic  26975  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem4  26995  lgamgulmlem5  26996  lgamgulmlem6  26997  lgamgulm2  26999  lgamucov  27001  lgamcvg2  27018  gamcvg  27019  gamcvg2lem  27022  regamcl  27024  relgamcl  27025  lgam1  27027  ftalem4  27039  chpval2  27181  chpchtsum  27182  logfacrlim  27187  logexprlim  27188  bclbnd  27243  bposlem1  27247  bposlem2  27248  lgsquadlem2  27344  chebbnd1lem1  27432  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  chtppilimlem2  27437  chebbnd2  27440  chto1lb  27441  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrvmasumlem1  27458  dchrvmasum2if  27460  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem2a  27480  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  selberglem3  27510  selberg  27511  selberg4lem1  27523  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6a  27545  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd1a  27548  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntibndlem3  27555  pntlemd  27557  pntlemc  27558  pntlema  27559  pntlemb  27560  pntlemg  27561  pntlemn  27563  pntlemq  27564  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemf  27568  pntlemo  27570  pnt2  27576  pnt  27577  ostth2lem3  27598  ostth2  27600  nrt2irr  30543  blocni  30876  ubthlem2  30942  lnconi  32104  rpxdivcld  32993  omssubadd  34444  hgt750leme  34802  faclimlem1  35925  faclimlem3  35927  faclim  35928  iprodfac  35929  equivtotbnd  38099  rrncmslem  38153  rrnequiv  38156  3lexlogpow2ineq2  42498  3lexlogpow5ineq5  42499  aks4d1p1p7  42513  fltne  43077  irrapxlem5  43254  xralrple2  45784  xralrple3  45803  iooiinicc  45972  iooiinioc  45986  limclner  46079  fprodsubrecnncnvlem  46335  fprodaddrecnncnvlem  46337  stoweidlem31  46459  stoweidlem59  46487  wallispilem3  46495  wallispilem4  46496  wallispilem5  46497  wallispi  46498  wallispi2lem1  46499  stirlinglem2  46503  stirlinglem4  46505  stirlinglem8  46509  stirlinglem13  46514  stirlinglem15  46516  stirlingr  46518  fourierdlem30  46565  fourierdlem73  46607  fourierdlem87  46621  qndenserrnbllem  46722  ovnsubaddlem1  46998  ovnsubaddlem2  46999  hoiqssbllem1  47050  hoiqssbllem2  47051  hoiqssbllem3  47052  ovolval5lem1  47080  ovolval5lem2  47081  vonioolem1  47108  smfmullem1  47219  smfmullem2  47220  smfmullem3  47221