Theorem rpdivcld 12954

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   / cdiv 11777  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  bcpasc  14228  mulcn2  15503  o1rlimmul  15526  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  effsumlt  16020  prmind2  16596  nlmvscnlem2  24571  nlmvscnlem1  24572  nghmcn  24631  lebnumlem3  24860  lebnumii  24863  nmoleub3  25017  ipcnlem2  25142  ipcnlem1  25143  equivcfil  25197  equivcau  25198  ovollb2lem  25387  ovoliunlem1  25401  uniioombllem6  25487  itg2const2  25640  itg2cnlem2  25661  aalioulem2  26239  aalioulem4  26241  aalioulem5  26242  aalioulem6  26243  aaliou  26244  aaliou2b  26247  aaliou3lem9  26256  itgulm  26315  abelthlem7  26346  abelthlem8  26347  tanrpcl  26411  logdivlti  26527  logcnlem2  26550  ang180lem2  26718  isosctrlem2  26727  birthdaylem2  26860  cxp2limlem  26884  cxp2lim  26885  cxploglim  26886  cxploglim2  26887  amgmlem  26898  logdiflbnd  26903  emcllem2  26905  fsumharmonic  26920  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem4  26940  lgamgulmlem5  26941  lgamgulmlem6  26942  lgamgulm2  26944  lgamucov  26946  lgamcvg2  26963  gamcvg  26964  gamcvg2lem  26967  regamcl  26969  relgamcl  26970  lgam1  26972  ftalem4  26984  chpval2  27127  chpchtsum  27128  logfacrlim  27133  logexprlim  27134  bclbnd  27189  bposlem1  27193  bposlem2  27194  lgsquadlem2  27290  chebbnd1lem1  27378  chebbnd1lem3  27380  chebbnd1  27381  chtppilimlem2  27383  chebbnd2  27386  chto1lb  27387  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrvmasumlem1  27404  dchrvmasum2if  27406  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem2a  27426  vmalogdivsum2  27447  2vmadivsumlem  27449  selberglem3  27456  selberg  27457  selberg4lem1  27469  selberg3r  27478  selberg4r  27479  selberg34r  27480  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6a  27491  pntrlog2bndlem6  27492  pntrlog2bnd  27493  pntpbnd1a  27494  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntibndlem3  27501  pntlemd  27503  pntlemc  27504  pntlema  27505  pntlemb  27506  pntlemg  27507  pntlemn  27509  pntlemq  27510  pntlemr  27511  pntlemj  27512  pntlemf  27514  pntlemo  27516  pnt2  27522  pnt  27523  ostth2lem3  27544  ostth2  27546  nrt2irr  30417  blocni  30749  ubthlem2  30815  lnconi  31977  rpxdivcld  32875  omssubadd  34274  hgt750leme  34632  faclimlem1  35726  faclimlem3  35728  faclim  35729  iprodfac  35730  equivtotbnd  37768  rrncmslem  37822  rrnequiv  37825  3lexlogpow2ineq2  42042  3lexlogpow5ineq5  42043  aks4d1p1p7  42057  fltne  42627  irrapxlem5  42809  xralrple2  45344  xralrple3  45363  iooiinicc  45533  iooiinioc  45547  limclner  45642  fprodsubrecnncnvlem  45898  fprodaddrecnncnvlem  45900  stoweidlem31  46022  stoweidlem59  46050  wallispilem3  46058  wallispilem4  46059  wallispilem5  46060  wallispi  46061  wallispi2lem1  46062  stirlinglem2  46066  stirlinglem4  46068  stirlinglem8  46072  stirlinglem13  46077  stirlinglem15  46079  stirlingr  46081  fourierdlem30  46128  fourierdlem73  46170  fourierdlem87  46184  qndenserrnbllem  46285  ovnsubaddlem1  46561  ovnsubaddlem2  46562  hoiqssbllem1  46613  hoiqssbllem2  46614  hoiqssbllem3  46615  ovolval5lem1  46643  ovolval5lem2  46644  vonioolem1  46671  smfmullem1  46782  smfmullem2  46783  smfmullem3  46784