Theorem rpdivcld 13116

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13082	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   / cdiv 11947  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  bcpasc  14370  mulcn2  15642  o1rlimmul  15665  mertenslem1  15932  mertenslem2  15933  effsumlt  16159  prmind2  16732  nlmvscnlem2  24727  nlmvscnlem1  24728  nghmcn  24787  lebnumlem3  25014  lebnumii  25017  nmoleub3  25171  ipcnlem2  25297  ipcnlem1  25298  equivcfil  25352  equivcau  25353  ovollb2lem  25542  ovoliunlem1  25556  uniioombllem6  25642  itg2const2  25796  itg2cnlem2  25817  aalioulem2  26393  aalioulem4  26395  aalioulem5  26396  aalioulem6  26397  aaliou  26398  aaliou2b  26401  aaliou3lem9  26410  itgulm  26469  abelthlem7  26500  abelthlem8  26501  tanrpcl  26564  logdivlti  26680  logcnlem2  26703  ang180lem2  26871  isosctrlem2  26880  birthdaylem2  27013  cxp2limlem  27037  cxp2lim  27038  cxploglim  27039  cxploglim2  27040  amgmlem  27051  logdiflbnd  27056  emcllem2  27058  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem4  27093  lgamgulmlem5  27094  lgamgulmlem6  27095  lgamgulm2  27097  lgamucov  27099  lgamcvg2  27116  gamcvg  27117  gamcvg2lem  27120  regamcl  27122  relgamcl  27123  lgam1  27125  ftalem4  27137  chpval2  27280  chpchtsum  27281  logfacrlim  27286  logexprlim  27287  bclbnd  27342  bposlem1  27346  bposlem2  27347  lgsquadlem2  27443  chebbnd1lem1  27531  chebbnd1lem3  27533  chebbnd1  27534  chtppilimlem2  27536  chebbnd2  27539  chto1lb  27540  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrvmasumlem1  27557  dchrvmasum2if  27559  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem2a  27579  vmalogdivsum2  27600  2vmadivsumlem  27602  selberglem3  27609  selberg  27610  selberg4lem1  27622  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6a  27644  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntlemd  27656  pntlemc  27657  pntlema  27658  pntlemb  27659  pntlemg  27660  pntlemn  27662  pntlemq  27663  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemo  27669  pnt2  27675  pnt  27676  ostth2lem3  27697  ostth2  27699  nrt2irr  30505  blocni  30837  ubthlem2  30903  lnconi  32065  rpxdivcld  32898  omssubadd  34265  hgt750leme  34635  faclimlem1  35705  faclimlem3  35707  faclim  35708  iprodfac  35709  equivtotbnd  37738  rrncmslem  37792  rrnequiv  37795  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1p1p7  42031  fltne  42599  irrapxlem5  42782  xralrple2  45269  xralrple3  45289  iooiinicc  45460  iooiinioc  45474  limclner  45572  fprodsubrecnncnvlem  45828  fprodaddrecnncnvlem  45830  stoweidlem31  45952  stoweidlem59  45980  wallispilem3  45988  wallispilem4  45989  wallispilem5  45990  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  stirlinglem2  45996  stirlinglem4  45998  stirlinglem8  46002  stirlinglem13  46007  stirlinglem15  46009  stirlingr  46011  fourierdlem30  46058  fourierdlem73  46100  fourierdlem87  46114  qndenserrnbllem  46215  ovnsubaddlem1  46491  ovnsubaddlem2  46492  hoiqssbllem1  46543  hoiqssbllem2  46544  hoiqssbllem3  46545  ovolval5lem1  46573  ovolval5lem2  46574  vonioolem1  46601  smfmullem1  46712  smfmullem2  46713  smfmullem3  46714