Theorem rpdivcld 13094

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13060	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   / cdiv 11920  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  bcpasc  14360  mulcn2  15632  o1rlimmul  15655  mertenslem1  15920  mertenslem2  15921  effsumlt  16147  prmind2  16722  nlmvscnlem2  24706  nlmvscnlem1  24707  nghmcn  24766  lebnumlem3  24995  lebnumii  24998  nmoleub3  25152  ipcnlem2  25278  ipcnlem1  25279  equivcfil  25333  equivcau  25334  ovollb2lem  25523  ovoliunlem1  25537  uniioombllem6  25623  itg2const2  25776  itg2cnlem2  25797  aalioulem2  26375  aalioulem4  26377  aalioulem5  26378  aalioulem6  26379  aaliou  26380  aaliou2b  26383  aaliou3lem9  26392  itgulm  26451  abelthlem7  26482  abelthlem8  26483  tanrpcl  26546  logdivlti  26662  logcnlem2  26685  ang180lem2  26853  isosctrlem2  26862  birthdaylem2  26995  cxp2limlem  27019  cxp2lim  27020  cxploglim  27021  cxploglim2  27022  amgmlem  27033  logdiflbnd  27038  emcllem2  27040  fsumharmonic  27055  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  lgamgulmlem4  27075  lgamgulmlem5  27076  lgamgulmlem6  27077  lgamgulm2  27079  lgamucov  27081  lgamcvg2  27098  gamcvg  27099  gamcvg2lem  27102  regamcl  27104  relgamcl  27105  lgam1  27107  ftalem4  27119  chpval2  27262  chpchtsum  27263  logfacrlim  27268  logexprlim  27269  bclbnd  27324  bposlem1  27328  bposlem2  27329  lgsquadlem2  27425  chebbnd1lem1  27513  chebbnd1lem3  27515  chebbnd1  27516  chtppilimlem2  27518  chebbnd2  27521  chto1lb  27522  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531  dchrvmasumlem1  27539  dchrvmasum2if  27541  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem2a  27561  vmalogdivsum2  27582  2vmadivsumlem  27584  selberglem3  27591  selberg  27592  selberg4lem1  27604  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6a  27626  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntpbnd1a  27629  pntpbnd1  27630  pntpbnd2  27631  pntibndlem2  27635  pntibndlem3  27636  pntlemd  27638  pntlemc  27639  pntlema  27640  pntlemb  27641  pntlemg  27642  pntlemn  27644  pntlemq  27645  pntlemr  27646  pntlemj  27647  pntlemf  27649  pntlemo  27651  pnt2  27657  pnt  27658  ostth2lem3  27679  ostth2  27681  nrt2irr  30492  blocni  30824  ubthlem2  30890  lnconi  32052  rpxdivcld  32916  omssubadd  34302  hgt750leme  34673  faclimlem1  35743  faclimlem3  35745  faclim  35746  iprodfac  35747  equivtotbnd  37785  rrncmslem  37839  rrnequiv  37842  3lexlogpow2ineq2  42060  3lexlogpow5ineq5  42061  aks4d1p1p7  42075  fltne  42654  irrapxlem5  42837  xralrple2  45365  xralrple3  45385  iooiinicc  45555  iooiinioc  45569  limclner  45666  fprodsubrecnncnvlem  45922  fprodaddrecnncnvlem  45924  stoweidlem31  46046  stoweidlem59  46074  wallispilem3  46082  wallispilem4  46083  wallispilem5  46084  wallispi  46085  wallispi2lem1  46086  stirlinglem2  46090  stirlinglem4  46092  stirlinglem8  46096  stirlinglem13  46101  stirlinglem15  46103  stirlingr  46105  fourierdlem30  46152  fourierdlem73  46194  fourierdlem87  46208  qndenserrnbllem  46309  ovnsubaddlem1  46585  ovnsubaddlem2  46586  hoiqssbllem1  46637  hoiqssbllem2  46638  hoiqssbllem3  46639  ovolval5lem1  46667  ovolval5lem2  46668  vonioolem1  46695  smfmullem1  46806  smfmullem2  46807  smfmullem3  46808