Theorem rpdivcld 13012

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12978	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   / cdiv 11835  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  bcpasc  14286  mulcn2  15562  o1rlimmul  15585  mertenslem1  15850  mertenslem2  15851  effsumlt  16079  prmind2  16655  nlmvscnlem2  24573  nlmvscnlem1  24574  nghmcn  24633  lebnumlem3  24862  lebnumii  24865  nmoleub3  25019  ipcnlem2  25144  ipcnlem1  25145  equivcfil  25199  equivcau  25200  ovollb2lem  25389  ovoliunlem1  25403  uniioombllem6  25489  itg2const2  25642  itg2cnlem2  25663  aalioulem2  26241  aalioulem4  26243  aalioulem5  26244  aalioulem6  26245  aaliou  26246  aaliou2b  26249  aaliou3lem9  26258  itgulm  26317  abelthlem7  26348  abelthlem8  26349  tanrpcl  26413  logdivlti  26529  logcnlem2  26552  ang180lem2  26720  isosctrlem2  26729  birthdaylem2  26862  cxp2limlem  26886  cxp2lim  26887  cxploglim  26888  cxploglim2  26889  amgmlem  26900  logdiflbnd  26905  emcllem2  26907  fsumharmonic  26922  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem4  26942  lgamgulmlem5  26943  lgamgulmlem6  26944  lgamgulm2  26946  lgamucov  26948  lgamcvg2  26965  gamcvg  26966  gamcvg2lem  26969  regamcl  26971  relgamcl  26972  lgam1  26974  ftalem4  26986  chpval2  27129  chpchtsum  27130  logfacrlim  27135  logexprlim  27136  bclbnd  27191  bposlem1  27195  bposlem2  27196  lgsquadlem2  27292  chebbnd1lem1  27380  chebbnd1lem3  27382  chebbnd1  27383  chtppilimlem2  27385  chebbnd2  27388  chto1lb  27389  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrvmasumlem1  27406  dchrvmasum2if  27408  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem2a  27428  vmalogdivsum2  27449  2vmadivsumlem  27451  selberglem3  27458  selberg  27459  selberg4lem1  27471  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6a  27493  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1a  27496  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntibndlem3  27503  pntlemd  27505  pntlemc  27506  pntlema  27507  pntlemb  27508  pntlemg  27509  pntlemn  27511  pntlemq  27512  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemo  27518  pnt2  27524  pnt  27525  ostth2lem3  27546  ostth2  27548  nrt2irr  30402  blocni  30734  ubthlem2  30800  lnconi  31962  rpxdivcld  32854  omssubadd  34291  hgt750leme  34649  faclimlem1  35730  faclimlem3  35732  faclim  35733  iprodfac  35734  equivtotbnd  37772  rrncmslem  37826  rrnequiv  37829  3lexlogpow2ineq2  42047  3lexlogpow5ineq5  42048  aks4d1p1p7  42062  fltne  42632  irrapxlem5  42814  xralrple2  45350  xralrple3  45370  iooiinicc  45540  iooiinioc  45554  limclner  45649  fprodsubrecnncnvlem  45905  fprodaddrecnncnvlem  45907  stoweidlem31  46029  stoweidlem59  46057  wallispilem3  46065  wallispilem4  46066  wallispilem5  46067  wallispi  46068  wallispi2lem1  46069  stirlinglem2  46073  stirlinglem4  46075  stirlinglem8  46079  stirlinglem13  46084  stirlinglem15  46086  stirlingr  46088  fourierdlem30  46135  fourierdlem73  46177  fourierdlem87  46191  qndenserrnbllem  46292  ovnsubaddlem1  46568  ovnsubaddlem2  46569  hoiqssbllem1  46620  hoiqssbllem2  46621  hoiqssbllem3  46622  ovolval5lem1  46650  ovolval5lem2  46651  vonioolem1  46678  smfmullem1  46789  smfmullem2  46790  smfmullem3  46791