Theorem rpdivcld 12966

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12932	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358   / cdiv 11794  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  bcpasc  14244  mulcn2  15519  o1rlimmul  15542  mertenslem1  15807  mertenslem2  15808  effsumlt  16036  prmind2  16612  nlmvscnlem2  24629  nlmvscnlem1  24630  nghmcn  24689  lebnumlem3  24918  lebnumii  24921  nmoleub3  25075  ipcnlem2  25200  ipcnlem1  25201  equivcfil  25255  equivcau  25256  ovollb2lem  25445  ovoliunlem1  25459  uniioombllem6  25545  itg2const2  25698  itg2cnlem2  25719  aalioulem2  26297  aalioulem4  26299  aalioulem5  26300  aalioulem6  26301  aaliou  26302  aaliou2b  26305  aaliou3lem9  26314  itgulm  26373  abelthlem7  26404  abelthlem8  26405  tanrpcl  26469  logdivlti  26585  logcnlem2  26608  ang180lem2  26776  isosctrlem2  26785  birthdaylem2  26918  cxp2limlem  26942  cxp2lim  26943  cxploglim  26944  cxploglim2  26945  amgmlem  26956  logdiflbnd  26961  emcllem2  26963  fsumharmonic  26978  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem4  26998  lgamgulmlem5  26999  lgamgulmlem6  27000  lgamgulm2  27002  lgamucov  27004  lgamcvg2  27021  gamcvg  27022  gamcvg2lem  27025  regamcl  27027  relgamcl  27028  lgam1  27030  ftalem4  27042  chpval2  27185  chpchtsum  27186  logfacrlim  27191  logexprlim  27192  bclbnd  27247  bposlem1  27251  bposlem2  27252  lgsquadlem2  27348  chebbnd1lem1  27436  chebbnd1lem3  27438  chebbnd1  27439  chtppilimlem2  27441  chebbnd2  27444  chto1lb  27445  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrvmasumlem1  27462  dchrvmasum2if  27464  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem2a  27484  vmalogdivsum2  27505  2vmadivsumlem  27507  selberglem3  27514  selberg  27515  selberg4lem1  27527  selberg3r  27536  selberg4r  27537  selberg34r  27538  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6a  27549  pntrlog2bndlem6  27550  pntrlog2bnd  27551  pntpbnd1a  27552  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntibndlem2  27558  pntibndlem3  27559  pntlemd  27561  pntlemc  27562  pntlema  27563  pntlemb  27564  pntlemg  27565  pntlemn  27567  pntlemq  27568  pntlemr  27569  pntlemj  27570  pntlemf  27572  pntlemo  27574  pnt2  27580  pnt  27581  ostth2lem3  27602  ostth2  27604  nrt2irr  30548  blocni  30880  ubthlem2  30946  lnconi  32108  rpxdivcld  33015  omssubadd  34457  hgt750leme  34815  faclimlem1  35937  faclimlem3  35939  faclim  35940  iprodfac  35941  equivtotbnd  37975  rrncmslem  38029  rrnequiv  38032  3lexlogpow2ineq2  42309  3lexlogpow5ineq5  42310  aks4d1p1p7  42324  fltne  42883  irrapxlem5  43064  xralrple2  45595  xralrple3  45614  iooiinicc  45784  iooiinioc  45798  limclner  45891  fprodsubrecnncnvlem  46147  fprodaddrecnncnvlem  46149  stoweidlem31  46271  stoweidlem59  46299  wallispilem3  46307  wallispilem4  46308  wallispilem5  46309  wallispi  46310  wallispi2lem1  46311  stirlinglem2  46315  stirlinglem4  46317  stirlinglem8  46321  stirlinglem13  46326  stirlinglem15  46328  stirlingr  46330  fourierdlem30  46377  fourierdlem73  46419  fourierdlem87  46433  qndenserrnbllem  46534  ovnsubaddlem1  46810  ovnsubaddlem2  46811  hoiqssbllem1  46862  hoiqssbllem2  46863  hoiqssbllem3  46864  ovolval5lem1  46892  ovolval5lem2  46893  vonioolem1  46920  smfmullem1  47031  smfmullem2  47032  smfmullem3  47033