Theorem rpdivcld 13136

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13102	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409   / cdiv 11928  ℝ⁺crp 13075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-rp 13076

This theorem is used by:  bcpasc  14418  mulcn2  15716  o1rlimmul  15739  mertenslem1  16006  mertenslem2  16007  effsumlt  16232  prmind2  16808  nlmvscnlem2  24951  nlmvscnlem1  24952  nghmcn  25011  lebnumlem3  25231  lebnumii  25234  nmoleub3  25387  ipcnlem2  25512  ipcnlem1  25513  equivcfil  25567  equivcau  25568  ovollb2lem  25756  ovoliunlem1  25770  uniioombllem6  25856  itg2const2  26009  itg2cnlem2  26030  aalioulem2  26609  aalioulem4  26611  aalioulem5  26612  aalioulem6  26613  aaliou  26614  aaliou2b  26617  aaliou3lem9  26626  itgulm  26684  abelthlem7  26714  abelthlem8  26715  tanrpcl  26782  logdivlti  26897  logcnlem2  26920  ang180lem2  27087  isosctrlem2  27096  birthdaylem2  27229  cxp2limlem  27252  cxp2lim  27253  cxploglim  27254  cxploglim2  27255  amgmlem  27266  logdiflbnd  27271  emcllem2  27273  fsumharmonic  27288  lgamgulmlem2  27306  lgamgulmlem3  27307  lgamgulmlem4  27308  lgamgulmlem5  27309  lgamgulmlem6  27310  lgamgulm2  27312  lgamucov  27314  lgamcvg2  27331  gamcvg  27332  gamcvg2lem  27335  regamcl  27337  relgamcl  27338  lgam1  27340  ftalem4  27352  chpval2  27494  chpchtsum  27495  logfacrlim  27500  logexprlim  27501  bclbnd  27556  bposlem1  27560  bposlem2  27561  lgsquadlem2  27657  chebbnd1lem1  27745  chebbnd1lem3  27747  chebbnd1  27748  chtppilimlem2  27750  chebbnd2  27753  chto1lb  27754  rplogsumlem2  27761  rpvmasumlem  27763  dchrvmasumlem1  27771  dchrvmasum2if  27773  dchrisum0lem1b  27791  dchrisum0lem2a  27793  vmalogdivsum2  27814  2vmadivsumlem  27816  selberglem3  27823  selberg  27824  selberg4lem1  27836  selberg3r  27845  selberg4r  27846  selberg34r  27847  pntrlog2bndlem1  27853  pntrlog2bndlem2  27854  pntrlog2bndlem3  27855  pntrlog2bndlem4  27856  pntrlog2bndlem5  27857  pntrlog2bndlem6a  27858  pntrlog2bndlem6  27859  pntrlog2bnd  27860  pntpbnd1a  27861  pntpbnd1  27862  pntpbnd2  27863  pntibndlem2  27867  pntibndlem3  27868  pntlemd  27870  pntlemc  27871  pntlema  27872  pntlemb  27873  pntlemg  27874  pntlemn  27876  pntlemq  27877  pntlemr  27878  pntlemj  27879  pntlemf  27881  pntlemo  27883  pnt2  27889  pnt  27890  ostth2lem3  27911  ostth2  27913  nrt2irr  30993  blocni  31326  ubthlem2  31392  lnconi  32554  rpxdivcld  33419  omssubadd  34852  hgt750leme  35207  faclimlem1  36423  faclimlem3  36425  faclim  36426  iprodfac  36427  equivtotbnd  38626  rrncmslem  38680  rrnequiv  38683  3lexlogpow2ineq2  43023  3lexlogpow5ineq5  43024  aks4d1p1p7  43038  fltne  43588  irrapxlem5  43765  xralrple2  46282  xralrple3  46301  iooiinicc  46470  iooiinioc  46484  limclner  46577  fprodsubrecnncnvlem  46833  fprodaddrecnncnvlem  46835  stoweidlem31  46957  stoweidlem59  46985  wallispilem3  46993  wallispilem4  46994  wallispilem5  46995  wallispi  46996  wallispi2lem1  46997  stirlinglem2  47001  stirlinglem4  47003  stirlinglem8  47007  stirlinglem13  47012  stirlinglem15  47014  stirlingr  47016  fourierdlem30  47063  fourierdlem73  47105  fourierdlem87  47119  qndenserrnbllem  47220  ovnsubaddlem1  47496  ovnsubaddlem2  47497  hoiqssbllem1  47548  hoiqssbllem2  47549  hoiqssbllem3  47550  ovolval5lem1  47578  ovolval5lem2  47579  vonioolem1  47606  smfmullem1  47717  smfmullem2  47718  smfmullem3  47719