Theorem rpdivcld 13019

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12985	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  bcpasc  14293  mulcn2  15569  o1rlimmul  15592  mertenslem1  15857  mertenslem2  15858  effsumlt  16086  prmind2  16662  nlmvscnlem2  24580  nlmvscnlem1  24581  nghmcn  24640  lebnumlem3  24869  lebnumii  24872  nmoleub3  25026  ipcnlem2  25151  ipcnlem1  25152  equivcfil  25206  equivcau  25207  ovollb2lem  25396  ovoliunlem1  25410  uniioombllem6  25496  itg2const2  25649  itg2cnlem2  25670  aalioulem2  26248  aalioulem4  26250  aalioulem5  26251  aalioulem6  26252  aaliou  26253  aaliou2b  26256  aaliou3lem9  26265  itgulm  26324  abelthlem7  26355  abelthlem8  26356  tanrpcl  26420  logdivlti  26536  logcnlem2  26559  ang180lem2  26727  isosctrlem2  26736  birthdaylem2  26869  cxp2limlem  26893  cxp2lim  26894  cxploglim  26895  cxploglim2  26896  amgmlem  26907  logdiflbnd  26912  emcllem2  26914  fsumharmonic  26929  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem4  26949  lgamgulmlem5  26950  lgamgulmlem6  26951  lgamgulm2  26953  lgamucov  26955  lgamcvg2  26972  gamcvg  26973  gamcvg2lem  26976  regamcl  26978  relgamcl  26979  lgam1  26981  ftalem4  26993  chpval2  27136  chpchtsum  27137  logfacrlim  27142  logexprlim  27143  bclbnd  27198  bposlem1  27202  bposlem2  27203  lgsquadlem2  27299  chebbnd1lem1  27387  chebbnd1lem3  27389  chebbnd1  27390  chtppilimlem2  27392  chebbnd2  27395  chto1lb  27396  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrvmasumlem1  27413  dchrvmasum2if  27415  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem2a  27435  vmalogdivsum2  27456  2vmadivsumlem  27458  selberglem3  27465  selberg  27466  selberg4lem1  27478  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6a  27500  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd1a  27503  pntpbnd1  27504  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntibndlem3  27510  pntlemd  27512  pntlemc  27513  pntlema  27514  pntlemb  27515  pntlemg  27516  pntlemn  27518  pntlemq  27519  pntlemr  27520  pntlemj  27521  pntlemf  27523  pntlemo  27525  pnt2  27531  pnt  27532  ostth2lem3  27553  ostth2  27555  nrt2irr  30409  blocni  30741  ubthlem2  30807  lnconi  31969  rpxdivcld  32861  omssubadd  34298  hgt750leme  34656  faclimlem1  35737  faclimlem3  35739  faclim  35740  iprodfac  35741  equivtotbnd  37779  rrncmslem  37833  rrnequiv  37836  3lexlogpow2ineq2  42054  3lexlogpow5ineq5  42055  aks4d1p1p7  42069  fltne  42639  irrapxlem5  42821  xralrple2  45357  xralrple3  45377  iooiinicc  45547  iooiinioc  45561  limclner  45656  fprodsubrecnncnvlem  45912  fprodaddrecnncnvlem  45914  stoweidlem31  46036  stoweidlem59  46064  wallispilem3  46072  wallispilem4  46073  wallispilem5  46074  wallispi  46075  wallispi2lem1  46076  stirlinglem2  46080  stirlinglem4  46082  stirlinglem8  46086  stirlinglem13  46091  stirlinglem15  46093  stirlingr  46095  fourierdlem30  46142  fourierdlem73  46184  fourierdlem87  46198  qndenserrnbllem  46299  ovnsubaddlem1  46575  ovnsubaddlem2  46576  hoiqssbllem1  46627  hoiqssbllem2  46628  hoiqssbllem3  46629  ovolval5lem1  46657  ovolval5lem2  46658  vonioolem1  46685  smfmullem1  46796  smfmullem2  46797  smfmullem3  46798