Theorem rpdivcld 13083

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13049	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412   / cdiv 11877  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-rp 13023

This theorem is used by:  bcpasc  14364  mulcn2  15654  o1rlimmul  15677  mertenslem1  15945  mertenslem2  15946  effsumlt  16173  prmind2  16749  nlmvscnlem2  24853  nlmvscnlem1  24854  nghmcn  24913  lebnumlem3  25133  lebnumii  25136  nmoleub3  25289  ipcnlem2  25414  ipcnlem1  25415  equivcfil  25469  equivcau  25470  ovollb2lem  25658  ovoliunlem1  25672  uniioombllem6  25758  itg2const2  25911  itg2cnlem2  25932  aalioulem2  26507  aalioulem4  26509  aalioulem5  26510  aalioulem6  26511  aaliou  26512  aaliou2b  26515  aaliou3lem9  26524  itgulm  26582  abelthlem7  26612  abelthlem8  26613  tanrpcl  26680  logdivlti  26796  logcnlem2  26819  ang180lem2  26986  isosctrlem2  26995  birthdaylem2  27128  cxp2limlem  27151  cxp2lim  27152  cxploglim  27153  cxploglim2  27154  amgmlem  27165  logdiflbnd  27170  emcllem2  27172  fsumharmonic  27187  lgamgulmlem2  27205  lgamgulmlem3  27206  lgamgulmlem4  27207  lgamgulmlem5  27208  lgamgulmlem6  27209  lgamgulm2  27211  lgamucov  27213  lgamcvg2  27230  gamcvg  27231  gamcvg2lem  27234  regamcl  27236  relgamcl  27237  lgam1  27239  ftalem4  27251  chpval2  27393  chpchtsum  27394  logfacrlim  27399  logexprlim  27400  bclbnd  27455  bposlem1  27459  bposlem2  27460  lgsquadlem2  27556  chebbnd1lem1  27644  chebbnd1lem3  27646  chebbnd1  27647  chtppilimlem2  27649  chebbnd2  27652  chto1lb  27653  rplogsumlem2  27660  rpvmasumlem  27662  dchrvmasumlem1  27670  dchrvmasum2if  27672  dchrisum0lem1b  27690  dchrisum0lem2a  27692  vmalogdivsum2  27713  2vmadivsumlem  27715  selberglem3  27722  selberg  27723  selberg4lem1  27735  selberg3r  27744  selberg4r  27745  selberg34r  27746  pntrlog2bndlem1  27752  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem3  27754  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bndlem6a  27757  pntrlog2bndlem6  27758  pntrlog2bnd  27759  pntpbnd1a  27760  pntpbnd1  27761  pntpbnd2  27762  pntibndlem2  27766  pntibndlem3  27767  pntlemd  27769  pntlemc  27770  pntlema  27771  pntlemb  27772  pntlemg  27773  pntlemn  27775  pntlemq  27776  pntlemr  27777  pntlemj  27778  pntlemf  27780  pntlemo  27782  pnt2  27788  pnt  27789  ostth2lem3  27810  ostth2  27812  nrt2irr  30835  blocni  31168  ubthlem2  31234  lnconi  32396  rpxdivcld  33264  omssubadd  34699  hgt750leme  35054  faclimlem1  36243  faclimlem3  36245  faclim  36246  iprodfac  36247  equivtotbnd  38457  rrncmslem  38511  rrnequiv  38514  3lexlogpow2ineq2  42854  3lexlogpow5ineq5  42855  aks4d1p1p7  42869  fltne  43404  irrapxlem5  43581  xralrple2  46098  xralrple3  46117  iooiinicc  46286  iooiinioc  46300  limclner  46393  fprodsubrecnncnvlem  46649  fprodaddrecnncnvlem  46651  stoweidlem31  46773  stoweidlem59  46801  wallispilem3  46809  wallispilem4  46810  wallispilem5  46811  wallispi  46812  wallispi2lem1  46813  stirlinglem2  46817  stirlinglem4  46819  stirlinglem8  46823  stirlinglem13  46828  stirlinglem15  46830  stirlingr  46832  fourierdlem30  46879  fourierdlem73  46921  fourierdlem87  46935  qndenserrnbllem  47036  ovnsubaddlem1  47312  ovnsubaddlem2  47313  hoiqssbllem1  47364  hoiqssbllem2  47365  hoiqssbllem3  47366  ovolval5lem1  47394  ovolval5lem2  47395  vonioolem1  47422  smfmullem1  47533  smfmullem2  47534  smfmullem3  47535