Theorem rpdivcld 13057

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13023	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414   / cdiv 11893  ℝ⁺crp 12998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-rp 12999

This theorem is referenced by:  bcpasc  14304  mulcn2  15564  o1rlimmul  15587  mertenslem1  15854  mertenslem2  15855  effsumlt  16079  prmind2  16647  nlmvscnlem2  24589  nlmvscnlem1  24590  nghmcn  24649  lebnumlem3  24876  lebnumii  24879  nmoleub3  25033  ipcnlem2  25159  ipcnlem1  25160  equivcfil  25214  equivcau  25215  ovollb2lem  25404  ovoliunlem1  25418  uniioombllem6  25504  itg2const2  25658  itg2cnlem2  25679  aalioulem2  26255  aalioulem4  26257  aalioulem5  26258  aalioulem6  26259  aaliou  26260  aaliou2b  26263  aaliou3lem9  26272  itgulm  26331  abelthlem7  26362  abelthlem8  26363  tanrpcl  26426  logdivlti  26541  logcnlem2  26564  ang180lem2  26729  isosctrlem2  26738  birthdaylem2  26871  cxp2limlem  26895  cxp2lim  26896  cxploglim  26897  cxploglim2  26898  amgmlem  26909  logdiflbnd  26914  emcllem2  26916  fsumharmonic  26931  lgamgulmlem2  26949  lgamgulmlem3  26950  lgamgulmlem4  26951  lgamgulmlem5  26952  lgamgulmlem6  26953  lgamgulm2  26955  lgamucov  26957  lgamcvg2  26974  gamcvg  26975  gamcvg2lem  26978  regamcl  26980  relgamcl  26981  lgam1  26983  ftalem4  26995  chpval2  27138  chpchtsum  27139  logfacrlim  27144  logexprlim  27145  bclbnd  27200  bposlem1  27204  bposlem2  27205  lgsquadlem2  27301  chebbnd1lem1  27389  chebbnd1lem3  27391  chebbnd1  27392  chtppilimlem2  27394  chebbnd2  27397  chto1lb  27398  rplogsumlem2  27405  rpvmasumlem  27407  dchrvmasumlem1  27415  dchrvmasum2if  27417  dchrisum0lem1b  27435  dchrisum0lem2a  27437  vmalogdivsum2  27458  2vmadivsumlem  27460  selberglem3  27467  selberg  27468  selberg4lem1  27480  selberg3r  27489  selberg4r  27490  selberg34r  27491  pntrlog2bndlem1  27497  pntrlog2bndlem2  27498  pntrlog2bndlem3  27499  pntrlog2bndlem4  27500  pntrlog2bndlem5  27501  pntrlog2bndlem6a  27502  pntrlog2bndlem6  27503  pntrlog2bnd  27504  pntpbnd1a  27505  pntpbnd1  27506  pntpbnd2  27507  pntibndlem2  27511  pntibndlem3  27512  pntlemd  27514  pntlemc  27515  pntlema  27516  pntlemb  27517  pntlemg  27518  pntlemn  27520  pntlemq  27521  pntlemr  27522  pntlemj  27523  pntlemf  27525  pntlemo  27527  pnt2  27533  pnt  27534  ostth2lem3  27555  ostth2  27557  nrt2irr  30270  blocni  30602  ubthlem2  30668  lnconi  31830  rpxdivcld  32639  omssubadd  33856  hgt750leme  34226  faclimlem1  35273  faclimlem3  35275  faclim  35276  iprodfac  35277  equivtotbnd  37186  rrncmslem  37240  rrnequiv  37243  3lexlogpow2ineq2  41467  3lexlogpow5ineq5  41468  aks4d1p1p7  41482  fltne  41990  irrapxlem5  42168  xralrple2  44659  xralrple3  44679  iooiinicc  44850  iooiinioc  44864  limclner  44962  fprodsubrecnncnvlem  45218  fprodaddrecnncnvlem  45220  stoweidlem31  45342  stoweidlem59  45370  wallispilem3  45378  wallispilem4  45379  wallispilem5  45380  wallispi  45381  wallispi2lem1  45382  stirlinglem2  45386  stirlinglem4  45388  stirlinglem8  45392  stirlinglem13  45397  stirlinglem15  45399  stirlingr  45401  fourierdlem30  45448  fourierdlem73  45490  fourierdlem87  45504  qndenserrnbllem  45605  ovnsubaddlem1  45881  ovnsubaddlem2  45882  hoiqssbllem1  45933  hoiqssbllem2  45934  hoiqssbllem3  45935  ovolval5lem1  45963  ovolval5lem2  45964  vonioolem1  45991  smfmullem1  46102  smfmullem2  46103  smfmullem3  46104