Theorem rpdivcld 13077

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13043	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   / cdiv 11871  ℝ⁺crp 13016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-rp 13017

This theorem is referenced by:  bcpasc  14357  mulcn2  15647  o1rlimmul  15670  mertenslem1  15938  mertenslem2  15939  effsumlt  16167  prmind2  16743  nlmvscnlem2  24811  nlmvscnlem1  24812  nghmcn  24871  lebnumlem3  25091  lebnumii  25094  nmoleub3  25247  ipcnlem2  25372  ipcnlem1  25373  equivcfil  25427  equivcau  25428  ovollb2lem  25616  ovoliunlem1  25630  uniioombllem6  25716  itg2const2  25869  itg2cnlem2  25890  aalioulem2  26463  aalioulem4  26465  aalioulem5  26466  aalioulem6  26467  aaliou  26468  aaliou2b  26471  aaliou3lem9  26480  itgulm  26537  abelthlem7  26567  abelthlem8  26568  tanrpcl  26635  logdivlti  26751  logcnlem2  26774  ang180lem2  26941  isosctrlem2  26950  birthdaylem2  27083  cxp2limlem  27106  cxp2lim  27107  cxploglim  27108  cxploglim2  27109  amgmlem  27120  logdiflbnd  27125  emcllem2  27127  fsumharmonic  27142  lgamgulmlem2  27160  lgamgulmlem3  27161  lgamgulmlem4  27162  lgamgulmlem5  27163  lgamgulmlem6  27164  lgamgulm2  27166  lgamucov  27168  lgamcvg2  27185  gamcvg  27186  gamcvg2lem  27189  regamcl  27191  relgamcl  27192  lgam1  27194  ftalem4  27206  chpval2  27348  chpchtsum  27349  logfacrlim  27354  logexprlim  27355  bclbnd  27410  bposlem1  27414  bposlem2  27415  lgsquadlem2  27511  chebbnd1lem1  27599  chebbnd1lem3  27601  chebbnd1  27602  chtppilimlem2  27604  chebbnd2  27607  chto1lb  27608  rplogsumlem2  27615  rpvmasumlem  27617  dchrvmasumlem1  27625  dchrvmasum2if  27627  dchrisum0lem1b  27645  dchrisum0lem2a  27647  vmalogdivsum2  27668  2vmadivsumlem  27670  selberglem3  27677  selberg  27678  selberg4lem1  27690  selberg3r  27699  selberg4r  27700  selberg34r  27701  pntrlog2bndlem1  27707  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem3  27709  pntrlog2bndlem4  27710  pntrlog2bndlem5  27711  pntrlog2bndlem6a  27712  pntrlog2bndlem6  27713  pntrlog2bnd  27714  pntpbnd1a  27715  pntpbnd1  27716  pntpbnd2  27717  pntibndlem2  27721  pntibndlem3  27722  pntlemd  27724  pntlemc  27725  pntlema  27726  pntlemb  27727  pntlemg  27728  pntlemn  27730  pntlemq  27731  pntlemr  27732  pntlemj  27733  pntlemf  27735  pntlemo  27737  pnt2  27743  pnt  27744  ostth2lem3  27765  ostth2  27767  nrt2irr  30765  blocni  31098  ubthlem2  31164  lnconi  32326  rpxdivcld  33194  omssubadd  34635  hgt750leme  34990  faclimlem1  36168  faclimlem3  36170  faclim  36171  iprodfac  36172  equivtotbnd  38352  rrncmslem  38406  rrnequiv  38409  3lexlogpow2ineq2  42751  3lexlogpow5ineq5  42752  aks4d1p1p7  42766  fltne  43303  irrapxlem5  43480  xralrple2  45997  xralrple3  46016  iooiinicc  46185  iooiinioc  46199  limclner  46292  fprodsubrecnncnvlem  46548  fprodaddrecnncnvlem  46550  stoweidlem31  46672  stoweidlem59  46700  wallispilem3  46708  wallispilem4  46709  wallispilem5  46710  wallispi  46711  wallispi2lem1  46712  stirlinglem2  46716  stirlinglem4  46718  stirlinglem8  46722  stirlinglem13  46727  stirlinglem15  46729  stirlingr  46731  fourierdlem30  46778  fourierdlem73  46820  fourierdlem87  46834  qndenserrnbllem  46935  ovnsubaddlem1  47211  ovnsubaddlem2  47212  hoiqssbllem1  47263  hoiqssbllem2  47264  hoiqssbllem3  47265  ovolval5lem1  47293  ovolval5lem2  47294  vonioolem1  47321  smfmullem1  47432  smfmullem2  47433  smfmullem3  47434