Theorem rpdivcld 12951

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12917	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   / cdiv 11774  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  bcpasc  14228  mulcn2  15503  o1rlimmul  15526  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  effsumlt  16020  prmind2  16596  nlmvscnlem2  24600  nlmvscnlem1  24601  nghmcn  24660  lebnumlem3  24889  lebnumii  24892  nmoleub3  25046  ipcnlem2  25171  ipcnlem1  25172  equivcfil  25226  equivcau  25227  ovollb2lem  25416  ovoliunlem1  25430  uniioombllem6  25516  itg2const2  25669  itg2cnlem2  25690  aalioulem2  26268  aalioulem4  26270  aalioulem5  26271  aalioulem6  26272  aaliou  26273  aaliou2b  26276  aaliou3lem9  26285  itgulm  26344  abelthlem7  26375  abelthlem8  26376  tanrpcl  26440  logdivlti  26556  logcnlem2  26579  ang180lem2  26747  isosctrlem2  26756  birthdaylem2  26889  cxp2limlem  26913  cxp2lim  26914  cxploglim  26915  cxploglim2  26916  amgmlem  26927  logdiflbnd  26932  emcllem2  26934  fsumharmonic  26949  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem3  26968  lgamgulmlem4  26969  lgamgulmlem5  26970  lgamgulmlem6  26971  lgamgulm2  26973  lgamucov  26975  lgamcvg2  26992  gamcvg  26993  gamcvg2lem  26996  regamcl  26998  relgamcl  26999  lgam1  27001  ftalem4  27013  chpval2  27156  chpchtsum  27157  logfacrlim  27162  logexprlim  27163  bclbnd  27218  bposlem1  27222  bposlem2  27223  lgsquadlem2  27319  chebbnd1lem1  27407  chebbnd1lem3  27409  chebbnd1  27410  chtppilimlem2  27412  chebbnd2  27415  chto1lb  27416  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrvmasumlem1  27433  dchrvmasum2if  27435  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem2a  27455  vmalogdivsum2  27476  2vmadivsumlem  27478  selberglem3  27485  selberg  27486  selberg4lem1  27498  selberg3r  27507  selberg4r  27508  selberg34r  27509  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntrlog2bndlem6a  27520  pntrlog2bndlem6  27521  pntrlog2bnd  27522  pntpbnd1a  27523  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntibndlem2  27529  pntibndlem3  27530  pntlemd  27532  pntlemc  27533  pntlema  27534  pntlemb  27535  pntlemg  27536  pntlemn  27538  pntlemq  27539  pntlemr  27540  pntlemj  27541  pntlemf  27543  pntlemo  27545  pnt2  27551  pnt  27552  ostth2lem3  27573  ostth2  27575  nrt2irr  30453  blocni  30785  ubthlem2  30851  lnconi  32013  rpxdivcld  32914  omssubadd  34313  hgt750leme  34671  faclimlem1  35787  faclimlem3  35789  faclim  35790  iprodfac  35791  equivtotbnd  37817  rrncmslem  37871  rrnequiv  37874  3lexlogpow2ineq2  42151  3lexlogpow5ineq5  42152  aks4d1p1p7  42166  fltne  42736  irrapxlem5  42918  xralrple2  45452  xralrple3  45471  iooiinicc  45641  iooiinioc  45655  limclner  45748  fprodsubrecnncnvlem  46004  fprodaddrecnncnvlem  46006  stoweidlem31  46128  stoweidlem59  46156  wallispilem3  46164  wallispilem4  46165  wallispilem5  46166  wallispi  46167  wallispi2lem1  46168  stirlinglem2  46172  stirlinglem4  46174  stirlinglem8  46178  stirlinglem13  46183  stirlinglem15  46185  stirlingr  46187  fourierdlem30  46234  fourierdlem73  46276  fourierdlem87  46290  qndenserrnbllem  46391  ovnsubaddlem1  46667  ovnsubaddlem2  46668  hoiqssbllem1  46719  hoiqssbllem2  46720  hoiqssbllem3  46721  ovolval5lem1  46749  ovolval5lem2  46750  vonioolem1  46777  smfmullem1  46888  smfmullem2  46889  smfmullem3  46890