Theorem rpdivcld 12968

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12934	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358   / cdiv 11796  ℝ⁺crp 12907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-rp 12908

This theorem is referenced by:  bcpasc  14246  mulcn2  15521  o1rlimmul  15544  mertenslem1  15809  mertenslem2  15810  effsumlt  16038  prmind2  16614  nlmvscnlem2  24631  nlmvscnlem1  24632  nghmcn  24691  lebnumlem3  24920  lebnumii  24923  nmoleub3  25077  ipcnlem2  25202  ipcnlem1  25203  equivcfil  25257  equivcau  25258  ovollb2lem  25447  ovoliunlem1  25461  uniioombllem6  25547  itg2const2  25700  itg2cnlem2  25721  aalioulem2  26299  aalioulem4  26301  aalioulem5  26302  aalioulem6  26303  aaliou  26304  aaliou2b  26307  aaliou3lem9  26316  itgulm  26375  abelthlem7  26406  abelthlem8  26407  tanrpcl  26471  logdivlti  26587  logcnlem2  26610  ang180lem2  26778  isosctrlem2  26787  birthdaylem2  26920  cxp2limlem  26944  cxp2lim  26945  cxploglim  26946  cxploglim2  26947  amgmlem  26958  logdiflbnd  26963  emcllem2  26965  fsumharmonic  26980  lgamgulmlem2  26998  lgamgulmlem3  26999  lgamgulmlem4  27000  lgamgulmlem5  27001  lgamgulmlem6  27002  lgamgulm2  27004  lgamucov  27006  lgamcvg2  27023  gamcvg  27024  gamcvg2lem  27027  regamcl  27029  relgamcl  27030  lgam1  27032  ftalem4  27044  chpval2  27187  chpchtsum  27188  logfacrlim  27193  logexprlim  27194  bclbnd  27249  bposlem1  27253  bposlem2  27254  lgsquadlem2  27350  chebbnd1lem1  27438  chebbnd1lem3  27440  chebbnd1  27441  chtppilimlem2  27443  chebbnd2  27446  chto1lb  27447  rplogsumlem2  27454  rpvmasumlem  27456  dchrvmasumlem1  27464  dchrvmasum2if  27466  dchrisum0lem1b  27484  dchrisum0lem2a  27486  vmalogdivsum2  27507  2vmadivsumlem  27509  selberglem3  27516  selberg  27517  selberg4lem1  27529  selberg3r  27538  selberg4r  27539  selberg34r  27540  pntrlog2bndlem1  27546  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem3  27548  pntrlog2bndlem4  27549  pntrlog2bndlem5  27550  pntrlog2bndlem6a  27551  pntrlog2bndlem6  27552  pntrlog2bnd  27553  pntpbnd1a  27554  pntpbnd1  27555  pntpbnd2  27556  pntibndlem2  27560  pntibndlem3  27561  pntlemd  27563  pntlemc  27564  pntlema  27565  pntlemb  27566  pntlemg  27567  pntlemn  27569  pntlemq  27570  pntlemr  27571  pntlemj  27572  pntlemf  27574  pntlemo  27576  pnt2  27582  pnt  27583  ostth2lem3  27604  ostth2  27606  nrt2irr  30529  blocni  30861  ubthlem2  30927  lnconi  32089  rpxdivcld  32994  omssubadd  34436  hgt750leme  34794  faclimlem1  35916  faclimlem3  35918  faclim  35919  iprodfac  35920  equivtotbnd  37948  rrncmslem  38002  rrnequiv  38005  3lexlogpow2ineq2  42348  3lexlogpow5ineq5  42349  aks4d1p1p7  42363  fltne  42924  irrapxlem5  43105  xralrple2  45636  xralrple3  45655  iooiinicc  45825  iooiinioc  45839  limclner  45932  fprodsubrecnncnvlem  46188  fprodaddrecnncnvlem  46190  stoweidlem31  46312  stoweidlem59  46340  wallispilem3  46348  wallispilem4  46349  wallispilem5  46350  wallispi  46351  wallispi2lem1  46352  stirlinglem2  46356  stirlinglem4  46358  stirlinglem8  46362  stirlinglem13  46367  stirlinglem15  46369  stirlingr  46371  fourierdlem30  46418  fourierdlem73  46460  fourierdlem87  46474  qndenserrnbllem  46575  ovnsubaddlem1  46851  ovnsubaddlem2  46852  hoiqssbllem1  46903  hoiqssbllem2  46904  hoiqssbllem3  46905  ovolval5lem1  46933  ovolval5lem2  46934  vonioolem1  46961  smfmullem1  47072  smfmullem2  47073  smfmullem3  47074