Theorem rpdivcld 13091

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13057	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430   / cdiv 11917  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  bcpasc  14356  mulcn2  15628  o1rlimmul  15651  mertenslem1  15916  mertenslem2  15917  effsumlt  16143  prmind2  16718  nlmvscnlem2  24721  nlmvscnlem1  24722  nghmcn  24781  lebnumlem3  25008  lebnumii  25011  nmoleub3  25165  ipcnlem2  25291  ipcnlem1  25292  equivcfil  25346  equivcau  25347  ovollb2lem  25536  ovoliunlem1  25550  uniioombllem6  25636  itg2const2  25790  itg2cnlem2  25811  aalioulem2  26389  aalioulem4  26391  aalioulem5  26392  aalioulem6  26393  aaliou  26394  aaliou2b  26397  aaliou3lem9  26406  itgulm  26465  abelthlem7  26496  abelthlem8  26497  tanrpcl  26560  logdivlti  26676  logcnlem2  26699  ang180lem2  26867  isosctrlem2  26876  birthdaylem2  27009  cxp2limlem  27033  cxp2lim  27034  cxploglim  27035  cxploglim2  27036  amgmlem  27047  logdiflbnd  27052  emcllem2  27054  fsumharmonic  27069  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  lgamgulmlem4  27089  lgamgulmlem5  27090  lgamgulmlem6  27091  lgamgulm2  27093  lgamucov  27095  lgamcvg2  27112  gamcvg  27113  gamcvg2lem  27116  regamcl  27118  relgamcl  27119  lgam1  27121  ftalem4  27133  chpval2  27276  chpchtsum  27277  logfacrlim  27282  logexprlim  27283  bclbnd  27338  bposlem1  27342  bposlem2  27343  lgsquadlem2  27439  chebbnd1lem1  27527  chebbnd1lem3  27529  chebbnd1  27530  chtppilimlem2  27532  chebbnd2  27535  chto1lb  27536  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrvmasumlem1  27553  dchrvmasum2if  27555  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem2a  27575  vmalogdivsum2  27596  2vmadivsumlem  27598  selberglem3  27605  selberg  27606  selberg4lem1  27618  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntrlog2bndlem1  27635  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6a  27640  pntrlog2bndlem6  27641  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd1a  27643  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  pntibndlem2  27649  pntibndlem3  27650  pntlemd  27652  pntlemc  27653  pntlema  27654  pntlemb  27655  pntlemg  27656  pntlemn  27658  pntlemq  27659  pntlemr  27660  pntlemj  27661  pntlemf  27663  pntlemo  27665  pnt2  27671  pnt  27672  ostth2lem3  27693  ostth2  27695  nrt2irr  30501  blocni  30833  ubthlem2  30899  lnconi  32061  rpxdivcld  32900  omssubadd  34281  hgt750leme  34651  faclimlem1  35722  faclimlem3  35724  faclim  35725  iprodfac  35726  equivtotbnd  37764  rrncmslem  37818  rrnequiv  37821  3lexlogpow2ineq2  42040  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1p1p7  42055  fltne  42630  irrapxlem5  42813  xralrple2  45303  xralrple3  45323  iooiinicc  45494  iooiinioc  45508  limclner  45606  fprodsubrecnncnvlem  45862  fprodaddrecnncnvlem  45864  stoweidlem31  45986  stoweidlem59  46014  wallispilem3  46022  wallispilem4  46023  wallispilem5  46024  wallispi  46025  wallispi2lem1  46026  stirlinglem2  46030  stirlinglem4  46032  stirlinglem8  46036  stirlinglem13  46041  stirlinglem15  46043  stirlingr  46045  fourierdlem30  46092  fourierdlem73  46134  fourierdlem87  46148  qndenserrnbllem  46249  ovnsubaddlem1  46525  ovnsubaddlem2  46526  hoiqssbllem1  46577  hoiqssbllem2  46578  hoiqssbllem3  46579  ovolval5lem1  46607  ovolval5lem2  46608  vonioolem1  46635  smfmullem1  46746  smfmullem2  46747  smfmullem3  46748