Theorem exp11nnd 14232

Description: The function elevating nonnegative reals to a positive integer is one-to-one. Similar to sq11d 14229 for positive real bases and positive integer exponents. The base cannot be generalized much further, since if 𝑁 is even then we have 𝐴↑𝑁 = -𝐴↑𝑁. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11nnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11nnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11nnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
exp11nnd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11nnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp11nnd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
2		exp11nnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13001	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		exp11nnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	reexpcld 14134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7		exp11nnd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13001	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 5	reexpcld 14134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	6, 9	lttri3d 11320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
11	1, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
12	2, 7, 4	ltexp1d 14230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
13	12	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
14	7, 2, 4	ltexp1d 14230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
15	14	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
16	13, 15	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
17	11, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
18	3, 8	lttri3d 11320	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
19	17, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389   < clt 11214  ℕcn 12187  ℝ⁺crp 12957  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033

This theorem is referenced by:  zrtelqelz  26674  expeq1d  42307  exp11d  42309  dvdsexpnn  42316  fltne  42625