Theorem exp11nnd 14385

Description: The function elevating nonnegative reals to a positive integer is one-to-one. Similar to sq11d 14382 for positive real bases and positive integer exponents. The base cannot be generalized much further, since if 𝑁 is even then we have 𝐴↑𝑁 = -𝐴↑𝑁. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11nnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11nnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11nnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
exp11nnd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11nnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp11nnd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
2		exp11nnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		exp11nnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	reexpcld 14286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7		exp11nnd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 5	reexpcld 14286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	6, 9	lttri3d 11431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
11	1, 10	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
12	2, 7, 4	ltexp1d 14383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
13	12	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
14	7, 2, 4	ltexp1d 14383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
15	14	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
16	13, 15	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
17	11, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
18	3, 8	lttri3d 11431	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
19	17, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412   < clt 11324  ℕcn 12316  ℝ⁺crp 13101  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  dvdsexpnn  16720  zrtelqelz  27068  fltne  27957  expeq1d  43349  exp11d  43351