Theorem exp11nnd 14328

Description: The function elevating nonnegative reals to a positive integer is one-to-one. Similar to sq11d 14325 for positive real bases and positive integer exponents. The base cannot be generalized much further, since if 𝑁 is even then we have 𝐴↑𝑁 = -𝐴↑𝑁. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11nnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11nnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11nnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
exp11nnd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11nnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp11nnd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
2		exp11nnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		exp11nnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	reexpcld 14230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7		exp11nnd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 5	reexpcld 14230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	6, 9	lttri3d 11377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
11	1, 10	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
12	2, 7, 4	ltexp1d 14326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
13	12	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
14	7, 2, 4	ltexp1d 14326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
15	14	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
16	13, 15	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
17	11, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
18	3, 8	lttri3d 11377	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
19	17, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   < clt 11270  ℕcn 12260  ℝ⁺crp 13045  ↑cexp 14128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-seq 14069  df-exp 14129

This theorem is used by:  zrtelqelz  26998  expeq1d  43202  exp11d  43204  dvdsexpnn  43211  fltne  43493