Theorem exp11nnd 14202

Description: The function elevating nonnegative reals to a positive integer is one-to-one. Similar to sq11d 14199 for positive real bases and positive integer exponents. The base cannot be generalized much further, since if 𝑁 is even then we have 𝐴↑𝑁 = -𝐴↑𝑁. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11nnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11nnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11nnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
exp11nnd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11nnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp11nnd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
2		exp11nnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		exp11nnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	reexpcld 14104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7		exp11nnd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 5	reexpcld 14104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	6, 9	lttri3d 11290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
11	1, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
12	2, 7, 4	ltexp1d 14200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
13	12	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
14	7, 2, 4	ltexp1d 14200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
15	14	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
16	13, 15	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
17	11, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
18	3, 8	lttri3d 11290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
19	17, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369   < clt 11184  ℕcn 12162  ℝ⁺crp 12927  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  zrtelqelz  26701  expeq1d  42305  exp11d  42307  dvdsexpnn  42314  fltne  42625