Theorem exp11nnd 14185

Description: The function elevating nonnegative reals to a positive integer is one-to-one. Similar to sq11d 14182 for positive real bases and positive integer exponents. The base cannot be generalized much further, since if 𝑁 is even then we have 𝐴↑𝑁 = -𝐴↑𝑁. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11nnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11nnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11nnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
exp11nnd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11nnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp11nnd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
2		exp11nnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		exp11nnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	reexpcld 14087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7		exp11nnd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 5	reexpcld 14087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	6, 9	lttri3d 11274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
11	1, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
12	2, 7, 4	ltexp1d 14183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
13	12	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
14	7, 2, 4	ltexp1d 14183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
15	14	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁)))
16	13, 15	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁) ∧ ¬ (𝐵↑𝑁) < (𝐴↑𝑁))))
17	11, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
18	3, 8	lttri3d 11274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
19	17, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358   < clt 11167  ℕcn 12146  ℝ⁺crp 12906  ↑cexp 13985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-seq 13926  df-exp 13986

This theorem is referenced by:  zrtelqelz  26708  expeq1d  42755  exp11d  42757  dvdsexpnn  42764  fltne  43076