Theorem zrtelqelz 26783

Description: If the 𝑁-th root of an integer 𝐴 is rational, that root is must be an integer. Similar to zsqrtelqelz 16755, generalized to positive integer roots. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zrtelqelz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 16738	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))) ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))) ∈ ℕ)
3	2	nnrpd 13062	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))) ∈ ℝ+)
4		1rp 13026	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 1 ∈ ℝ+)
6		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12631	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		1exp 14105	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (1↑𝑁) = 1)
10		zcn 12609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		cxproot 26714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐴)
13	11, 6, 12	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (denom‘((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (denom‘𝐴))
15		zq 12984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
16		qden1elz 16754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
18	17	ibir 267	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (denom‘𝐴) = 1)
19	18	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (denom‘𝐴) = 1)
20	14, 19	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (denom‘((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = 1)
21		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
22	6	nnnn0d 12578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		denexp 16759	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = ((denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)))↑𝑁))
24	21, 22, 23	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (denom‘((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = ((denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)))↑𝑁))
25	9, 20, 24	3eqtr2rd 2773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → ((denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)))↑𝑁) = (1↑𝑁))
26	3, 5, 6, 25	exp11nnd 14273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))) = 1)
27		qden1elz 16754	. . 3 ⊢ ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → ((denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))) = 1 ↔ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
28	27	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → ((denom‘(𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))) = 1 ↔ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
29	26, 28	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  1c1 11150   / cdiv 11912  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ℚcq 12978  ℝ⁺crp 13022  ↑cexp 14075  denomcdenom 16731  ↑_𝑐ccxp 26579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-dvds 16252  df-gcd 16490  df-numer 16732  df-denom 16733  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-lp 23128  df-perf 23129  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cncf 24886  df-limc 25883  df-dv 25884  df-log 26580  df-cxp 26581

This theorem is referenced by:  rtprmirr  26785