Theorem reexpcld 14077

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 13992	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  ℕ₀cn0 12392  ↑cexp 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-seq 13916  df-exp 13976

This theorem is referenced by:  expmordi  14081  exp11nnd  14175  faclbnd  14204  facubnd  14214  explecnv  15779  geomulcvg  15790  cvgrat  15797  efcllem  15991  eftlub  16025  bitsfzolem  16352  bitsfzo  16353  vfermltlALT  16721  pclem  16757  dvdsprmpweqle  16805  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  radcnvlem1  26369  abelthlem7  26395  advlogexp  26611  leibpi  26899  ftalem1  27030  ftalem2  27031  ftalem5  27034  vma1  27123  logexprlim  27183  bposlem6  27247  gausslemma2dlem6  27330  rplogsumlem2  27443  rpvmasumlem  27445  dchrisum0flblem1  27466  pntlem3  27567  ostth2lem1  27576  ostth2lem2  27592  ostth2lem3  27593  ostth3  27596  numclwwlk5  30389  expgt0b  32825  nexple  32853  2exple2exp  32854  oexpled  32856  fldext2chn  33813  eulerpartlemgc  34447  signsply0  34636  knoppcnlem2  36610  knoppcnlem4  36612  knoppcnlem6  36614  knoppcnlem10  36618  knoppndvlem11  36638  knoppndvlem14  36641  knoppndvlem15  36642  knoppndvlem17  36644  knoppndvlem18  36645  knoppndvlem21  36648  geomcau  37872  bfplem1  37935  lcmineqlem21  42215  lcmineqlem22  42216  3lexlogpow5ineq4  42222  3lexlogpow5ineq3  42223  3lexlogpow2ineq2  42225  3lexlogpow5ineq5  42226  aks4d1lem1  42228  aks4d1p1p3  42235  aks4d1p1p2  42236  aks4d1p1p4  42237  aks4d1p1p6  42239  aks4d1p1p7  42240  aks4d1p1p5  42241  aks4d1p1  42242  aks4d1p2  42243  aks4d1p3  42244  aks4d1p5  42246  aks4d1p6  42247  aks4d1p7d1  42248  aks4d1p7  42249  aks4d1p8d2  42251  aks4d1p8  42253  aks6d1c2lem4  42293  2ap1caineq  42311  aks6d1c7lem1  42346  oexpreposd  42492  dffltz  42792  fltltc  42819  fltnltalem  42820  fltnlta  42821  negexpidd  42839  3cubeslem3r  42844  3cubeslem4  42846  jm2.17a  43117  jm2.17b  43118  jm2.17c  43119  jm3.1lem1  43174  jm3.1lem2  43175  xralrple4  45533  stoweidlem1  46161  stoweidlem3  46163  stoweidlem7  46167  stoweidlem12  46172  stoweidlem19  46179  stoweidlem24  46184  stoweidlem25  46185  stoweidlem40  46200  stoweidlem42  46202  stoweidlem45  46205  wallispilem1  46225  stirlinglem10  46243  stirlinglem11  46244  stirlingr  46250  etransclem23  46417  etransclem48  46442  sge0ad2en  46591  ovnsubaddlem1  46730  hoiqssbllem2  46783  lighneallem2  47768  fllog2  48730  nnolog2flm1  48752  dig2nn1st  48767  dignn0flhalflem2  48778  nn0sumshdiglemA  48781