Theorem reexpcld 14135

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14051	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  ℕ₀cn0 12479  ↑cexp 14034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-exp 14035

This theorem is referenced by:  expmordi  14139  faclbnd  14257  facubnd  14267  explecnv  15818  geomulcvg  15829  cvgrat  15836  efcllem  16028  eftlub  16059  bitsfzolem  16382  bitsfzo  16383  vfermltlALT  16742  pclem  16778  dvdsprmpweqle  16826  taylthlem2  26225  radcnvlem1  26264  abelthlem7  26290  advlogexp  26503  leibpi  26788  ftalem1  26918  ftalem2  26919  ftalem5  26922  vma1  27011  logexprlim  27071  bposlem6  27135  gausslemma2dlem6  27218  rplogsumlem2  27331  rpvmasumlem  27333  dchrisum0flblem1  27354  pntlem3  27455  ostth2lem1  27464  ostth2lem2  27480  ostth2lem3  27481  ostth3  27484  numclwwlk5  30074  nexple  33471  eulerpartlemgc  33825  signsply0  34026  knoppcnlem2  35834  knoppcnlem4  35836  knoppcnlem6  35838  knoppcnlem10  35842  knoppndvlem11  35862  knoppndvlem14  35865  knoppndvlem15  35866  knoppndvlem17  35868  knoppndvlem18  35869  knoppndvlem21  35872  geomcau  37091  bfplem1  37154  lcmineqlem21  41381  lcmineqlem22  41382  3lexlogpow5ineq4  41388  3lexlogpow5ineq3  41389  3lexlogpow2ineq2  41391  3lexlogpow5ineq5  41392  aks4d1lem1  41394  aks4d1p1p3  41401  aks4d1p1p2  41402  aks4d1p1p4  41403  aks4d1p1p6  41405  aks4d1p1p7  41406  aks4d1p1p5  41407  aks4d1p1  41408  aks4d1p2  41409  aks4d1p3  41410  aks4d1p5  41412  aks4d1p6  41413  aks4d1p7d1  41414  aks4d1p7  41415  aks4d1p8d2  41417  aks4d1p8  41419  2ap1caineq  41428  oexpreposd  41675  exp11nnd  41678  dffltz  41839  fltltc  41866  fltnltalem  41867  fltnlta  41868  negexpidd  41883  3cubeslem3r  41888  3cubeslem4  41890  jm2.17a  42162  jm2.17b  42163  jm2.17c  42164  jm3.1lem1  42219  jm3.1lem2  42220  xralrple4  44542  stoweidlem1  45176  stoweidlem3  45178  stoweidlem7  45182  stoweidlem12  45187  stoweidlem19  45194  stoweidlem24  45199  stoweidlem25  45200  stoweidlem40  45215  stoweidlem42  45217  stoweidlem45  45220  wallispilem1  45240  stirlinglem10  45258  stirlinglem11  45259  stirlingr  45265  etransclem23  45432  etransclem48  45457  sge0ad2en  45606  ovnsubaddlem1  45745  hoiqssbllem2  45798  lighneallem2  46733  fllog2  47416  nnolog2flm1  47438  dig2nn1st  47453  dignn0flhalflem2  47464  nn0sumshdiglemA  47467