Theorem reexpcld 14104

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  expmordi  14108  exp11nnd  14202  faclbnd  14231  facubnd  14241  explecnv  15807  geomulcvg  15818  cvgrat  15825  efcllem  16019  eftlub  16053  bitsfzolem  16380  bitsfzo  16381  vfermltlALT  16749  pclem  16785  dvdsprmpweqle  16833  taylthlem2  26258  taylthlem2OLD  26259  radcnvlem1  26298  abelthlem7  26324  advlogexp  26540  leibpi  26828  ftalem1  26959  ftalem2  26960  ftalem5  26963  vma1  27052  logexprlim  27112  bposlem6  27176  gausslemma2dlem6  27259  rplogsumlem2  27372  rpvmasumlem  27374  dchrisum0flblem1  27395  pntlem3  27496  ostth2lem1  27505  ostth2lem2  27521  ostth2lem3  27522  ostth3  27525  numclwwlk5  30290  expgt0b  32714  nexple  32742  2exple2exp  32743  oexpled  32745  fldext2chn  33691  eulerpartlemgc  34326  signsply0  34515  knoppcnlem2  36455  knoppcnlem4  36457  knoppcnlem6  36459  knoppcnlem10  36463  knoppndvlem11  36483  knoppndvlem14  36486  knoppndvlem15  36487  knoppndvlem17  36489  knoppndvlem18  36490  knoppndvlem21  36493  geomcau  37726  bfplem1  37789  lcmineqlem21  42010  lcmineqlem22  42011  3lexlogpow5ineq4  42017  3lexlogpow5ineq3  42018  3lexlogpow2ineq2  42020  3lexlogpow5ineq5  42021  aks4d1lem1  42023  aks4d1p1p3  42030  aks4d1p1p2  42031  aks4d1p1p4  42032  aks4d1p1p6  42034  aks4d1p1p7  42035  aks4d1p1p5  42036  aks4d1p1  42037  aks4d1p2  42038  aks4d1p3  42039  aks4d1p5  42041  aks4d1p6  42042  aks4d1p7d1  42043  aks4d1p7  42044  aks4d1p8d2  42046  aks4d1p8  42048  aks6d1c2lem4  42088  2ap1caineq  42106  aks6d1c7lem1  42141  oexpreposd  42283  dffltz  42595  fltltc  42622  fltnltalem  42623  fltnlta  42624  negexpidd  42643  3cubeslem3r  42648  3cubeslem4  42650  jm2.17a  42922  jm2.17b  42923  jm2.17c  42924  jm3.1lem1  42979  jm3.1lem2  42980  xralrple4  45342  stoweidlem1  45972  stoweidlem3  45974  stoweidlem7  45978  stoweidlem12  45983  stoweidlem19  45990  stoweidlem24  45995  stoweidlem25  45996  stoweidlem40  46011  stoweidlem42  46013  stoweidlem45  46016  wallispilem1  46036  stirlinglem10  46054  stirlinglem11  46055  stirlingr  46061  etransclem23  46228  etransclem48  46253  sge0ad2en  46402  ovnsubaddlem1  46541  hoiqssbllem2  46594  lighneallem2  47580  fllog2  48530  nnolog2flm1  48552  dig2nn1st  48567  dignn0flhalflem2  48578  nn0sumshdiglemA  48581