Theorem reexpcld 14130

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14046	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  ℕ₀cn0 12474  ↑cexp 14029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030

This theorem is referenced by:  expmordi  14134  faclbnd  14252  facubnd  14262  explecnv  15813  geomulcvg  15824  cvgrat  15831  efcllem  16023  eftlub  16054  bitsfzolem  16377  bitsfzo  16378  vfermltlALT  16737  pclem  16773  dvdsprmpweqle  16821  taylthlem2  25893  radcnvlem1  25932  abelthlem7  25957  advlogexp  26170  leibpi  26454  ftalem1  26584  ftalem2  26585  ftalem5  26588  vma1  26677  logexprlim  26735  bposlem6  26799  gausslemma2dlem6  26882  rplogsumlem2  26995  rpvmasumlem  26997  dchrisum0flblem1  27018  pntlem3  27119  ostth2lem1  27128  ostth2lem2  27144  ostth2lem3  27145  ostth3  27148  numclwwlk5  29679  nexple  33076  eulerpartlemgc  33430  signsply0  33631  knoppcnlem2  35456  knoppcnlem4  35458  knoppcnlem6  35460  knoppcnlem10  35464  knoppndvlem11  35484  knoppndvlem14  35487  knoppndvlem15  35488  knoppndvlem17  35490  knoppndvlem18  35491  knoppndvlem21  35494  geomcau  36713  bfplem1  36776  lcmineqlem21  41000  lcmineqlem22  41001  3lexlogpow5ineq4  41007  3lexlogpow5ineq3  41008  3lexlogpow2ineq2  41010  3lexlogpow5ineq5  41011  aks4d1lem1  41013  aks4d1p1p3  41020  aks4d1p1p2  41021  aks4d1p1p4  41022  aks4d1p1p6  41024  aks4d1p1p7  41025  aks4d1p1p5  41026  aks4d1p1  41027  aks4d1p2  41028  aks4d1p3  41029  aks4d1p5  41031  aks4d1p6  41032  aks4d1p7d1  41033  aks4d1p7  41034  aks4d1p8d2  41036  aks4d1p8  41038  2ap1caineq  41047  oexpreposd  41294  exp11nnd  41297  dffltz  41458  fltltc  41485  fltnltalem  41486  fltnlta  41487  negexpidd  41502  3cubeslem3r  41507  3cubeslem4  41509  jm2.17a  41781  jm2.17b  41782  jm2.17c  41783  jm3.1lem1  41838  jm3.1lem2  41839  xralrple4  44162  stoweidlem1  44796  stoweidlem3  44798  stoweidlem7  44802  stoweidlem12  44807  stoweidlem19  44814  stoweidlem24  44819  stoweidlem25  44820  stoweidlem40  44835  stoweidlem42  44837  stoweidlem45  44840  wallispilem1  44860  stirlinglem10  44878  stirlinglem11  44879  stirlingr  44885  etransclem23  45052  etransclem48  45077  sge0ad2en  45226  ovnsubaddlem1  45365  hoiqssbllem2  45418  lighneallem2  46353  fllog2  47332  nnolog2flm1  47354  dig2nn1st  47369  dignn0flhalflem2  47380  nn0sumshdiglemA  47383