Theorem reexpcld 14170

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14085	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  ℕ₀cn0 12475  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  expmordi  14174  exp11nnd  14268  faclbnd  14297  facubnd  14307  explecnv  15886  geomulcvg  15897  cvgrat  15904  efcllem  16098  eftlub  16132  bitsfzolem  16459  bitsfzo  16460  vfermltlALT  16829  pclem  16865  dvdsprmpweqle  16913  taylthlem2  26425  radcnvlem1  26464  abelthlem7  26489  advlogexp  26708  leibpi  26995  ftalem1  27125  ftalem2  27126  ftalem5  27129  vma1  27218  logexprlim  27277  bposlem6  27341  gausslemma2dlem6  27424  rplogsumlem2  27537  rpvmasumlem  27539  dchrisum0flblem1  27560  pntlem3  27661  ostth2lem1  27670  ostth2lem2  27686  ostth2lem3  27687  ostth3  27690  numclwwlk5  30547  expgt0b  32980  nexple  32996  2exple2exp  32997  oexpled  32999  fldext2chn  33986  eulerpartlemgc  34620  signsply0  34806  knoppcnlem2  36893  knoppcnlem4  36895  knoppcnlem6  36897  knoppcnlem10  36901  knoppndvlem11  36921  knoppndvlem14  36924  knoppndvlem15  36925  knoppndvlem17  36927  knoppndvlem18  36928  knoppndvlem21  36931  geomcau  38219  bfplem1  38282  lcmineqlem21  42627  lcmineqlem22  42628  3lexlogpow5ineq4  42634  3lexlogpow5ineq3  42635  3lexlogpow2ineq2  42637  3lexlogpow5ineq5  42638  aks4d1lem1  42640  aks4d1p1p3  42647  aks4d1p1p2  42648  aks4d1p1p4  42649  aks4d1p1p6  42651  aks4d1p1p7  42652  aks4d1p1p5  42653  aks4d1p1  42654  aks4d1p2  42655  aks4d1p3  42656  aks4d1p5  42658  aks4d1p6  42659  aks4d1p7d1  42660  aks4d1p7  42661  aks4d1p8d2  42663  aks4d1p8  42665  aks6d1c2lem4  42705  2ap1caineq  42723  aks6d1c7lem1  42758  oexpreposd  42892  dffltz  43177  fltltc  43204  fltnltalem  43205  fltnlta  43206  negexpidd  43224  3cubeslem3r  43229  3cubeslem4  43231  jm2.17a  43498  jm2.17b  43499  jm2.17c  43500  jm3.1lem1  43555  jm3.1lem2  43556  xralrple4  45909  stoweidlem1  46536  stoweidlem3  46538  stoweidlem7  46542  stoweidlem12  46547  stoweidlem19  46554  stoweidlem24  46559  stoweidlem25  46560  stoweidlem40  46575  stoweidlem42  46577  stoweidlem45  46580  wallispilem1  46600  stirlinglem10  46618  stirlinglem11  46619  stirlingr  46625  etransclem23  46792  etransclem48  46817  sge0ad2en  46966  ovnsubaddlem1  47105  hoiqssbllem2  47158  lighneallem2  48176  fllog2  49151  nnolog2flm1  49173  dig2nn1st  49188  dignn0flhalflem2  49199  nn0sumshdiglemA  49202