Theorem reexpcld 13890

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 13808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  ℕ₀cn0 12242  ↑cexp 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-seq 13731  df-exp 13792

This theorem is referenced by:  expmordi  13894  faclbnd  14013  facubnd  14023  explecnv  15586  geomulcvg  15597  cvgrat  15604  efcllem  15796  eftlub  15827  bitsfzolem  16150  bitsfzo  16151  vfermltlALT  16512  pclem  16548  dvdsprmpweqle  16596  taylthlem2  25542  radcnvlem1  25581  abelthlem7  25606  advlogexp  25819  leibpi  26101  ftalem1  26231  ftalem2  26232  ftalem5  26235  vma1  26324  logexprlim  26382  bposlem6  26446  gausslemma2dlem6  26529  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  dchrisum0flblem1  26665  pntlem3  26766  ostth2lem1  26775  ostth2lem2  26791  ostth2lem3  26792  ostth3  26795  numclwwlk5  28761  nexple  31986  eulerpartlemgc  32338  signsply0  32539  knoppcnlem2  34683  knoppcnlem4  34685  knoppcnlem6  34687  knoppcnlem10  34691  knoppndvlem11  34711  knoppndvlem14  34714  knoppndvlem15  34715  knoppndvlem17  34717  knoppndvlem18  34718  knoppndvlem21  34721  geomcau  35926  bfplem1  35989  lcmineqlem21  40064  lcmineqlem22  40065  3lexlogpow5ineq4  40071  3lexlogpow5ineq3  40072  3lexlogpow2ineq2  40074  3lexlogpow5ineq5  40075  aks4d1lem1  40077  aks4d1p1p3  40084  aks4d1p1p2  40085  aks4d1p1p4  40086  aks4d1p1p6  40088  aks4d1p1p7  40089  aks4d1p1p5  40090  aks4d1p1  40091  aks4d1p2  40092  aks4d1p3  40093  aks4d1p5  40095  aks4d1p6  40096  aks4d1p7d1  40097  aks4d1p7  40098  aks4d1p8d2  40100  aks4d1p8  40102  2ap1caineq  40108  oexpreposd  40328  exp11nnd  40331  dffltz  40478  fltltc  40505  fltnltalem  40506  fltnlta  40507  negexpidd  40511  3cubeslem3r  40516  3cubeslem4  40518  jm2.17a  40789  jm2.17b  40790  jm2.17c  40791  jm3.1lem1  40846  jm3.1lem2  40847  xralrple4  42919  stoweidlem1  43549  stoweidlem3  43551  stoweidlem7  43555  stoweidlem12  43560  stoweidlem19  43567  stoweidlem24  43572  stoweidlem25  43573  stoweidlem40  43588  stoweidlem42  43590  stoweidlem45  43593  wallispilem1  43613  stirlinglem10  43631  stirlinglem11  43632  stirlingr  43638  etransclem23  43805  etransclem48  43830  sge0ad2en  43976  ovnsubaddlem1  44115  hoiqssbllem2  44168  lighneallem2  45069  fllog2  45925  nnolog2flm1  45947  dig2nn1st  45962  dignn0flhalflem2  45973  nn0sumshdiglemA  45976