Theorem reexpcld 14227

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  expmordi  14231  exp11nnd  14325  faclbnd  14354  facubnd  14364  explecnv  15954  geomulcvg  15965  cvgrat  15972  efcllem  16163  eftlub  16197  bitsfzolem  16524  bitsfzo  16525  vfermltlALT  16894  pclem  16930  dvdsprmpweqle  16978  taylthlem2  26610  radcnvlem1  26649  abelthlem7  26674  advlogexp  26892  leibpi  27179  ftalem1  27309  ftalem2  27310  ftalem5  27313  vma1  27402  logexprlim  27461  bposlem6  27525  gausslemma2dlem6  27608  rplogsumlem2  27721  rpvmasumlem  27723  dchrisum0flblem1  27744  pntlem3  27845  ostth2lem1  27854  ostth2lem2  27870  ostth2lem3  27871  ostth3  27874  numclwwlk5  30868  expgt0b  33287  nexple  33303  2exple2exp  33304  oexpled  33306  fldext2chn  34238  eulerpartlemgc  34873  signsply0  35059  knoppcnlem2  37191  knoppcnlem4  37193  knoppcnlem6  37195  knoppcnlem10  37199  knoppndvlem11  37219  knoppndvlem14  37222  knoppndvlem15  37223  knoppndvlem17  37225  knoppndvlem18  37226  knoppndvlem21  37229  geomcau  38509  bfplem1  38572  lcmineqlem21  42915  lcmineqlem22  42916  3lexlogpow5ineq4  42922  3lexlogpow5ineq3  42923  3lexlogpow2ineq2  42925  3lexlogpow5ineq5  42926  aks4d1lem1  42928  aks4d1p1p3  42935  aks4d1p1p2  42936  aks4d1p1p4  42937  aks4d1p1p6  42939  aks4d1p1p7  42940  aks4d1p1p5  42941  aks4d1p1  42942  aks4d1p2  42943  aks4d1p3  42944  aks4d1p5  42946  aks4d1p6  42947  aks4d1p7d1  42948  aks4d1p7  42949  aks4d1p8d2  42951  aks4d1p8  42953  aks6d1c2lem4  42993  2ap1caineq  43011  aks6d1c7lem1  43046  oexpreposd  43197  dffltz  43480  fltltc  43507  fltnltalem  43508  fltnlta  43509  negexpidd  43527  3cubeslem3r  43532  3cubeslem4  43534  jm2.17a  43801  jm2.17b  43802  jm2.17c  43803  jm3.1lem1  43858  jm3.1lem2  43859  xralrple4  46202  stoweidlem1  46829  stoweidlem3  46831  stoweidlem7  46835  stoweidlem12  46840  stoweidlem19  46847  stoweidlem24  46852  stoweidlem25  46853  stoweidlem40  46868  stoweidlem42  46870  stoweidlem45  46873  wallispilem1  46893  stirlinglem10  46911  stirlinglem11  46912  stirlingr  46918  etransclem23  47085  etransclem48  47110  sge0ad2en  47259  ovnsubaddlem1  47398  hoiqssbllem2  47451  lighneallem2  48509  fllog2  49498  nnolog2flm1  49520  dig2nn1st  49535  dignn0flhalflem2  49546  nn0sumshdiglemA  49549