Theorem reexpcld 14128

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14043	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  ℕ₀cn0 12442  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  expmordi  14132  exp11nnd  14226  faclbnd  14255  facubnd  14265  explecnv  15831  geomulcvg  15842  cvgrat  15849  efcllem  16043  eftlub  16077  bitsfzolem  16404  bitsfzo  16405  vfermltlALT  16773  pclem  16809  dvdsprmpweqle  16857  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  radcnvlem1  26322  abelthlem7  26348  advlogexp  26564  leibpi  26852  ftalem1  26983  ftalem2  26984  ftalem5  26987  vma1  27076  logexprlim  27136  bposlem6  27200  gausslemma2dlem6  27283  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisum0flblem1  27419  pntlem3  27520  ostth2lem1  27529  ostth2lem2  27545  ostth2lem3  27546  ostth3  27549  numclwwlk5  30317  expgt0b  32741  nexple  32769  2exple2exp  32770  oexpled  32772  fldext2chn  33718  eulerpartlemgc  34353  signsply0  34542  knoppcnlem2  36482  knoppcnlem4  36484  knoppcnlem6  36486  knoppcnlem10  36490  knoppndvlem11  36510  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem15  36514  knoppndvlem17  36516  knoppndvlem18  36517  knoppndvlem21  36520  geomcau  37753  bfplem1  37816  lcmineqlem21  42037  lcmineqlem22  42038  3lexlogpow5ineq4  42044  3lexlogpow5ineq3  42045  3lexlogpow2ineq2  42047  3lexlogpow5ineq5  42048  aks4d1lem1  42050  aks4d1p1p3  42057  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  aks4d1p1  42064  aks4d1p2  42065  aks4d1p3  42066  aks4d1p5  42068  aks4d1p6  42069  aks4d1p7d1  42070  aks4d1p7  42071  aks4d1p8d2  42073  aks4d1p8  42075  aks6d1c2lem4  42115  2ap1caineq  42133  aks6d1c7lem1  42168  oexpreposd  42310  dffltz  42622  fltltc  42649  fltnltalem  42650  fltnlta  42651  negexpidd  42670  3cubeslem3r  42675  3cubeslem4  42677  jm2.17a  42949  jm2.17b  42950  jm2.17c  42951  jm3.1lem1  43006  jm3.1lem2  43007  xralrple4  45369  stoweidlem1  45999  stoweidlem3  46001  stoweidlem7  46005  stoweidlem12  46010  stoweidlem19  46017  stoweidlem24  46022  stoweidlem25  46023  stoweidlem40  46038  stoweidlem42  46040  stoweidlem45  46043  wallispilem1  46063  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  stirlingr  46088  etransclem23  46255  etransclem48  46280  sge0ad2en  46429  ovnsubaddlem1  46568  hoiqssbllem2  46621  lighneallem2  47604  fllog2  48554  nnolog2flm1  48576  dig2nn1st  48591  dignn0flhalflem2  48602  nn0sumshdiglemA  48605