Theorem reexpcld 14116

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14031	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  expmordi  14120  exp11nnd  14214  faclbnd  14243  facubnd  14253  explecnv  15821  geomulcvg  15832  cvgrat  15839  efcllem  16033  eftlub  16067  bitsfzolem  16394  bitsfzo  16395  vfermltlALT  16764  pclem  16800  dvdsprmpweqle  16848  taylthlem2  26357  radcnvlem1  26396  abelthlem7  26421  advlogexp  26637  leibpi  26924  ftalem1  27054  ftalem2  27055  ftalem5  27058  vma1  27147  logexprlim  27206  bposlem6  27270  gausslemma2dlem6  27353  rplogsumlem2  27466  rpvmasumlem  27468  dchrisum0flblem1  27489  pntlem3  27590  ostth2lem1  27599  ostth2lem2  27615  ostth2lem3  27616  ostth3  27619  numclwwlk5  30476  expgt0b  32909  nexple  32936  2exple2exp  32937  oexpled  32939  fldext2chn  33912  eulerpartlemgc  34546  signsply0  34735  knoppcnlem2  36800  knoppcnlem4  36802  knoppcnlem6  36804  knoppcnlem10  36808  knoppndvlem11  36828  knoppndvlem14  36831  knoppndvlem15  36832  knoppndvlem17  36834  knoppndvlem18  36835  knoppndvlem21  36838  geomcau  38126  bfplem1  38189  lcmineqlem21  42534  lcmineqlem22  42535  3lexlogpow5ineq4  42541  3lexlogpow5ineq3  42542  3lexlogpow2ineq2  42544  3lexlogpow5ineq5  42545  aks4d1lem1  42547  aks4d1p1p3  42554  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p4  42556  aks4d1p1p6  42558  aks4d1p1p7  42559  aks4d1p1p5  42560  aks4d1p1  42561  aks4d1p2  42562  aks4d1p3  42563  aks4d1p5  42565  aks4d1p6  42566  aks4d1p7d1  42567  aks4d1p7  42568  aks4d1p8d2  42570  aks4d1p8  42572  aks6d1c2lem4  42612  2ap1caineq  42630  aks6d1c7lem1  42665  oexpreposd  42799  dffltz  43084  fltltc  43111  fltnltalem  43112  fltnlta  43113  negexpidd  43131  3cubeslem3r  43136  3cubeslem4  43138  jm2.17a  43405  jm2.17b  43406  jm2.17c  43407  jm3.1lem1  43462  jm3.1lem2  43463  xralrple4  45817  stoweidlem1  46444  stoweidlem3  46446  stoweidlem7  46450  stoweidlem12  46455  stoweidlem19  46462  stoweidlem24  46467  stoweidlem25  46468  stoweidlem40  46483  stoweidlem42  46485  stoweidlem45  46488  wallispilem1  46508  stirlinglem10  46526  stirlinglem11  46527  stirlingr  46533  etransclem23  46700  etransclem48  46725  sge0ad2en  46874  ovnsubaddlem1  47013  hoiqssbllem2  47066  lighneallem2  48084  fllog2  49059  nnolog2flm1  49081  dig2nn1st  49096  dignn0flhalflem2  49107  nn0sumshdiglemA  49110