Theorem reexpcld 14086

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14001	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  expmordi  14090  exp11nnd  14184  faclbnd  14213  facubnd  14223  explecnv  15788  geomulcvg  15799  cvgrat  15806  efcllem  16000  eftlub  16034  bitsfzolem  16361  bitsfzo  16362  vfermltlALT  16730  pclem  16766  dvdsprmpweqle  16814  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  radcnvlem1  26378  abelthlem7  26404  advlogexp  26620  leibpi  26908  ftalem1  27039  ftalem2  27040  ftalem5  27043  vma1  27132  logexprlim  27192  bposlem6  27256  gausslemma2dlem6  27339  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrisum0flblem1  27475  pntlem3  27576  ostth2lem1  27585  ostth2lem2  27601  ostth2lem3  27602  ostth3  27605  numclwwlk5  30463  expgt0b  32897  nexple  32925  2exple2exp  32926  oexpled  32928  fldext2chn  33885  eulerpartlemgc  34519  signsply0  34708  knoppcnlem2  36694  knoppcnlem4  36696  knoppcnlem6  36698  knoppcnlem10  36702  knoppndvlem11  36722  knoppndvlem14  36725  knoppndvlem15  36726  knoppndvlem17  36728  knoppndvlem18  36729  knoppndvlem21  36732  geomcau  37960  bfplem1  38023  lcmineqlem21  42303  lcmineqlem22  42304  3lexlogpow5ineq4  42310  3lexlogpow5ineq3  42311  3lexlogpow2ineq2  42313  3lexlogpow5ineq5  42314  aks4d1lem1  42316  aks4d1p1p3  42323  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p1p4  42325  aks4d1p1p6  42327  aks4d1p1p7  42328  aks4d1p1p5  42329  aks4d1p1  42330  aks4d1p2  42331  aks4d1p3  42332  aks4d1p5  42334  aks4d1p6  42335  aks4d1p7d1  42336  aks4d1p7  42337  aks4d1p8d2  42339  aks4d1p8  42341  aks6d1c2lem4  42381  2ap1caineq  42399  aks6d1c7lem1  42434  oexpreposd  42577  dffltz  42877  fltltc  42904  fltnltalem  42905  fltnlta  42906  negexpidd  42924  3cubeslem3r  42929  3cubeslem4  42931  jm2.17a  43202  jm2.17b  43203  jm2.17c  43204  jm3.1lem1  43259  jm3.1lem2  43260  xralrple4  45617  stoweidlem1  46245  stoweidlem3  46247  stoweidlem7  46251  stoweidlem12  46256  stoweidlem19  46263  stoweidlem24  46268  stoweidlem25  46269  stoweidlem40  46284  stoweidlem42  46286  stoweidlem45  46289  wallispilem1  46309  stirlinglem10  46327  stirlinglem11  46328  stirlingr  46334  etransclem23  46501  etransclem48  46526  sge0ad2en  46675  ovnsubaddlem1  46814  hoiqssbllem2  46867  lighneallem2  47852  fllog2  48814  nnolog2flm1  48836  dig2nn1st  48851  dignn0flhalflem2  48862  nn0sumshdiglemA  48865