Theorem reexpcld 14132

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14048	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  ℕ₀cn0 12476  ↑cexp 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032

This theorem is referenced by:  expmordi  14136  faclbnd  14254  facubnd  14264  explecnv  15815  geomulcvg  15826  cvgrat  15833  efcllem  16025  eftlub  16056  bitsfzolem  16379  bitsfzo  16380  vfermltlALT  16739  pclem  16775  dvdsprmpweqle  16823  taylthlem2  26122  radcnvlem1  26161  abelthlem7  26186  advlogexp  26399  leibpi  26683  ftalem1  26813  ftalem2  26814  ftalem5  26817  vma1  26906  logexprlim  26964  bposlem6  27028  gausslemma2dlem6  27111  rplogsumlem2  27224  rpvmasumlem  27226  dchrisum0flblem1  27247  pntlem3  27348  ostth2lem1  27357  ostth2lem2  27373  ostth2lem3  27374  ostth3  27377  numclwwlk5  29908  nexple  33305  eulerpartlemgc  33659  signsply0  33860  knoppcnlem2  35673  knoppcnlem4  35675  knoppcnlem6  35677  knoppcnlem10  35681  knoppndvlem11  35701  knoppndvlem14  35704  knoppndvlem15  35705  knoppndvlem17  35707  knoppndvlem18  35708  knoppndvlem21  35711  geomcau  36930  bfplem1  36993  lcmineqlem21  41220  lcmineqlem22  41221  3lexlogpow5ineq4  41227  3lexlogpow5ineq3  41228  3lexlogpow2ineq2  41230  3lexlogpow5ineq5  41231  aks4d1lem1  41233  aks4d1p1p3  41240  aks4d1p1p2  41241  aks4d1p1p4  41242  aks4d1p1p6  41244  aks4d1p1p7  41245  aks4d1p1p5  41246  aks4d1p1  41247  aks4d1p2  41248  aks4d1p3  41249  aks4d1p5  41251  aks4d1p6  41252  aks4d1p7d1  41253  aks4d1p7  41254  aks4d1p8d2  41256  aks4d1p8  41258  2ap1caineq  41267  oexpreposd  41514  exp11nnd  41517  dffltz  41678  fltltc  41705  fltnltalem  41706  fltnlta  41707  negexpidd  41722  3cubeslem3r  41727  3cubeslem4  41729  jm2.17a  42001  jm2.17b  42002  jm2.17c  42003  jm3.1lem1  42058  jm3.1lem2  42059  xralrple4  44381  stoweidlem1  45015  stoweidlem3  45017  stoweidlem7  45021  stoweidlem12  45026  stoweidlem19  45033  stoweidlem24  45038  stoweidlem25  45039  stoweidlem40  45054  stoweidlem42  45056  stoweidlem45  45059  wallispilem1  45079  stirlinglem10  45097  stirlinglem11  45098  stirlingr  45104  etransclem23  45271  etransclem48  45296  sge0ad2en  45445  ovnsubaddlem1  45584  hoiqssbllem2  45637  lighneallem2  46572  fllog2  47341  nnolog2flm1  47363  dig2nn1st  47378  dignn0flhalflem2  47389  nn0sumshdiglemA  47392