MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reexpcld 13526
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
reexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld
StepHypRef Expression
1 reexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 reexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 reexpcl 13445 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 586 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  (class class class)co 7155  cr 10535  0cn0 11896  cexp 13428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-seq 13369  df-exp 13429
This theorem is referenced by:  expmordi  13530  faclbnd  13649  facubnd  13659  explecnv  15219  geomulcvg  15231  cvgrat  15238  efcllem  15430  eftlub  15461  bitsfzolem  15782  bitsfzo  15783  vfermltlALT  16138  pclem  16174  dvdsprmpweqle  16221  taylthlem2  24961  radcnvlem1  25000  abelthlem7  25025  advlogexp  25237  leibpi  25519  ftalem1  25649  ftalem2  25650  ftalem5  25653  vma1  25742  logexprlim  25800  bposlem6  25864  gausslemma2dlem6  25947  rplogsumlem2  26060  rpvmasumlem  26062  dchrisum0flblem1  26083  pntlem3  26184  ostth2lem1  26193  ostth2lem2  26209  ostth2lem3  26210  ostth3  26213  numclwwlk5  28166  nexple  31268  eulerpartlemgc  31620  signsply0  31821  knoppcnlem2  33833  knoppcnlem4  33835  knoppcnlem6  33837  knoppcnlem10  33841  knoppndvlem11  33861  knoppndvlem14  33864  knoppndvlem15  33865  knoppndvlem17  33867  knoppndvlem18  33868  knoppndvlem21  33871  geomcau  35033  bfplem1  35099  oexpreposd  39179  dffltz  39271  fltltc  39273  fltnltalem  39274  fltnlta  39275  negexpidd  39279  3cubeslem3r  39284  3cubeslem4  39286  jm2.17a  39557  jm2.17b  39558  jm2.17c  39559  jm3.1lem1  39614  jm3.1lem2  39615  xralrple4  41641  stoweidlem1  42287  stoweidlem3  42289  stoweidlem7  42293  stoweidlem12  42298  stoweidlem19  42305  stoweidlem24  42310  stoweidlem25  42311  stoweidlem40  42326  stoweidlem42  42328  stoweidlem45  42331  wallispilem1  42351  stirlinglem10  42369  stirlinglem11  42370  stirlingr  42376  etransclem23  42543  etransclem48  42568  sge0ad2en  42714  ovnsubaddlem1  42853  hoiqssbllem2  42906  lighneallem2  43772  fllog2  44629  nnolog2flm1  44651  dig2nn1st  44666  dignn0flhalflem2  44677  nn0sumshdiglemA  44680
  Copyright terms: Public domain W3C validator