Theorem reexpcld 14299

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14214	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  ℕ₀cn0 12599  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  expmordi  14303  exp11nnd  14398  faclbnd  14427  facubnd  14437  explecnv  16027  geomulcvg  16038  cvgrat  16045  efcllem  16236  eftlub  16270  bitsfzolem  16597  bitsfzo  16598  vfermltlALT  16973  pclem  17009  dvdsprmpweqle  17057  taylthlem2  26694  radcnvlem1  26733  abelthlem7  26758  advlogexp  26976  leibpi  27263  ftalem1  27393  ftalem2  27394  ftalem5  27397  vma1  27486  logexprlim  27545  bposlem6  27609  gausslemma2dlem6  27692  rplogsumlem2  27805  rpvmasumlem  27807  dchrisum0flblem1  27828  pntlem3  27929  ostth2lem1  27938  ostth2lem2  27954  ostth2lem3  27955  ostth3  27958  numclwwlk5  30982  expgt0b  33401  nexple  33417  2exple2exp  33418  oexpled  33420  fldext2chn  34353  eulerpartlemgc  34987  signsply0  35173  knoppcnlem2  37340  knoppcnlem4  37342  knoppcnlem6  37344  knoppcnlem10  37348  knoppndvlem11  37368  knoppndvlem14  37371  knoppndvlem15  37372  knoppndvlem17  37374  knoppndvlem18  37375  knoppndvlem21  37378  geomcau  38673  bfplem1  38736  lcmineqlem21  43079  lcmineqlem22  43080  3lexlogpow5ineq4  43086  3lexlogpow5ineq3  43087  3lexlogpow2ineq2  43089  3lexlogpow5ineq5  43090  aks4d1lem1  43092  aks4d1p1p3  43099  aks4d1p1p2  43100  aks4d1p1p4  43101  aks4d1p1p6  43103  aks4d1p1p7  43104  aks4d1p1p5  43105  aks4d1p1  43106  aks4d1p2  43107  aks4d1p3  43108  aks4d1p5  43110  aks4d1p6  43111  aks4d1p7d1  43112  aks4d1p7  43113  aks4d1p8d2  43115  aks4d1p8  43117  aks6d1c2lem4  43157  2ap1caineq  43175  aks6d1c7lem1  43210  oexpreposd  43359  dffltz  43650  fltltc  43652  fltnltalem  43653  fltnlta  43654  negexpidd  43672  3cubeslem3r  43677  3cubeslem4  43679  jm2.17a  43946  jm2.17b  43947  jm2.17c  43948  jm3.1lem1  44003  jm3.1lem2  44004  xralrple4  46353  stoweidlem1  46980  stoweidlem3  46982  stoweidlem7  46986  stoweidlem12  46991  stoweidlem19  46998  stoweidlem24  47003  stoweidlem25  47004  stoweidlem40  47019  stoweidlem42  47021  stoweidlem45  47024  wallispilem1  47044  stirlinglem10  47062  stirlinglem11  47063  stirlingr  47069  etransclem23  47236  etransclem48  47261  sge0ad2en  47410  ovnsubaddlem1  47549  hoiqssbllem2  47602  lighneallem2  48660  fllog2  49649  nnolog2flm1  49671  dig2nn1st  49686  dignn0flhalflem2  49697  nn0sumshdiglemA  49700