Theorem reexpcld 14201

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  ℕ₀cn0 12505  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  expmordi  14205  exp11nnd  14299  faclbnd  14328  facubnd  14338  explecnv  15921  geomulcvg  15932  cvgrat  15939  efcllem  16132  eftlub  16166  bitsfzolem  16493  bitsfzo  16494  vfermltlALT  16863  pclem  16899  dvdsprmpweqle  16947  taylthlem2  26518  radcnvlem1  26557  abelthlem7  26582  advlogexp  26801  leibpi  27088  ftalem1  27218  ftalem2  27219  ftalem5  27222  vma1  27311  logexprlim  27370  bposlem6  27434  gausslemma2dlem6  27517  rplogsumlem2  27630  rpvmasumlem  27632  dchrisum0flblem1  27653  pntlem3  27754  ostth2lem1  27763  ostth2lem2  27779  ostth2lem3  27780  ostth3  27783  numclwwlk5  30720  expgt0b  33142  nexple  33158  2exple2exp  33159  oexpled  33161  fldext2chn  34099  eulerpartlemgc  34733  signsply0  34919  knoppcnlem2  37064  knoppcnlem4  37066  knoppcnlem6  37068  knoppcnlem10  37072  knoppndvlem11  37092  knoppndvlem14  37095  knoppndvlem15  37096  knoppndvlem17  37098  knoppndvlem18  37099  knoppndvlem21  37102  geomcau  38391  bfplem1  38454  lcmineqlem21  42797  lcmineqlem22  42798  3lexlogpow5ineq4  42804  3lexlogpow5ineq3  42805  3lexlogpow2ineq2  42807  3lexlogpow5ineq5  42808  aks4d1lem1  42810  aks4d1p1p3  42817  aks4d1p1p2  42818  aks4d1p1p4  42819  aks4d1p1p6  42821  aks4d1p1p7  42822  aks4d1p1p5  42823  aks4d1p1  42824  aks4d1p2  42825  aks4d1p3  42826  aks4d1p5  42828  aks4d1p6  42829  aks4d1p7d1  42830  aks4d1p7  42831  aks4d1p8d2  42833  aks4d1p8  42835  aks6d1c2lem4  42875  2ap1caineq  42893  aks6d1c7lem1  42928  oexpreposd  43064  dffltz  43349  fltltc  43376  fltnltalem  43377  fltnlta  43378  negexpidd  43396  3cubeslem3r  43401  3cubeslem4  43403  jm2.17a  43670  jm2.17b  43671  jm2.17c  43672  jm3.1lem1  43727  jm3.1lem2  43728  xralrple4  46071  stoweidlem1  46698  stoweidlem3  46700  stoweidlem7  46704  stoweidlem12  46709  stoweidlem19  46716  stoweidlem24  46721  stoweidlem25  46722  stoweidlem40  46737  stoweidlem42  46739  stoweidlem45  46742  wallispilem1  46762  stirlinglem10  46780  stirlinglem11  46781  stirlingr  46787  etransclem23  46954  etransclem48  46979  sge0ad2en  47128  ovnsubaddlem1  47267  hoiqssbllem2  47320  lighneallem2  48341  fllog2  49331  nnolog2flm1  49353  dig2nn1st  49368  dignn0flhalflem2  49379  nn0sumshdiglemA  49382