Theorem reexpcld 14346

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  expmordi  14350  exp11nnd  14446  faclbnd  14475  facubnd  14485  explecnv  16078  geomulcvg  16089  cvgrat  16096  efcllem  16287  eftlub  16321  bitsfzolem  16648  bitsfzo  16649  vfermltlALT  17024  pclem  17060  dvdsprmpweqle  17108  taylthlem2  26758  radcnvlem1  26797  abelthlem7  26822  advlogexp  27040  leibpi  27327  ftalem1  27457  ftalem2  27458  ftalem5  27461  vma1  27550  logexprlim  27609  bposlem6  27673  gausslemma2dlem6  27756  rplogsumlem2  27869  rpvmasumlem  27871  dchrisum0flblem1  27892  pntlem3  27993  ostth2lem1  28002  ostth2lem2  28018  ostth2lem3  28019  ostth3  28022  numclwwlk5  31046  expgt0b  33504  nexple  33520  2exple2exp  33521  oexpled  33523  fldext2chn  34471  eulerpartlemgc  35105  signsply0  35291  knoppcnlem2  37575  knoppcnlem4  37577  knoppcnlem6  37579  knoppcnlem10  37583  knoppndvlem11  37603  knoppndvlem14  37606  knoppndvlem15  37607  knoppndvlem17  37609  knoppndvlem18  37610  knoppndvlem21  37613  geomcau  38959  bfplem1  39022  lcmineqlem21  43365  lcmineqlem22  43366  3lexlogpow5ineq4  43372  3lexlogpow5ineq3  43373  3lexlogpow2ineq2  43375  3lexlogpow5ineq5  43376  aks4d1lem1  43378  aks4d1p1p3  43385  aks4d1p1p2  43386  aks4d1p1p4  43387  aks4d1p1p6  43389  aks4d1p1p7  43390  aks4d1p1p5  43391  aks4d1p1  43392  aks4d1p2  43393  aks4d1p3  43394  aks4d1p5  43396  aks4d1p6  43397  aks4d1p7d1  43398  aks4d1p7  43399  aks4d1p8d2  43401  aks4d1p8  43403  aks6d1c2lem4  43443  2ap1caineq  43461  aks6d1c7lem1  43496  oexpreposd  43645  dffltz  43936  fltltc  43938  fltnltalem  43939  fltnlta  43940  negexpidd  43958  3cubeslem3r  43963  3cubeslem4  43965  jm2.17a  44233  jm2.17b  44234  jm2.17c  44235  jm3.1lem1  44290  jm3.1lem2  44291  xralrple4  46657  stoweidlem1  47284  stoweidlem3  47286  stoweidlem7  47290  stoweidlem12  47295  stoweidlem19  47302  stoweidlem24  47307  stoweidlem25  47308  stoweidlem40  47323  stoweidlem42  47325  stoweidlem45  47328  wallispilem1  47348  stirlinglem10  47366  stirlinglem11  47367  stirlingr  47373  etransclem23  47540  etransclem48  47565  sge0ad2en  47714  ovnsubaddlem1  47853  hoiqssbllem2  47906  lighneallem2  48964  fllog2  50011  nnolog2flm1  50033  dig2nn1st  50048  dignn0flhalflem2  50059  nn0sumshdiglemA  50062