Theorem reexpcld 14310

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14225	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  ℕ₀cn0 12610  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  expmordi  14314  exp11nnd  14409  faclbnd  14438  facubnd  14448  explecnv  16040  geomulcvg  16051  cvgrat  16058  efcllem  16249  eftlub  16283  bitsfzolem  16610  bitsfzo  16611  vfermltlALT  16986  pclem  17022  dvdsprmpweqle  17070  taylthlem2  26707  radcnvlem1  26746  abelthlem7  26771  advlogexp  26989  leibpi  27276  ftalem1  27406  ftalem2  27407  ftalem5  27410  vma1  27499  logexprlim  27558  bposlem6  27622  gausslemma2dlem6  27705  rplogsumlem2  27818  rpvmasumlem  27820  dchrisum0flblem1  27841  pntlem3  27942  ostth2lem1  27951  ostth2lem2  27967  ostth2lem3  27968  ostth3  27971  numclwwlk5  30995  expgt0b  33455  nexple  33471  2exple2exp  33472  oexpled  33474  fldext2chn  34407  eulerpartlemgc  35041  signsply0  35227  knoppcnlem2  37453  knoppcnlem4  37455  knoppcnlem6  37457  knoppcnlem10  37461  knoppndvlem11  37481  knoppndvlem14  37484  knoppndvlem15  37485  knoppndvlem17  37487  knoppndvlem18  37488  knoppndvlem21  37491  geomcau  38787  bfplem1  38850  lcmineqlem21  43193  lcmineqlem22  43194  3lexlogpow5ineq4  43200  3lexlogpow5ineq3  43201  3lexlogpow2ineq2  43203  3lexlogpow5ineq5  43204  aks4d1lem1  43206  aks4d1p1p3  43213  aks4d1p1p2  43214  aks4d1p1p4  43215  aks4d1p1p6  43217  aks4d1p1p7  43218  aks4d1p1p5  43219  aks4d1p1  43220  aks4d1p2  43221  aks4d1p3  43222  aks4d1p5  43224  aks4d1p6  43225  aks4d1p7d1  43226  aks4d1p7  43227  aks4d1p8d2  43229  aks4d1p8  43231  aks6d1c2lem4  43271  2ap1caineq  43289  aks6d1c7lem1  43324  oexpreposd  43473  dffltz  43764  fltltc  43766  fltnltalem  43767  fltnlta  43768  negexpidd  43786  3cubeslem3r  43791  3cubeslem4  43793  jm2.17a  44061  jm2.17b  44062  jm2.17c  44063  jm3.1lem1  44118  jm3.1lem2  44119  xralrple4  46478  stoweidlem1  47105  stoweidlem3  47107  stoweidlem7  47111  stoweidlem12  47116  stoweidlem19  47123  stoweidlem24  47128  stoweidlem25  47129  stoweidlem40  47144  stoweidlem42  47146  stoweidlem45  47149  wallispilem1  47169  stirlinglem10  47187  stirlinglem11  47188  stirlingr  47194  etransclem23  47361  etransclem48  47386  sge0ad2en  47535  ovnsubaddlem1  47674  hoiqssbllem2  47727  lighneallem2  48785  fllog2  49774  nnolog2flm1  49796  dig2nn1st  49811  dignn0flhalflem2  49822  nn0sumshdiglemA  49825