Theorem reexpcld 14195

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  ℕ₀cn0 12500  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  expmordi  14199  exp11nnd  14293  faclbnd  14322  facubnd  14332  explecnv  15915  geomulcvg  15926  cvgrat  15933  efcllem  16127  eftlub  16161  bitsfzolem  16488  bitsfzo  16489  vfermltlALT  16858  pclem  16894  dvdsprmpweqle  16942  taylthlem2  26499  radcnvlem1  26538  abelthlem7  26563  advlogexp  26782  leibpi  27069  ftalem1  27199  ftalem2  27200  ftalem5  27203  vma1  27292  logexprlim  27351  bposlem6  27415  gausslemma2dlem6  27498  rplogsumlem2  27611  rpvmasumlem  27613  dchrisum0flblem1  27634  pntlem3  27735  ostth2lem1  27744  ostth2lem2  27760  ostth2lem3  27761  ostth3  27764  numclwwlk5  30676  expgt0b  33098  nexple  33114  2exple2exp  33115  oexpled  33117  fldext2chn  34059  eulerpartlemgc  34693  signsply0  34879  knoppcnlem2  36968  knoppcnlem4  36970  knoppcnlem6  36972  knoppcnlem10  36976  knoppndvlem11  36996  knoppndvlem14  36999  knoppndvlem15  37000  knoppndvlem17  37002  knoppndvlem18  37003  knoppndvlem21  37006  geomcau  38293  bfplem1  38356  lcmineqlem21  42701  lcmineqlem22  42702  3lexlogpow5ineq4  42708  3lexlogpow5ineq3  42709  3lexlogpow2ineq2  42711  3lexlogpow5ineq5  42712  aks4d1lem1  42714  aks4d1p1p3  42721  aks4d1p1p2  42722  aks4d1p1p4  42723  aks4d1p1p6  42725  aks4d1p1p7  42726  aks4d1p1p5  42727  aks4d1p1  42728  aks4d1p2  42729  aks4d1p3  42730  aks4d1p5  42732  aks4d1p6  42733  aks4d1p7d1  42734  aks4d1p7  42735  aks4d1p8d2  42737  aks4d1p8  42739  aks6d1c2lem4  42779  2ap1caineq  42797  aks6d1c7lem1  42832  oexpreposd  42966  dffltz  43251  fltltc  43278  fltnltalem  43279  fltnlta  43280  negexpidd  43298  3cubeslem3r  43303  3cubeslem4  43305  jm2.17a  43572  jm2.17b  43573  jm2.17c  43574  jm3.1lem1  43629  jm3.1lem2  43630  xralrple4  45973  stoweidlem1  46600  stoweidlem3  46602  stoweidlem7  46606  stoweidlem12  46611  stoweidlem19  46618  stoweidlem24  46623  stoweidlem25  46624  stoweidlem40  46639  stoweidlem42  46641  stoweidlem45  46644  wallispilem1  46664  stirlinglem10  46682  stirlinglem11  46683  stirlingr  46689  etransclem23  46856  etransclem48  46881  sge0ad2en  47030  ovnsubaddlem1  47169  hoiqssbllem2  47222  lighneallem2  48240  fllog2  49226  nnolog2flm1  49248  dig2nn1st  49263  dignn0flhalflem2  49274  nn0sumshdiglemA  49277