Theorem reexpcld 14200

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  expmordi  14204  exp11nnd  14297  faclbnd  14326  facubnd  14336  explecnv  15898  geomulcvg  15909  cvgrat  15916  efcllem  16110  eftlub  16142  bitsfzolem  16468  bitsfzo  16469  vfermltlALT  16836  pclem  16872  dvdsprmpweqle  16920  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  radcnvlem1  26471  abelthlem7  26497  advlogexp  26712  leibpi  27000  ftalem1  27131  ftalem2  27132  ftalem5  27135  vma1  27224  logexprlim  27284  bposlem6  27348  gausslemma2dlem6  27431  rplogsumlem2  27544  rpvmasumlem  27546  dchrisum0flblem1  27567  pntlem3  27668  ostth2lem1  27677  ostth2lem2  27693  ostth2lem3  27694  ostth3  27697  numclwwlk5  30417  expgt0b  32823  fldext2chn  33734  nexple  33990  eulerpartlemgc  34344  signsply0  34545  knoppcnlem2  36477  knoppcnlem4  36479  knoppcnlem6  36481  knoppcnlem10  36485  knoppndvlem11  36505  knoppndvlem14  36508  knoppndvlem15  36509  knoppndvlem17  36511  knoppndvlem18  36512  knoppndvlem21  36515  geomcau  37746  bfplem1  37809  lcmineqlem21  42031  lcmineqlem22  42032  3lexlogpow5ineq4  42038  3lexlogpow5ineq3  42039  3lexlogpow2ineq2  42041  3lexlogpow5ineq5  42042  aks4d1lem1  42044  aks4d1p1p3  42051  aks4d1p1p2  42052  aks4d1p1p4  42053  aks4d1p1p6  42055  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p1p5  42057  aks4d1p1  42058  aks4d1p2  42059  aks4d1p3  42060  aks4d1p5  42062  aks4d1p6  42063  aks4d1p7d1  42064  aks4d1p7  42065  aks4d1p8d2  42067  aks4d1p8  42069  aks6d1c2lem4  42109  2ap1caineq  42127  aks6d1c7lem1  42162  oexpreposd  42336  dffltz  42621  fltltc  42648  fltnltalem  42649  fltnlta  42650  negexpidd  42670  3cubeslem3r  42675  3cubeslem4  42677  jm2.17a  42949  jm2.17b  42950  jm2.17c  42951  jm3.1lem1  43006  jm3.1lem2  43007  xralrple4  45323  stoweidlem1  45957  stoweidlem3  45959  stoweidlem7  45963  stoweidlem12  45968  stoweidlem19  45975  stoweidlem24  45980  stoweidlem25  45981  stoweidlem40  45996  stoweidlem42  45998  stoweidlem45  46001  wallispilem1  46021  stirlinglem10  46039  stirlinglem11  46040  stirlingr  46046  etransclem23  46213  etransclem48  46238  sge0ad2en  46387  ovnsubaddlem1  46526  hoiqssbllem2  46579  lighneallem2  47531  fllog2  48418  nnolog2flm1  48440  dig2nn1st  48455  dignn0flhalflem2  48466  nn0sumshdiglemA  48469