Theorem reexpcld 14186

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14101	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  expmordi  14190  exp11nnd  14284  faclbnd  14313  facubnd  14323  explecnv  15886  geomulcvg  15897  cvgrat  15904  efcllem  16098  eftlub  16132  bitsfzolem  16458  bitsfzo  16459  vfermltlALT  16827  pclem  16863  dvdsprmpweqle  16911  taylthlem2  26339  taylthlem2OLD  26340  radcnvlem1  26379  abelthlem7  26405  advlogexp  26621  leibpi  26909  ftalem1  27040  ftalem2  27041  ftalem5  27044  vma1  27133  logexprlim  27193  bposlem6  27257  gausslemma2dlem6  27340  rplogsumlem2  27453  rpvmasumlem  27455  dchrisum0flblem1  27476  pntlem3  27577  ostth2lem1  27586  ostth2lem2  27602  ostth2lem3  27603  ostth3  27606  numclwwlk5  30374  expgt0b  32800  nexple  32828  2exple2exp  32829  oexpled  32831  fldext2chn  33767  eulerpartlemgc  34399  signsply0  34588  knoppcnlem2  36517  knoppcnlem4  36519  knoppcnlem6  36521  knoppcnlem10  36525  knoppndvlem11  36545  knoppndvlem14  36548  knoppndvlem15  36549  knoppndvlem17  36551  knoppndvlem18  36552  knoppndvlem21  36555  geomcau  37788  bfplem1  37851  lcmineqlem21  42067  lcmineqlem22  42068  3lexlogpow5ineq4  42074  3lexlogpow5ineq3  42075  3lexlogpow2ineq2  42077  3lexlogpow5ineq5  42078  aks4d1lem1  42080  aks4d1p1p3  42087  aks4d1p1p2  42088  aks4d1p1p4  42089  aks4d1p1p6  42091  aks4d1p1p7  42092  aks4d1p1p5  42093  aks4d1p1  42094  aks4d1p2  42095  aks4d1p3  42096  aks4d1p5  42098  aks4d1p6  42099  aks4d1p7d1  42100  aks4d1p7  42101  aks4d1p8d2  42103  aks4d1p8  42105  aks6d1c2lem4  42145  2ap1caineq  42163  aks6d1c7lem1  42198  oexpreposd  42338  dffltz  42624  fltltc  42651  fltnltalem  42652  fltnlta  42653  negexpidd  42672  3cubeslem3r  42677  3cubeslem4  42679  jm2.17a  42951  jm2.17b  42952  jm2.17c  42953  jm3.1lem1  43008  jm3.1lem2  43009  xralrple4  45367  stoweidlem1  45997  stoweidlem3  45999  stoweidlem7  46003  stoweidlem12  46008  stoweidlem19  46015  stoweidlem24  46020  stoweidlem25  46021  stoweidlem40  46036  stoweidlem42  46038  stoweidlem45  46041  wallispilem1  46061  stirlinglem10  46079  stirlinglem11  46080  stirlingr  46086  etransclem23  46253  etransclem48  46278  sge0ad2en  46427  ovnsubaddlem1  46566  hoiqssbllem2  46619  lighneallem2  47587  fllog2  48515  nnolog2flm1  48537  dig2nn1st  48552  dignn0flhalflem2  48563  nn0sumshdiglemA  48566