Theorem reexpcld 14065

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 13980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  ℕ₀cn0 12376  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  expmordi  14069  exp11nnd  14163  faclbnd  14192  facubnd  14202  explecnv  15767  geomulcvg  15778  cvgrat  15785  efcllem  15979  eftlub  16013  bitsfzolem  16340  bitsfzo  16341  vfermltlALT  16709  pclem  16745  dvdsprmpweqle  16793  taylthlem2  26304  taylthlem2OLD  26305  radcnvlem1  26344  abelthlem7  26370  advlogexp  26586  leibpi  26874  ftalem1  27005  ftalem2  27006  ftalem5  27009  vma1  27098  logexprlim  27158  bposlem6  27222  gausslemma2dlem6  27305  rplogsumlem2  27418  rpvmasumlem  27420  dchrisum0flblem1  27441  pntlem3  27542  ostth2lem1  27551  ostth2lem2  27567  ostth2lem3  27568  ostth3  27571  numclwwlk5  30360  expgt0b  32791  nexple  32819  2exple2exp  32820  oexpled  32822  fldext2chn  33733  eulerpartlemgc  34367  signsply0  34556  knoppcnlem2  36528  knoppcnlem4  36530  knoppcnlem6  36532  knoppcnlem10  36536  knoppndvlem11  36556  knoppndvlem14  36559  knoppndvlem15  36560  knoppndvlem17  36562  knoppndvlem18  36563  knoppndvlem21  36566  geomcau  37799  bfplem1  37862  lcmineqlem21  42082  lcmineqlem22  42083  3lexlogpow5ineq4  42089  3lexlogpow5ineq3  42090  3lexlogpow2ineq2  42092  3lexlogpow5ineq5  42093  aks4d1lem1  42095  aks4d1p1p3  42102  aks4d1p1p2  42103  aks4d1p1p4  42104  aks4d1p1p6  42106  aks4d1p1p7  42107  aks4d1p1p5  42108  aks4d1p1  42109  aks4d1p2  42110  aks4d1p3  42111  aks4d1p5  42113  aks4d1p6  42114  aks4d1p7d1  42115  aks4d1p7  42116  aks4d1p8d2  42118  aks4d1p8  42120  aks6d1c2lem4  42160  2ap1caineq  42178  aks6d1c7lem1  42213  oexpreposd  42355  dffltz  42667  fltltc  42694  fltnltalem  42695  fltnlta  42696  negexpidd  42715  3cubeslem3r  42720  3cubeslem4  42722  jm2.17a  42993  jm2.17b  42994  jm2.17c  42995  jm3.1lem1  43050  jm3.1lem2  43051  xralrple4  45411  stoweidlem1  46039  stoweidlem3  46041  stoweidlem7  46045  stoweidlem12  46050  stoweidlem19  46057  stoweidlem24  46062  stoweidlem25  46063  stoweidlem40  46078  stoweidlem42  46080  stoweidlem45  46083  wallispilem1  46103  stirlinglem10  46121  stirlinglem11  46122  stirlingr  46128  etransclem23  46295  etransclem48  46320  sge0ad2en  46469  ovnsubaddlem1  46608  hoiqssbllem2  46661  lighneallem2  47637  fllog2  48600  nnolog2flm1  48622  dig2nn1st  48637  dignn0flhalflem2  48648  nn0sumshdiglemA  48651