Theorem reexpcld 14204

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by:  expmordi  14208  exp11nnd  14301  faclbnd  14330  facubnd  14340  explecnv  15902  geomulcvg  15913  cvgrat  15920  efcllem  16114  eftlub  16146  bitsfzolem  16472  bitsfzo  16473  vfermltlALT  16841  pclem  16877  dvdsprmpweqle  16925  taylthlem2  26417  taylthlem2OLD  26418  radcnvlem1  26457  abelthlem7  26483  advlogexp  26698  leibpi  26986  ftalem1  27117  ftalem2  27118  ftalem5  27121  vma1  27210  logexprlim  27270  bposlem6  27334  gausslemma2dlem6  27417  rplogsumlem2  27530  rpvmasumlem  27532  dchrisum0flblem1  27553  pntlem3  27654  ostth2lem1  27663  ostth2lem2  27679  ostth2lem3  27680  ostth3  27683  numclwwlk5  30408  expgt0b  32819  nexple  32834  2exple2exp  32835  fldext2chn  33770  eulerpartlemgc  34365  signsply0  34567  knoppcnlem2  36496  knoppcnlem4  36498  knoppcnlem6  36500  knoppcnlem10  36504  knoppndvlem11  36524  knoppndvlem14  36527  knoppndvlem15  36528  knoppndvlem17  36530  knoppndvlem18  36531  knoppndvlem21  36534  geomcau  37767  bfplem1  37830  lcmineqlem21  42051  lcmineqlem22  42052  3lexlogpow5ineq4  42058  3lexlogpow5ineq3  42059  3lexlogpow2ineq2  42061  3lexlogpow5ineq5  42062  aks4d1lem1  42064  aks4d1p1p3  42071  aks4d1p1p2  42072  aks4d1p1p4  42073  aks4d1p1p6  42075  aks4d1p1p7  42076  aks4d1p1p5  42077  aks4d1p1  42078  aks4d1p2  42079  aks4d1p3  42080  aks4d1p5  42082  aks4d1p6  42083  aks4d1p7d1  42084  aks4d1p7  42085  aks4d1p8d2  42087  aks4d1p8  42089  aks6d1c2lem4  42129  2ap1caineq  42147  aks6d1c7lem1  42182  oexpreposd  42362  dffltz  42649  fltltc  42676  fltnltalem  42677  fltnlta  42678  negexpidd  42698  3cubeslem3r  42703  3cubeslem4  42705  jm2.17a  42977  jm2.17b  42978  jm2.17c  42979  jm3.1lem1  43034  jm3.1lem2  43035  xralrple4  45389  stoweidlem1  46021  stoweidlem3  46023  stoweidlem7  46027  stoweidlem12  46032  stoweidlem19  46039  stoweidlem24  46044  stoweidlem25  46045  stoweidlem40  46060  stoweidlem42  46062  stoweidlem45  46065  wallispilem1  46085  stirlinglem10  46103  stirlinglem11  46104  stirlingr  46110  etransclem23  46277  etransclem48  46302  sge0ad2en  46451  ovnsubaddlem1  46590  hoiqssbllem2  46643  lighneallem2  47598  fllog2  48494  nnolog2flm1  48516  dig2nn1st  48531  dignn0flhalflem2  48542  nn0sumshdiglemA  48545