Theorem reexpcld 14098

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  expmordi  14102  exp11nnd  14196  faclbnd  14225  facubnd  14235  explecnv  15800  geomulcvg  15811  cvgrat  15818  efcllem  16012  eftlub  16046  bitsfzolem  16373  bitsfzo  16374  vfermltlALT  16742  pclem  16778  dvdsprmpweqle  16826  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  radcnvlem1  26390  abelthlem7  26416  advlogexp  26632  leibpi  26920  ftalem1  27051  ftalem2  27052  ftalem5  27055  vma1  27144  logexprlim  27204  bposlem6  27268  gausslemma2dlem6  27351  rplogsumlem2  27464  rpvmasumlem  27466  dchrisum0flblem1  27487  pntlem3  27588  ostth2lem1  27597  ostth2lem2  27613  ostth2lem3  27614  ostth3  27617  numclwwlk5  30475  expgt0b  32907  nexple  32935  2exple2exp  32936  oexpled  32938  fldext2chn  33905  eulerpartlemgc  34539  signsply0  34728  knoppcnlem2  36713  knoppcnlem4  36715  knoppcnlem6  36717  knoppcnlem10  36721  knoppndvlem11  36741  knoppndvlem14  36744  knoppndvlem15  36745  knoppndvlem17  36747  knoppndvlem18  36748  knoppndvlem21  36751  geomcau  38007  bfplem1  38070  lcmineqlem21  42416  lcmineqlem22  42417  3lexlogpow5ineq4  42423  3lexlogpow5ineq3  42424  3lexlogpow2ineq2  42426  3lexlogpow5ineq5  42427  aks4d1lem1  42429  aks4d1p1p3  42436  aks4d1p1p2  42437  aks4d1p1p4  42438  aks4d1p1p6  42440  aks4d1p1p7  42441  aks4d1p1p5  42442  aks4d1p1  42443  aks4d1p2  42444  aks4d1p3  42445  aks4d1p5  42447  aks4d1p6  42448  aks4d1p7d1  42449  aks4d1p7  42450  aks4d1p8d2  42452  aks4d1p8  42454  aks6d1c2lem4  42494  2ap1caineq  42512  aks6d1c7lem1  42547  oexpreposd  42689  dffltz  42989  fltltc  43016  fltnltalem  43017  fltnlta  43018  negexpidd  43036  3cubeslem3r  43041  3cubeslem4  43043  jm2.17a  43314  jm2.17b  43315  jm2.17c  43316  jm3.1lem1  43371  jm3.1lem2  43372  xralrple4  45728  stoweidlem1  46356  stoweidlem3  46358  stoweidlem7  46362  stoweidlem12  46367  stoweidlem19  46374  stoweidlem24  46379  stoweidlem25  46380  stoweidlem40  46395  stoweidlem42  46397  stoweidlem45  46400  wallispilem1  46420  stirlinglem10  46438  stirlinglem11  46439  stirlingr  46445  etransclem23  46612  etransclem48  46637  sge0ad2en  46786  ovnsubaddlem1  46925  hoiqssbllem2  46978  lighneallem2  47963  fllog2  48925  nnolog2flm1  48947  dig2nn1st  48962  dignn0flhalflem2  48973  nn0sumshdiglemA  48976