Theorem reexpcld 14213

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  expmordi  14217  exp11nnd  14310  faclbnd  14339  facubnd  14349  explecnv  15913  geomulcvg  15924  cvgrat  15931  efcllem  16125  eftlub  16157  bitsfzolem  16480  bitsfzo  16481  vfermltlALT  16849  pclem  16885  dvdsprmpweqle  16933  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  radcnvlem1  26474  abelthlem7  26500  advlogexp  26715  leibpi  27003  ftalem1  27134  ftalem2  27135  ftalem5  27138  vma1  27227  logexprlim  27287  bposlem6  27351  gausslemma2dlem6  27434  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrisum0flblem1  27570  pntlem3  27671  ostth2lem1  27680  ostth2lem2  27696  ostth2lem3  27697  ostth3  27700  numclwwlk5  30420  expgt0b  32820  fldext2chn  33719  nexple  33973  eulerpartlemgc  34327  signsply0  34528  knoppcnlem2  36460  knoppcnlem4  36462  knoppcnlem6  36464  knoppcnlem10  36468  knoppndvlem11  36488  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem15  36492  knoppndvlem17  36494  knoppndvlem18  36495  knoppndvlem21  36498  geomcau  37719  bfplem1  37782  lcmineqlem21  42006  lcmineqlem22  42007  3lexlogpow5ineq4  42013  3lexlogpow5ineq3  42014  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1lem1  42019  aks4d1p1p3  42026  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  aks4d1p2  42034  aks4d1p3  42035  aks4d1p5  42037  aks4d1p6  42038  aks4d1p7d1  42039  aks4d1p7  42040  aks4d1p8d2  42042  aks4d1p8  42044  aks6d1c2lem4  42084  2ap1caineq  42102  aks6d1c7lem1  42137  oexpreposd  42309  dffltz  42589  fltltc  42616  fltnltalem  42617  fltnlta  42618  negexpidd  42638  3cubeslem3r  42643  3cubeslem4  42645  jm2.17a  42917  jm2.17b  42918  jm2.17c  42919  jm3.1lem1  42974  jm3.1lem2  42975  xralrple4  45288  stoweidlem1  45922  stoweidlem3  45924  stoweidlem7  45928  stoweidlem12  45933  stoweidlem19  45940  stoweidlem24  45945  stoweidlem25  45946  stoweidlem40  45961  stoweidlem42  45963  stoweidlem45  45966  wallispilem1  45986  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlingr  46011  etransclem23  46178  etransclem48  46203  sge0ad2en  46352  ovnsubaddlem1  46491  hoiqssbllem2  46544  lighneallem2  47480  fllog2  48302  nnolog2flm1  48324  dig2nn1st  48339  dignn0flhalflem2  48350  nn0sumshdiglemA  48353