Theorem reexpcld 13523

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 13442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  expmordi  13527  faclbnd  13646  facubnd  13656  explecnv  15212  geomulcvg  15224  cvgrat  15231  efcllem  15423  eftlub  15454  bitsfzolem  15773  bitsfzo  15774  vfermltlALT  16129  pclem  16165  dvdsprmpweqle  16212  taylthlem2  24969  radcnvlem1  25008  abelthlem7  25033  advlogexp  25246  leibpi  25528  ftalem1  25658  ftalem2  25659  ftalem5  25662  vma1  25751  logexprlim  25809  bposlem6  25873  gausslemma2dlem6  25956  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrisum0flblem1  26092  pntlem3  26193  ostth2lem1  26202  ostth2lem2  26218  ostth2lem3  26219  ostth3  26222  numclwwlk5  28173  nexple  31378  eulerpartlemgc  31730  signsply0  31931  knoppcnlem2  33946  knoppcnlem4  33948  knoppcnlem6  33950  knoppcnlem10  33954  knoppndvlem11  33974  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem15  33978  knoppndvlem17  33980  knoppndvlem18  33981  knoppndvlem21  33984  geomcau  35197  bfplem1  35260  lcmineqlem21  39337  lcmineqlem22  39338  3lexlogpow5ineq2  39342  3lexlogpow5ineq3  39343  2ap1caineq  39349  oexpreposd  39487  dffltz  39615  fltltc  39617  fltnltalem  39618  fltnlta  39619  negexpidd  39623  3cubeslem3r  39628  3cubeslem4  39630  jm2.17a  39901  jm2.17b  39902  jm2.17c  39903  jm3.1lem1  39958  jm3.1lem2  39959  xralrple4  42005  stoweidlem1  42643  stoweidlem3  42645  stoweidlem7  42649  stoweidlem12  42654  stoweidlem19  42661  stoweidlem24  42666  stoweidlem25  42667  stoweidlem40  42682  stoweidlem42  42684  stoweidlem45  42687  wallispilem1  42707  stirlinglem10  42725  stirlinglem11  42726  stirlingr  42732  etransclem23  42899  etransclem48  42924  sge0ad2en  43070  ovnsubaddlem1  43209  hoiqssbllem2  43262  lighneallem2  44124  fllog2  44982  nnolog2flm1  45004  dig2nn1st  45019  dignn0flhalflem2  45030  nn0sumshdiglemA  45033