Theorem reexpcld 14088

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14003	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  expmordi  14092  exp11nnd  14186  faclbnd  14215  facubnd  14225  explecnv  15790  geomulcvg  15801  cvgrat  15808  efcllem  16002  eftlub  16036  bitsfzolem  16363  bitsfzo  16364  vfermltlALT  16732  pclem  16768  dvdsprmpweqle  16816  taylthlem2  26298  taylthlem2OLD  26299  radcnvlem1  26338  abelthlem7  26364  advlogexp  26580  leibpi  26868  ftalem1  26999  ftalem2  27000  ftalem5  27003  vma1  27092  logexprlim  27152  bposlem6  27216  gausslemma2dlem6  27299  rplogsumlem2  27412  rpvmasumlem  27414  dchrisum0flblem1  27435  pntlem3  27536  ostth2lem1  27545  ostth2lem2  27561  ostth2lem3  27562  ostth3  27565  numclwwlk5  30350  expgt0b  32774  nexple  32802  2exple2exp  32803  oexpled  32805  fldext2chn  33697  eulerpartlemgc  34332  signsply0  34521  knoppcnlem2  36470  knoppcnlem4  36472  knoppcnlem6  36474  knoppcnlem10  36478  knoppndvlem11  36498  knoppndvlem14  36501  knoppndvlem15  36502  knoppndvlem17  36504  knoppndvlem18  36505  knoppndvlem21  36508  geomcau  37741  bfplem1  37804  lcmineqlem21  42025  lcmineqlem22  42026  3lexlogpow5ineq4  42032  3lexlogpow5ineq3  42033  3lexlogpow2ineq2  42035  3lexlogpow5ineq5  42036  aks4d1lem1  42038  aks4d1p1p3  42045  aks4d1p1p2  42046  aks4d1p1p4  42047  aks4d1p1p6  42049  aks4d1p1p7  42050  aks4d1p1p5  42051  aks4d1p1  42052  aks4d1p2  42053  aks4d1p3  42054  aks4d1p5  42056  aks4d1p6  42057  aks4d1p7d1  42058  aks4d1p7  42059  aks4d1p8d2  42061  aks4d1p8  42063  aks6d1c2lem4  42103  2ap1caineq  42121  aks6d1c7lem1  42156  oexpreposd  42298  dffltz  42610  fltltc  42637  fltnltalem  42638  fltnlta  42639  negexpidd  42658  3cubeslem3r  42663  3cubeslem4  42665  jm2.17a  42936  jm2.17b  42937  jm2.17c  42938  jm3.1lem1  42993  jm3.1lem2  42994  xralrple4  45356  stoweidlem1  45986  stoweidlem3  45988  stoweidlem7  45992  stoweidlem12  45997  stoweidlem19  46004  stoweidlem24  46009  stoweidlem25  46010  stoweidlem40  46025  stoweidlem42  46027  stoweidlem45  46030  wallispilem1  46050  stirlinglem10  46068  stirlinglem11  46069  stirlingr  46075  etransclem23  46242  etransclem48  46267  sge0ad2en  46416  ovnsubaddlem1  46555  hoiqssbllem2  46608  lighneallem2  47594  fllog2  48557  nnolog2flm1  48579  dig2nn1st  48594  dignn0flhalflem2  48605  nn0sumshdiglemA  48608