Theorem reexpcld 14087

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-seq 13926  df-exp 13986

This theorem is referenced by:  expmordi  14091  exp11nnd  14185  faclbnd  14214  facubnd  14224  explecnv  15789  geomulcvg  15800  cvgrat  15807  efcllem  16001  eftlub  16035  bitsfzolem  16362  bitsfzo  16363  vfermltlALT  16731  pclem  16767  dvdsprmpweqle  16815  taylthlem2  26322  taylthlem2OLD  26323  radcnvlem1  26362  abelthlem7  26388  advlogexp  26604  leibpi  26892  ftalem1  27023  ftalem2  27024  ftalem5  27027  vma1  27116  logexprlim  27176  bposlem6  27240  gausslemma2dlem6  27323  rplogsumlem2  27436  rpvmasumlem  27438  dchrisum0flblem1  27459  pntlem3  27560  ostth2lem1  27569  ostth2lem2  27585  ostth2lem3  27586  ostth3  27589  numclwwlk5  30447  expgt0b  32880  nexple  32908  2exple2exp  32909  oexpled  32911  fldext2chn  33878  eulerpartlemgc  34512  signsply0  34701  knoppcnlem2  36752  knoppcnlem4  36754  knoppcnlem6  36756  knoppcnlem10  36760  knoppndvlem11  36780  knoppndvlem14  36783  knoppndvlem15  36784  knoppndvlem17  36786  knoppndvlem18  36787  knoppndvlem21  36790  geomcau  38071  bfplem1  38134  lcmineqlem21  42480  lcmineqlem22  42481  3lexlogpow5ineq4  42487  3lexlogpow5ineq3  42488  3lexlogpow2ineq2  42490  3lexlogpow5ineq5  42491  aks4d1lem1  42493  aks4d1p1p3  42500  aks4d1p1p2  42501  aks4d1p1p4  42502  aks4d1p1p6  42504  aks4d1p1p7  42505  aks4d1p1p5  42506  aks4d1p1  42507  aks4d1p2  42508  aks4d1p3  42509  aks4d1p5  42511  aks4d1p6  42512  aks4d1p7d1  42513  aks4d1p7  42514  aks4d1p8d2  42516  aks4d1p8  42518  aks6d1c2lem4  42558  2ap1caineq  42576  aks6d1c7lem1  42611  oexpreposd  42753  dffltz  43066  fltltc  43093  fltnltalem  43094  fltnlta  43095  negexpidd  43113  3cubeslem3r  43118  3cubeslem4  43120  jm2.17a  43391  jm2.17b  43392  jm2.17c  43393  jm3.1lem1  43448  jm3.1lem2  43449  xralrple4  45805  stoweidlem1  46433  stoweidlem3  46435  stoweidlem7  46439  stoweidlem12  46444  stoweidlem19  46451  stoweidlem24  46456  stoweidlem25  46457  stoweidlem40  46472  stoweidlem42  46474  stoweidlem45  46477  wallispilem1  46497  stirlinglem10  46515  stirlinglem11  46516  stirlingr  46522  etransclem23  46689  etransclem48  46714  sge0ad2en  46863  ovnsubaddlem1  47002  hoiqssbllem2  47055  lighneallem2  48040  fllog2  49002  nnolog2flm1  49024  dig2nn1st  49039  dignn0flhalflem2  49050  nn0sumshdiglemA  49053