Theorem reexpcld 14212

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  ℕ₀cn0 12515  ↑cexp 14110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-seq 14051  df-exp 14111

This theorem is used by:  expmordi  14216  exp11nnd  14310  faclbnd  14339  facubnd  14349  explecnv  15937  geomulcvg  15948  cvgrat  15955  efcllem  16148  eftlub  16182  bitsfzolem  16509  bitsfzo  16510  vfermltlALT  16879  pclem  16915  dvdsprmpweqle  16963  taylthlem2  26566  radcnvlem1  26605  abelthlem7  26630  advlogexp  26849  leibpi  27136  ftalem1  27266  ftalem2  27267  ftalem5  27270  vma1  27359  logexprlim  27418  bposlem6  27482  gausslemma2dlem6  27565  rplogsumlem2  27678  rpvmasumlem  27680  dchrisum0flblem1  27701  pntlem3  27802  ostth2lem1  27811  ostth2lem2  27827  ostth2lem3  27828  ostth3  27831  numclwwlk5  30768  expgt0b  33190  nexple  33206  2exple2exp  33207  oexpled  33209  fldext2chn  34141  eulerpartlemgc  34776  signsply0  34962  knoppcnlem2  37116  knoppcnlem4  37118  knoppcnlem6  37120  knoppcnlem10  37124  knoppndvlem11  37144  knoppndvlem14  37147  knoppndvlem15  37148  knoppndvlem17  37150  knoppndvlem18  37151  knoppndvlem21  37154  geomcau  38443  bfplem1  38506  lcmineqlem21  42849  lcmineqlem22  42850  3lexlogpow5ineq4  42856  3lexlogpow5ineq3  42857  3lexlogpow2ineq2  42859  3lexlogpow5ineq5  42860  aks4d1lem1  42862  aks4d1p1p3  42869  aks4d1p1p2  42870  aks4d1p1p4  42871  aks4d1p1p6  42873  aks4d1p1p7  42874  aks4d1p1p5  42875  aks4d1p1  42876  aks4d1p2  42877  aks4d1p3  42878  aks4d1p5  42880  aks4d1p6  42881  aks4d1p7d1  42882  aks4d1p7  42883  aks4d1p8d2  42885  aks4d1p8  42887  aks6d1c2lem4  42927  2ap1caineq  42945  aks6d1c7lem1  42980  oexpreposd  43116  dffltz  43399  fltltc  43426  fltnltalem  43427  fltnlta  43428  negexpidd  43446  3cubeslem3r  43451  3cubeslem4  43453  jm2.17a  43720  jm2.17b  43721  jm2.17c  43722  jm3.1lem1  43777  jm3.1lem2  43778  xralrple4  46121  stoweidlem1  46748  stoweidlem3  46750  stoweidlem7  46754  stoweidlem12  46759  stoweidlem19  46766  stoweidlem24  46771  stoweidlem25  46772  stoweidlem40  46787  stoweidlem42  46789  stoweidlem45  46792  wallispilem1  46812  stirlinglem10  46830  stirlinglem11  46831  stirlingr  46837  etransclem23  47004  etransclem48  47029  sge0ad2en  47178  ovnsubaddlem1  47317  hoiqssbllem2  47370  lighneallem2  48391  fllog2  49381  nnolog2flm1  49403  dig2nn1st  49418  dignn0flhalflem2  49429  nn0sumshdiglemA  49432