Theorem reexpcld 14306

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  ℕ₀cn0 12606  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  expmordi  14310  exp11nnd  14405  faclbnd  14434  facubnd  14444  explecnv  16034  geomulcvg  16045  cvgrat  16052  efcllem  16243  eftlub  16277  bitsfzolem  16604  bitsfzo  16605  vfermltlALT  16980  pclem  17016  dvdsprmpweqle  17064  taylthlem2  26701  radcnvlem1  26740  abelthlem7  26765  advlogexp  26983  leibpi  27270  ftalem1  27400  ftalem2  27401  ftalem5  27404  vma1  27493  logexprlim  27552  bposlem6  27616  gausslemma2dlem6  27699  rplogsumlem2  27812  rpvmasumlem  27814  dchrisum0flblem1  27835  pntlem3  27936  ostth2lem1  27945  ostth2lem2  27961  ostth2lem3  27962  ostth3  27965  numclwwlk5  30989  expgt0b  33408  nexple  33424  2exple2exp  33425  oexpled  33427  fldext2chn  34360  eulerpartlemgc  34994  signsply0  35180  knoppcnlem2  37360  knoppcnlem4  37362  knoppcnlem6  37364  knoppcnlem10  37368  knoppndvlem11  37388  knoppndvlem14  37391  knoppndvlem15  37392  knoppndvlem17  37394  knoppndvlem18  37395  knoppndvlem21  37398  geomcau  38694  bfplem1  38757  lcmineqlem21  43100  lcmineqlem22  43101  3lexlogpow5ineq4  43107  3lexlogpow5ineq3  43108  3lexlogpow2ineq2  43110  3lexlogpow5ineq5  43111  aks4d1lem1  43113  aks4d1p1p3  43120  aks4d1p1p2  43121  aks4d1p1p4  43122  aks4d1p1p6  43124  aks4d1p1p7  43125  aks4d1p1p5  43126  aks4d1p1  43127  aks4d1p2  43128  aks4d1p3  43129  aks4d1p5  43131  aks4d1p6  43132  aks4d1p7d1  43133  aks4d1p7  43134  aks4d1p8d2  43136  aks4d1p8  43138  aks6d1c2lem4  43178  2ap1caineq  43196  aks6d1c7lem1  43231  oexpreposd  43380  dffltz  43671  fltltc  43673  fltnltalem  43674  fltnlta  43675  negexpidd  43693  3cubeslem3r  43698  3cubeslem4  43700  jm2.17a  43967  jm2.17b  43968  jm2.17c  43969  jm3.1lem1  44024  jm3.1lem2  44025  xralrple4  46384  stoweidlem1  47011  stoweidlem3  47013  stoweidlem7  47017  stoweidlem12  47022  stoweidlem19  47029  stoweidlem24  47034  stoweidlem25  47035  stoweidlem40  47050  stoweidlem42  47052  stoweidlem45  47055  wallispilem1  47075  stirlinglem10  47093  stirlinglem11  47094  stirlingr  47100  etransclem23  47267  etransclem48  47292  sge0ad2en  47441  ovnsubaddlem1  47580  hoiqssbllem2  47633  lighneallem2  48691  fllog2  49680  nnolog2flm1  49702  dig2nn1st  49717  dignn0flhalflem2  49728  nn0sumshdiglemA  49731