Theorem dvdsexpnn 40917

Description: dvdssqlem 16468 generalized to positive integer exponents. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12544	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12544	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3		nnnn0 12444	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		dvdsexpim 40905	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
6		gcdnncl 16413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 12979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
8	7	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
10		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
11	10	nnrpd 12979	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		expgcd 40911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
14	3, 13	syl3an3 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
16		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
17	3	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	16, 17	nnexpcld 14173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
19		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
20	19, 17	nnexpcld 14173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
21		gcdeq 16460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
23	22	biimpar 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
24	15, 23	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
25	9, 11, 12, 24	exp11nnd 40901	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴)
26		gcddvds 16409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
27	26	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
28	1, 2, 27	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
29	28	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
30	29	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
31	25, 30	eqbrtrrd 5149	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
32	31	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) → 𝐴 ∥ 𝐵))
33	5, 32	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  ℕcn 12177  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12523  ℝ⁺crp 12939  ↑cexp 13992   ∥ cdvds 16162   gcd cgcd 16400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fl 13722  df-mod 13800  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-dvds 16163  df-gcd 16401

This theorem is referenced by:  dvdsexpnn0  40918  fltdvdsabdvdsc  41067  fltaccoprm  41069