Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdsexpnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsexpnn 40363
Description: dvdssqlem 16299 generalized to positive integer exponents. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexpnn ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpnn
StepHypRef Expression
1 nnz 12370 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2 nnz 12370 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3 nnnn0 12268 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 dvdsexpim 40351 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
51, 2, 3, 4syl3an 1158 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
6 gcdnncl 16242 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
76nnrpd 12798 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
873adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
98adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
10 simpl1 1189 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
1110nnrpd 12798 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12 simpl3 1191 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 expgcd 40357 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)))
143, 13syl3an3 1163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)))
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)))
16 simp1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
1733ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1816, 17nnexpcld 13988 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
19 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
2019, 17nnexpcld 13988 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵𝑁) ∈ ℕ)
21 gcdeq 16291 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑁) ↔ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
2218, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑁) ↔ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
2322biimpar 477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑁))
2415, 23eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = (𝐴𝑁))
259, 11, 12, 24exp11nnd 40347 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴)
26 gcddvds 16238 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2726simprd 495 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
281, 2, 27syl2an 595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
29283adant3 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
3029adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
3125, 30eqbrtrrd 5101 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)) → 𝐴𝐵)
3231ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁) → 𝐴𝐵))
335, 32impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  cn 12001  0cn0 12261  cz 12347  +crp 12758  cexp 13810  cdvds 15991   gcd cgcd 16229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fl 13540  df-mod 13618  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-dvds 15992  df-gcd 16230
This theorem is referenced by:  dvdsexpnn0  40364  fltdvdsabdvdsc  40498  fltaccoprm  40500
  Copyright terms: Public domain W3C validator