Theorem dvdsexpnn 40363

Description: dvdssqlem 16299 generalized to positive integer exponents. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12370	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3		nnnn0 12268	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		dvdsexpim 40351	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
6		gcdnncl 16242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 12798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
8	7	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
10		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
11	10	nnrpd 12798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12		simpl3 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		expgcd 40357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
14	3, 13	syl3an3 1163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
16		simp1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
17	3	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	16, 17	nnexpcld 13988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
19		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
20	19, 17	nnexpcld 13988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
21		gcdeq 16291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
22	18, 20, 21	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
23	22	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
24	15, 23	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
25	9, 11, 12, 24	exp11nnd 40347	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴)
26		gcddvds 16238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
27	26	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
28	1, 2, 27	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
29	28	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
31	25, 30	eqbrtrrd 5101	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
32	31	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) → 𝐴 ∥ 𝐵))
33	5, 32	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  ℕcn 12001  ℕ₀cn0 12261  ℤcz 12347  ℝ⁺crp 12758  ↑cexp 13810   ∥ cdvds 15991   gcd cgcd 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fl 13540  df-mod 13618  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-dvds 15992  df-gcd 16230

This theorem is referenced by:  dvdsexpnn0  40364  fltdvdsabdvdsc  40498  fltaccoprm  40500