MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpm2mf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpm2mf 21048
Description: The inverse matrix transformation is a function from the constant polynomial matrices to the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpm2mf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpm2mf.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
cpm2mf.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpm2mf.i 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cpm2mf ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆𝐾)

Proof of Theorem cpm2mf
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpm2mf.i . . 3 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
2 cpm2mf.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
31, 2cpm2mfval 21045 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 = (𝑚𝑆 ↦ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))))
4 cpm2mf.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2797 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 cpm2mf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐴)
7 simpll 763 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8 simplr 765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2797 . . . . 5 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
10 eqid 2797 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
11 eqid 2797 . . . . 5 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
12 simp2 1130 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑥𝑁)
13 simp3 1131 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
14 eqid 2797 . . . . . . . 8 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
152, 14, 9, 11cpmatpmat 21006 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
16153expa 1111 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
17163ad2ant1 1126 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
189, 10, 11, 12, 13, 17matecld 20723 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
19 0nn0 11766 . . . 4 0 ∈ ℕ0
20 eqid 2797 . . . . 5 (coe1‘(𝑥𝑚𝑦)) = (coe1‘(𝑥𝑚𝑦))
2120, 10, 14, 5coe1fvalcl 20067 . . . 4 (((𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
2218, 19, 21sylancl 586 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
234, 5, 6, 7, 8, 22matbas2d 20720 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0)) ∈ 𝐾)
243, 23fmpt3d 6750 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  cmpo 7025  Fincfn 8364  0cc0 10390  0cn0 11751  Basecbs 16316  Ringcrg 18991  Poly1cpl1 20032  coe1cco1 20033   Mat cmat 20704   ConstPolyMat ccpmat 20999   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-ot 4487  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-hom 16422  df-cco 16423  df-0g 16548  df-prds 16554  df-pws 16556  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-psr 19828  df-opsr 19832  df-psr1 20035  df-ply1 20037  df-coe1 20038  df-dsmm 20562  df-frlm 20577  df-mat 20705  df-cpmat 21002  df-cpmat2mat 21004
This theorem is referenced by:  m2cpminv  21056  cpmadumatpolylem1  21177  cpmadumatpolylem2  21178  chcoeffeqlem  21181  cayhamlem4  21184
  Copyright terms: Public domain W3C validator