Theorem cpm2mf 22727

Description: The inverse matrix transformation is a function from the constant polynomial matrices to the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpm2mf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpm2mf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
cpm2mf.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpm2mf.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpm2mf	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)

Proof of Theorem cpm2mf

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpm2mf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
2		cpm2mf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
3	1, 2	cpm2mfval 22724	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))))
4		cpm2mf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		cpm2mf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
7		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
12		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
13		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15	2, 14, 9, 11	cpmatpmat 22685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
16	15	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
18	9, 10, 11, 12, 13, 17	matecld 22401	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19		0nn0 12443	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝑥𝑚𝑦)) = (coe1‘(𝑥𝑚𝑦))
21	20, 10, 14, 5	coe1fvalcl 22186	. . . 4 ⊢ (((𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 19, 21	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
23	4, 5, 6, 7, 8, 22	matbas2d 22398	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0)) ∈ 𝐾)
24	3, 23	fmpt3d 7062	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  Fincfn 8886  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  Ringcrg 20205  Poly₁cpl1 22150  coe₁cco1 22151   Mat cmat 22382   ConstPolyMat ccpmat 22678   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-psr 21899  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-mat 22383  df-cpmat 22681  df-cpmat2mat 22683

This theorem is referenced by:  m2cpminv  22735  cpmadumatpolylem1  22856  cpmadumatpolylem2  22857  chcoeffeqlem  22860  cayhamlem4  22863