Theorem cpm2mf 21603

Description: The inverse matrix transformation is a function from the constant polynomial matrices to the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpm2mf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpm2mf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
cpm2mf.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpm2mf.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpm2mf	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)

Proof of Theorem cpm2mf

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpm2mf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
2		cpm2mf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
3	1, 2	cpm2mfval 21600	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))))
4		cpm2mf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		cpm2mf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
7		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
12		simp2 1139	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
13		simp3 1140	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15	2, 14, 9, 11	cpmatpmat 21561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
16	15	3expa 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
17	16	3ad2ant1 1135	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
18	9, 10, 11, 12, 13, 17	matecld 21277	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19		0nn0 12070	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝑥𝑚𝑦)) = (coe1‘(𝑥𝑚𝑦))
21	20, 10, 14, 5	coe1fvalcl 21087	. . . 4 ⊢ (((𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 19, 21	sylancl 589	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
23	4, 5, 6, 7, 8, 22	matbas2d 21274	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0)) ∈ 𝐾)
24	3, 23	fmpt3d 6911	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ∈ cmpo 7193  Fincfn 8604  0cc0 10694  ℕ₀cn0 12055  Basecbs 16666  Ringcrg 19516  Poly₁cpl1 21052  coe₁cco1 21053   Mat cmat 21258   ConstPolyMat ccpmat 21554   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-ot 4536  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-sup 9036  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-hom 16773  df-cco 16774  df-0g 16900  df-prds 16906  df-pws 16908  df-sra 20163  df-rgmod 20164  df-dsmm 20648  df-frlm 20663  df-psr 20822  df-opsr 20826  df-psr1 21055  df-ply1 21057  df-coe1 21058  df-mat 21259  df-cpmat 21557  df-cpmat2mat 21559

This theorem is referenced by:  m2cpminv  21611  cpmadumatpolylem1  21732  cpmadumatpolylem2  21733  chcoeffeqlem  21736  cayhamlem4  21739