MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpm2mf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpm2mf 22745
Description: The inverse matrix transformation is a function from the constant polynomial matrices to the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpm2mf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpm2mf.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
cpm2mf.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpm2mf.i 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cpm2mf ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆𝐾)

Proof of Theorem cpm2mf
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpm2mf.i . . 3 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
2 cpm2mf.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
31, 2cpm2mfval 22742 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 = (𝑚𝑆 ↦ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))))
4 cpm2mf.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 cpm2mf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐴)
7 simpll 765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8 simplr 767 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2726 . . . . 5 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
10 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
11 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
12 simp2 1134 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑥𝑁)
13 simp3 1135 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
14 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
152, 14, 9, 11cpmatpmat 22703 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
16153expa 1115 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
17163ad2ant1 1130 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
189, 10, 11, 12, 13, 17matecld 22419 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
19 0nn0 12539 . . . 4 0 ∈ ℕ0
20 eqid 2726 . . . . 5 (coe1‘(𝑥𝑚𝑦)) = (coe1‘(𝑥𝑚𝑦))
2120, 10, 14, 5coe1fvalcl 22202 . . . 4 (((𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
2218, 19, 21sylancl 584 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
234, 5, 6, 7, 8, 22matbas2d 22416 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0)) ∈ 𝐾)
243, 23fmpt3d 7130 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  Fincfn 8974  0cc0 11158  0cn0 12524  Basecbs 17213  Ringcrg 20216  Poly1cpl1 22166  coe1cco1 22167   Mat cmat 22398   ConstPolyMat ccpmat 22696   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-prds 17462  df-pws 17464  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-psr 21906  df-opsr 21910  df-psr1 22169  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-mat 22399  df-cpmat 22699  df-cpmat2mat 22701
This theorem is referenced by:  m2cpminv  22753  cpmadumatpolylem1  22874  cpmadumatpolylem2  22875  chcoeffeqlem  22878  cayhamlem4  22881
  Copyright terms: Public domain W3C validator