Theorem cpm2mf 22745

Description: The inverse matrix transformation is a function from the constant polynomial matrices to the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpm2mf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpm2mf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
cpm2mf.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpm2mf.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpm2mf	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)

Proof of Theorem cpm2mf

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpm2mf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
2		cpm2mf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
3	1, 2	cpm2mfval 22742	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))))
4		cpm2mf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		cpm2mf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
7		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
11		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
12		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
13		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
14		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15	2, 14, 9, 11	cpmatpmat 22703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
16	15	3expa 1115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
17	16	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
18	9, 10, 11, 12, 13, 17	matecld 22419	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19		0nn0 12539	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝑥𝑚𝑦)) = (coe1‘(𝑥𝑚𝑦))
21	20, 10, 14, 5	coe1fvalcl 22202	. . . 4 ⊢ (((𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 19, 21	sylancl 584	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
23	4, 5, 6, 7, 8, 22	matbas2d 22416	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0)) ∈ 𝐾)
24	3, 23	fmpt3d 7130	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  Fincfn 8974  0cc0 11158  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17213  Ringcrg 20216  Poly₁cpl1 22166  coe₁cco1 22167   Mat cmat 22398   ConstPolyMat ccpmat 22696   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-prds 17462  df-pws 17464  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-psr 21906  df-opsr 21910  df-psr1 22169  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-mat 22399  df-cpmat 22699  df-cpmat2mat 22701

This theorem is referenced by:  m2cpminv  22753  cpmadumatpolylem1  22874  cpmadumatpolylem2  22875  chcoeffeqlem  22878  cayhamlem4  22881