Theorem cpm2mf 22792

Description: The inverse matrix transformation is a function from the constant polynomial matrices to the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpm2mf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpm2mf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
cpm2mf.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpm2mf.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpm2mf	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)

Proof of Theorem cpm2mf

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpm2mf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
2		cpm2mf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
3	1, 2	cpm2mfval 22789	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))))
4		cpm2mf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		cpm2mf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
7		simpll 776	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simplr 778	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
12		simp2 1149	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
13		simp3 1150	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
14		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15	2, 14, 9, 11	cpmatpmat 22750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
16	15	3expa 1130	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
17	16	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
18	9, 10, 11, 12, 13, 17	matecld 22466	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19		0nn0 12493	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝑥𝑚𝑦)) = (coe1‘(𝑥𝑚𝑦))
21	20, 10, 14, 5	coe1fvalcl 22254	. . . 4 ⊢ (((𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 19, 21	sylancl 595	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
23	4, 5, 6, 7, 8, 22	matbas2d 22463	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0)) ∈ 𝐾)
24	3, 23	fmpt3d 7093	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  Fincfn 8923  0cc0 11070  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17228  Ringcrg 20262  Poly₁cpl1 22219  coe₁cco1 22220   Mat cmat 22447   ConstPolyMat ccpmat 22743   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-prds 17459  df-pws 17461  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-psr 21941  df-opsr 21945  df-psr1 22222  df-ply1 22224  df-coe1 22225  df-mat 22448  df-cpmat 22746  df-cpmat2mat 22748

This theorem is referenced by:  m2cpminv  22800  cpmadumatpolylem1  22921  cpmadumatpolylem2  22922  chcoeffeqlem  22925  cayhamlem4  22928