MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpm2mf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpm2mf 22605
Description: The inverse matrix transformation is a function from the constant polynomial matrices to the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpm2mf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpm2mf.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
cpm2mf.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpm2mf.i 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cpm2mf ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆𝐾)

Proof of Theorem cpm2mf
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpm2mf.i . . 3 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
2 cpm2mf.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
31, 2cpm2mfval 22602 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 = (𝑚𝑆 ↦ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))))
4 cpm2mf.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 cpm2mf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐴)
7 simpll 764 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8 simplr 766 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2726 . . . . 5 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
10 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
11 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
12 simp2 1134 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑥𝑁)
13 simp3 1135 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
14 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
152, 14, 9, 11cpmatpmat 22563 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
16153expa 1115 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
17163ad2ant1 1130 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
189, 10, 11, 12, 13, 17matecld 22279 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
19 0nn0 12488 . . . 4 0 ∈ ℕ0
20 eqid 2726 . . . . 5 (coe1‘(𝑥𝑚𝑦)) = (coe1‘(𝑥𝑚𝑦))
2120, 10, 14, 5coe1fvalcl 22082 . . . 4 (((𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
2218, 19, 21sylancl 585 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
234, 5, 6, 7, 8, 22matbas2d 22276 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0)) ∈ 𝐾)
243, 23fmpt3d 7110 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wf 6532  cfv 6536  (class class class)co 7404  cmpo 7406  Fincfn 8938  0cc0 11109  0cn0 12473  Basecbs 17151  Ringcrg 20136  Poly1cpl1 22047  coe1cco1 22048   Mat cmat 22258   ConstPolyMat ccpmat 22556   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-pws 17402  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-psr 21799  df-opsr 21803  df-psr1 22050  df-ply1 22052  df-coe1 22053  df-mat 22259  df-cpmat 22559  df-cpmat2mat 22561
This theorem is referenced by:  m2cpminv  22613  cpmadumatpolylem1  22734  cpmadumatpolylem2  22735  chcoeffeqlem  22738  cayhamlem4  22741
  Copyright terms: Public domain W3C validator