Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpm2mf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpm2mf 20934
 Description: The inverse matrix transformation is a function from the constant polynomial matrices to the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpm2mf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpm2mf.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
cpm2mf.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpm2mf.i 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cpm2mf ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆𝐾)

Proof of Theorem cpm2mf
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpm2mf.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 cpm2mf.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐴)
4 simpll 783 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
5 simplr 785 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
7 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
8 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
9 simp2 1171 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑥𝑁)
10 simp3 1172 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
11 cpm2mf.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
12 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
1311, 12, 6, 8cpmatpmat 20892 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
14133expa 1151 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
15143ad2ant1 1167 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
166, 7, 8, 9, 10, 15matecld 20606 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
17 0nn0 11642 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
18 eqid 2825 . . . . . 6 (coe1‘(𝑥𝑚𝑦)) = (coe1‘(𝑥𝑚𝑦))
1918, 7, 12, 2coe1fvalcl 19949 . . . . 5 (((𝑥𝑚𝑦) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
2016, 17, 19sylancl 580 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
211, 2, 3, 4, 5, 20matbas2d 20603 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0)) ∈ 𝐾)
2221fmpttd 6639 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑚𝑆 ↦ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))):𝑆𝐾)
23 cpm2mf.i . . . 4 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
2423, 11cpm2mfval 20931 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 = (𝑚𝑆 ↦ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))))
2524feq1d 6267 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼:𝑆𝐾 ↔ (𝑚𝑆 ↦ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥𝑚𝑦))‘0))):𝑆𝐾))
2622, 25mpbird 249 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ↦ cmpt 4954  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↦ cmpt2 6912  Fincfn 8228  0cc0 10259  ℕ0cn0 11625  Basecbs 16229  Ringcrg 18908  Poly1cpl1 19914  coe1cco1 19915   Mat cmat 20587   ConstPolyMat ccpmat 20885   cPolyMatToMat ccpmat2mat 20887 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-prds 16468  df-pws 16470  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-psr 19724  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-ply1 19919  df-coe1 19920  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-mat 20588  df-cpmat 20888  df-cpmat2mat 20890 This theorem is referenced by:  m2cpminv  20942  cpmadumatpolylem1  21063  cpmadumatpolylem2  21064  chcoeffeqlem  21067  cayhamlem4  21070
 Copyright terms: Public domain W3C validator