Theorem taylpf 26426

Description: The Taylor polynomial is a function on the complex numbers (even if the base set of the original function is the reals). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylpfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylpfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
taylpf	⊢ (𝜑 → 𝑇:ℂ⟶ℂ)

Proof of Theorem taylpf

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylpfval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		taylpfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		taylpfval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		taylpfval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		taylpfval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6		taylpfval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	taylpfval 26425	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
8		fzfid 13986	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
9	1, 2, 3, 4, 5	taylplem2 26424	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
10	8, 9	fsumcl 15760	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
11	7, 10	fmpt3d 7097	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℂ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  {cpr 4584  dom cdm 5647  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073   · cmul 11078   − cmin 11414   / cdiv 11844  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ↑cexp 14074  !cfa 14286  Σcsu 15713   D^𝑛 cdvn 25923   Tayl ctayl 26413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-ur 20228  df-ring 20281  df-cring 20282  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-tsms 24184  df-xms 24377  df-ms 24378  df-limc 25925  df-dv 25926  df-dvn 25927  df-tayl 26415

This theorem is referenced by:  dvntaylp  26431  taylthlem1  26433