Theorem funcsetcestrclem3 18359

Description: Lemma 3 for funcsetcestrc 18367. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem funcsetcestrclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
2		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6	2, 3, 4, 5	setc1strwun 18356	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝑈)
7		funcsetcestrclem3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
8	7, 4	estrcbas 18328	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐸))
9	8	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = 𝑈)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (Base‘𝐸) = 𝑈)
11	6, 10	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ (Base‘𝐸))
12		funcsetcestrclem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
13	11, 12	eleqtrrdi 2875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝐵)
14	1, 13	fmpt3d 7140	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  ωcom 7901  WUnicwun 10812  ndxcnx 17400  Basecbs 17416  SetCatcsetc 18279  ExtStrCatcestrc 18325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-wun 10814  df-ni 10984  df-pli 10985  df-mi 10986  df-lti 10987  df-plpq 11020  df-mpq 11021  df-ltpq 11022  df-enq 11023  df-nq 11024  df-erq 11025  df-plq 11026  df-mq 11027  df-1nq 11028  df-rq 11029  df-ltnq 11030  df-np 11093  df-plp 11095  df-ltp 11097  df-enr 11167  df-nr 11168  df-c 11233  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-setc 18280  df-estrc 18326

This theorem is used by:  embedsetcestrclem  18360  funcsetcestrc  18367