MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem3 18049
Description: Lemma 3 for funcsetcestrc 18057. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrclem3.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrclem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem funcsetcestrclem3
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
2 funcsetcestrc.s . . . . 5 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
3 funcsetcestrc.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
4 funcsetcestrc.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
62, 3, 4, 5setc1strwun 18046 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩} ∈ π‘ˆ)
7 funcsetcestrclem3.e . . . . . . 7 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
87, 4estrcbas 18017 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΈ))
98eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΈ) = π‘ˆ)
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜πΈ) = π‘ˆ)
116, 10eleqtrrd 2837 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩} ∈ (Baseβ€˜πΈ))
12 funcsetcestrclem3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
1311, 12eleqtrrdi 2845 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩} ∈ 𝐡)
141, 13fmpt3d 7065 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803  WUnicwun 10641  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  SetCatcsetc 17966  ExtStrCatcestrc 18014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-wun 10643  df-ni 10813  df-pli 10814  df-mi 10815  df-lti 10816  df-plpq 10849  df-mpq 10850  df-ltpq 10851  df-enq 10852  df-nq 10853  df-erq 10854  df-plq 10855  df-mq 10856  df-1nq 10857  df-rq 10858  df-ltnq 10859  df-np 10922  df-plp 10924  df-ltp 10926  df-enr 10996  df-nr 10997  df-c 11062  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-setc 17967  df-estrc 18015
This theorem is referenced by:  embedsetcestrclem  18050  funcsetcestrc  18057
  Copyright terms: Public domain W3C validator