Theorem funcsetcestrclem3 18124

Description: Lemma 3 for funcsetcestrc 18132. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem funcsetcestrclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
2		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6	2, 3, 4, 5	setc1strwun 18121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝑈)
7		funcsetcestrclem3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
8	7, 4	estrcbas 18093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐸))
9	8	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = 𝑈)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (Base‘𝐸) = 𝑈)
11	6, 10	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ (Base‘𝐸))
12		funcsetcestrclem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
13	11, 12	eleqtrrdi 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝐵)
14	1, 13	fmpt3d 7091	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ωcom 7845  WUnicwun 10660  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  SetCatcsetc 18044  ExtStrCatcestrc 18090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-wun 10662  df-ni 10832  df-pli 10833  df-mi 10834  df-lti 10835  df-plpq 10868  df-mpq 10869  df-ltpq 10870  df-enq 10871  df-nq 10872  df-erq 10873  df-plq 10874  df-mq 10875  df-1nq 10876  df-rq 10877  df-ltnq 10878  df-np 10941  df-plp 10943  df-ltp 10945  df-enr 11015  df-nr 11016  df-c 11081  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-setc 18045  df-estrc 18091

This theorem is referenced by:  embedsetcestrclem  18125  funcsetcestrc  18132