Theorem funcsetcestrclem3 18064

Description: Lemma 3 for funcsetcestrc 18072. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem funcsetcestrclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
2		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6	2, 3, 4, 5	setc1strwun 18061	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝑈)
7		funcsetcestrclem3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
8	7, 4	estrcbas 18033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐸))
9	8	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = 𝑈)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (Base‘𝐸) = 𝑈)
11	6, 10	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ (Base‘𝐸))
12		funcsetcestrclem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
13	11, 12	eleqtrrdi 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝐵)
14	1, 13	fmpt3d 7055	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4575  ⟨cop 4581   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  ωcom 7802  WUnicwun 10598  ndxcnx 17106  Basecbs 17122  SetCatcsetc 17984  ExtStrCatcestrc 18030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-wun 10600  df-ni 10770  df-pli 10771  df-mi 10772  df-lti 10773  df-plpq 10806  df-mpq 10807  df-ltpq 10808  df-enq 10809  df-nq 10810  df-erq 10811  df-plq 10812  df-mq 10813  df-1nq 10814  df-rq 10815  df-ltnq 10816  df-np 10879  df-plp 10881  df-ltp 10883  df-enr 10953  df-nr 10954  df-c 11019  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-hom 17187  df-cco 17188  df-setc 17985  df-estrc 18031

This theorem is referenced by:  embedsetcestrclem  18065  funcsetcestrc  18072