MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem3 17688
Description: Lemma 3 for funcsetcestrc 17696. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem3 (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem funcsetcestrclem3
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.f . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
2 funcsetcestrc.s . . . . 5 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3 funcsetcestrc.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑆)
4 funcsetcestrc.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . . . 5 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 3, 4, 5setc1strwun 17685 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝑈)
7 funcsetcestrclem3.e . . . . . . 7 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
87, 4estrcbas 17657 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐸))
98eqcomd 2744 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐸) = 𝑈)
109adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (Base‘𝐸) = 𝑈)
116, 10eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ (Base‘𝐸))
12 funcsetcestrclem3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐸)
1311, 12eleqtrrdi 2850 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝐵)
141, 13fmpt3d 6952 1 (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  {csn 4556  cop 4562  cmpt 5150  wf 6394  cfv 6398  ωcom 7663  WUnicwun 10339  ndxcnx 16769  Basecbs 16785  SetCatcsetc 17606  ExtStrCatcestrc 17654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-inf2 9281  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-oadd 8227  df-omul 8228  df-er 8412  df-ec 8414  df-qs 8418  df-map 8531  df-pm 8532  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-wun 10341  df-ni 10511  df-pli 10512  df-mi 10513  df-lti 10514  df-plpq 10547  df-mpq 10548  df-ltpq 10549  df-enq 10550  df-nq 10551  df-erq 10552  df-plq 10553  df-mq 10554  df-1nq 10555  df-rq 10556  df-ltnq 10557  df-np 10620  df-plp 10622  df-ltp 10624  df-enr 10694  df-nr 10695  df-c 10760  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-fz 13121  df-struct 16725  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-hom 16851  df-cco 16852  df-setc 17607  df-estrc 17655
This theorem is referenced by:  embedsetcestrclem  17689  funcsetcestrc  17696
  Copyright terms: Public domain W3C validator