MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1f 19645
Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+gโ€˜๐บ)
pj1eu.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
pj1eu.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
pj1eu.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
pj1eu.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
pj1eu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
pj1f.p ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
pj1f (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡)

Proof of Theorem pj1f
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 subgrcl 19079 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
4 eqid 2728 . . . . 5 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
54subgss 19075 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘‡ โІ (Baseโ€˜๐บ))
61, 5syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (Baseโ€˜๐บ))
7 pj1eu.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
84subgss 19075 . . . 4 (๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ˆ โІ (Baseโ€˜๐บ))
97, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โІ (Baseโ€˜๐บ))
10 pj1eu.a . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
11 pj1eu.s . . . 4 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
12 pj1f.p . . . 4 ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐บ)
134, 10, 11, 12pj1fval 19642 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‡ โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) = (๐‘ง โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ง = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))))
143, 6, 9, 13syl3anc 1369 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) = (๐‘ง โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ง = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))))
15 pj1eu.o . . . 4 0 = (0gโ€˜๐บ)
16 pj1eu.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
17 pj1eu.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
18 pj1eu.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
1910, 11, 15, 16, 1, 7, 17, 18pj1eu 19644 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ง = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
20 riotacl 7388 . . 3 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ง = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ง = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) โˆˆ ๐‘‡)
2119, 20syl 17 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ง = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) โˆˆ ๐‘‡)
2214, 21fmpt3d 7120 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3066  โˆƒ!wreu 3370   โˆฉ cin 3944   โІ wss 3945  {csn 4624   โ†ฆ cmpt 5225  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  โ„ฉcrio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  0gc0g 17414  Grpcgrp 18883  SubGrpcsubg 19068  Cntzccntz 19259  LSSumclsm 19582  proj1cpj1 19583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-pj1 19585
This theorem is referenced by:  pj2f  19646  pj1id  19647  pj1eq  19648  pj1ghm  19651  pj1ghm2  19652  lsmhash  19653  dpjf  20007  pj1lmhm  20978  pj1lmhm2  20979  pjdm2  21638  pjf2  21641
  Copyright terms: Public domain W3C validator