Theorem pj1f 19301

Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1f	⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)

Proof of Theorem pj1f

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 18758	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 18754	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7		pj1eu.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	4	subgss 18754	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10		pj1eu.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
13	4, 10, 11, 12	pj1fval 19298	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
14	3, 6, 9, 13	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
15		pj1eu.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17		pj1eu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
18		pj1eu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
19	10, 11, 15, 16, 1, 7, 17, 18	pj1eu 19300	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
20		riotacl 7246	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
22	14, 21	fmpt3d 6987	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067  ∃!wreu 3068   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  {csn 4567   ↦ cmpt 5162  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  ℩crio 7227  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  +_gcplusg 16960  0_gc0g 17148  Grpcgrp 18575  SubGrpcsubg 18747  Cntzccntz 18919  LSSumclsm 19237  proj₁cpj1 19238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-lsm 19239  df-pj1 19240

This theorem is referenced by:  pj2f  19302  pj1id  19303  pj1eq  19304  pj1ghm  19307  pj1ghm2  19308  lsmhash  19309  dpjf  19658  pj1lmhm  20360  pj1lmhm2  20361  pjdm2  20916  pjf2  20919