MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1f 19681
Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
Assertion
Ref Expression
pj1f (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)

Proof of Theorem pj1f
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgrcl 19111 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2725 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
54subgss 19107 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7 pj1eu.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
84subgss 19107 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10 pj1eu.a . . . 4 + = (+g𝐺)
11 pj1eu.s . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
12 pj1f.p . . . 4 𝑃 = (proj1𝐺)
134, 10, 11, 12pj1fval 19678 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
143, 6, 9, 13syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
15 pj1eu.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
16 pj1eu.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17 pj1eu.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
18 pj1eu.5 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
1910, 11, 15, 16, 1, 7, 17, 18pj1eu 19680 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)) → ∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
20 riotacl 7393 . . 3 (∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
2119, 20syl 17 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)) → (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
2214, 21fmpt3d 7125 1 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  ∃!wreu 3361  cin 3943  wss 3944  {csn 4630  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  crio 7374  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  +gcplusg 17252  0gc0g 17440  Grpcgrp 18914  SubGrpcsubg 19100  Cntzccntz 19295  LSSumclsm 19618  proj1cpj1 19619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-0g 17442  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19103  df-cntz 19297  df-lsm 19620  df-pj1 19621
This theorem is referenced by:  pj2f  19682  pj1id  19683  pj1eq  19684  pj1ghm  19687  pj1ghm2  19688  lsmhash  19689  dpjf  20043  pj1lmhm  21014  pj1lmhm2  21015  pjdm2  21679  pjf2  21682
  Copyright terms: Public domain W3C validator