Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1f 18814
 Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
Assertion
Ref Expression
pj1f (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)

Proof of Theorem pj1f
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgrcl 18275 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
54subgss 18271 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7 pj1eu.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
84subgss 18271 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10 pj1eu.a . . . 4 + = (+g𝐺)
11 pj1eu.s . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
12 pj1f.p . . . 4 𝑃 = (proj1𝐺)
134, 10, 11, 12pj1fval 18811 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
143, 6, 9, 13syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
15 pj1eu.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
16 pj1eu.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17 pj1eu.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
18 pj1eu.5 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
1910, 11, 15, 16, 1, 7, 17, 18pj1eu 18813 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)) → ∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
20 riotacl 7115 . . 3 (∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
2119, 20syl 17 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)) → (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
2214, 21fmpt3d 6862 1 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  ∃!wreu 3132   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  {csn 4539   ↦ cmpt 5122  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  ℩crio 7097  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  SubGrpcsubg 18264  Cntzccntz 18436  LSSumclsm 18750  proj1cpj1 18751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-lsm 18752  df-pj1 18753 This theorem is referenced by:  pj2f  18815  pj1id  18816  pj1eq  18817  pj1ghm  18820  pj1ghm2  18821  lsmhash  18822  dpjf  19170  pj1lmhm  19863  pj1lmhm2  19864  pjdm2  20398  pjf2  20401
 Copyright terms: Public domain W3C validator