Theorem pj1f 19611

Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1f	⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)

Proof of Theorem pj1f

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 19046	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19042	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7		pj1eu.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	4	subgss 19042	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10		pj1eu.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
13	4, 10, 11, 12	pj1fval 19608	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
14	3, 6, 9, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
15		pj1eu.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17		pj1eu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
18		pj1eu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
19	10, 11, 15, 16, 1, 7, 17, 18	pj1eu 19610	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
20		riotacl 7326	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
22	14, 21	fmpt3d 7055	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  ∃!wreu 3345   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  {csn 4575   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  ℩crio 7308  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  Grpcgrp 18848  SubGrpcsubg 19035  Cntzccntz 19229  LSSumclsm 19548  proj₁cpj1 19549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-pj1 19551

This theorem is referenced by:  pj2f  19612  pj1id  19613  pj1eq  19614  pj1ghm  19617  pj1ghm2  19618  lsmhash  19619  dpjf  19973  pj1lmhm  21036  pj1lmhm2  21037  pjdm2  21650  pjf2  21653