Theorem pj1f 19303

Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1f	⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)

Proof of Theorem pj1f

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 18760	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 18756	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7		pj1eu.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	4	subgss 18756	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10		pj1eu.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
13	4, 10, 11, 12	pj1fval 19300	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
14	3, 6, 9, 13	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
15		pj1eu.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17		pj1eu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
18		pj1eu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
19	10, 11, 15, 16, 1, 7, 17, 18	pj1eu 19302	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
20		riotacl 7250	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (℩𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
22	14, 21	fmpt3d 6990	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749  Cntzccntz 18921  LSSumclsm 19239  proj₁cpj1 19240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-pj1 19242

This theorem is referenced by:  pj2f  19304  pj1id  19305  pj1eq  19306  pj1ghm  19309  pj1ghm2  19310  lsmhash  19311  dpjf  19660  pj1lmhm  20362  pj1lmhm2  20363  pjdm2  20918  pjf2  20921