![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pj1f | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
pj1eu.a | โข + = (+gโ๐บ) |
pj1eu.s | โข โ = (LSSumโ๐บ) |
pj1eu.o | โข 0 = (0gโ๐บ) |
pj1eu.z | โข ๐ = (Cntzโ๐บ) |
pj1eu.2 | โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
pj1eu.3 | โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
pj1eu.4 | โข (๐ โ (๐ โฉ ๐) = { 0 }) |
pj1eu.5 | โข (๐ โ ๐ โ (๐โ๐)) |
pj1f.p | โข ๐ = (proj1โ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
pj1f | โข (๐ โ (๐๐๐):(๐ โ ๐)โถ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pj1eu.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) | |
2 | subgrcl 19079 | . . . 4 โข (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โ ๐บ โ Grp) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
4 | eqid 2728 | . . . . 5 โข (Baseโ๐บ) = (Baseโ๐บ) | |
5 | 4 | subgss 19075 | . . . 4 โข (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โ ๐ โ (Baseโ๐บ)) |
6 | 1, 5 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (Baseโ๐บ)) |
7 | pj1eu.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) | |
8 | 4 | subgss 19075 | . . . 4 โข (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โ ๐ โ (Baseโ๐บ)) |
9 | 7, 8 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (Baseโ๐บ)) |
10 | pj1eu.a | . . . 4 โข + = (+gโ๐บ) | |
11 | pj1eu.s | . . . 4 โข โ = (LSSumโ๐บ) | |
12 | pj1f.p | . . . 4 โข ๐ = (proj1โ๐บ) | |
13 | 4, 10, 11, 12 | pj1fval 19642 | . . 3 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ (Baseโ๐บ) โง ๐ โ (Baseโ๐บ)) โ (๐๐๐) = (๐ง โ (๐ โ ๐) โฆ (โฉ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ง = (๐ฅ + ๐ฆ)))) |
14 | 3, 6, 9, 13 | syl3anc 1369 | . 2 โข (๐ โ (๐๐๐) = (๐ง โ (๐ โ ๐) โฆ (โฉ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ง = (๐ฅ + ๐ฆ)))) |
15 | pj1eu.o | . . . 4 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
16 | pj1eu.z | . . . 4 โข ๐ = (Cntzโ๐บ) | |
17 | pj1eu.4 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โฉ ๐) = { 0 }) | |
18 | pj1eu.5 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ (๐โ๐)) | |
19 | 10, 11, 15, 16, 1, 7, 17, 18 | pj1eu 19644 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ง โ (๐ โ ๐)) โ โ!๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ง = (๐ฅ + ๐ฆ)) |
20 | riotacl 7388 | . . 3 โข (โ!๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ง = (๐ฅ + ๐ฆ) โ (โฉ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ง = (๐ฅ + ๐ฆ)) โ ๐) | |
21 | 19, 20 | syl 17 | . 2 โข ((๐ โง ๐ง โ (๐ โ ๐)) โ (โฉ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ง = (๐ฅ + ๐ฆ)) โ ๐) |
22 | 14, 21 | fmpt3d 7120 | 1 โข (๐ โ (๐๐๐):(๐ โ ๐)โถ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwrex 3066 โ!wreu 3370 โฉ cin 3944 โ wss 3945 {csn 4624 โฆ cmpt 5225 โถwf 6538 โcfv 6542 โฉcrio 7369 (class class class)co 7414 Basecbs 17173 +gcplusg 17226 0gc0g 17414 Grpcgrp 18883 SubGrpcsubg 19068 Cntzccntz 19259 LSSumclsm 19582 proj1cpj1 19583 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-nn 12237 df-2 12299 df-sets 17126 df-slot 17144 df-ndx 17156 df-base 17174 df-ress 17203 df-plusg 17239 df-0g 17416 df-mgm 18593 df-sgrp 18672 df-mnd 18688 df-grp 18886 df-minusg 18887 df-sbg 18888 df-subg 19071 df-cntz 19261 df-lsm 19584 df-pj1 19585 |
This theorem is referenced by: pj2f 19646 pj1id 19647 pj1eq 19648 pj1ghm 19651 pj1ghm2 19652 lsmhash 19653 dpjf 20007 pj1lmhm 20978 pj1lmhm2 20979 pjdm2 21638 pjf2 21641 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |