Theorem gsummptfsadd 18768

Description: The sum of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 9-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfsadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfsadd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfsadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfsadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfsadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfsadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfsadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
gsummptfsadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
gsummptfsadd.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsummptfsadd.v	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfsadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfsadd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsummptfsadd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		gsummptfsadd.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		gsummptfsadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5		gsummptfsadd.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	offval2 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)))
7	6	eqcomd 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)) = (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻))
8	7	oveq2d 7039	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)))
9		gsummptfsadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10		gsummptfsadd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		gsummptfsadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		gsummptfsadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
13	4, 2	fmpt3d 6750	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	5, 3	fmpt3d 6750	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
15		gsummptfsadd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16		gsummptfsadd.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
17	9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16	gsumadd 18767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
18	8, 17	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ∘_𝑓 cof 7272   finSupp cfsupp 8686  Basecbs 16316  +_gcplusg 16398  0_gc0g 16546   Σ_g cgsu 16547  CMndccmn 18637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-cntz 18192  df-cmn 18639

This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  18769  frlmphl  20611  pm2mpghm  21112  lincsum  43986