Theorem gsummptfsadd 19899

Description: The sum of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 9-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfsadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfsadd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfsadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfsadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfsadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfsadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfsadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
gsummptfsadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
gsummptfsadd.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsummptfsadd.v	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfsadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfsadd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsummptfsadd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		gsummptfsadd.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		gsummptfsadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5		gsummptfsadd.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	offval2 7651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)))
7	6	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)) = (𝐹 ∘f + 𝐻))
8	7	oveq2d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)))
9		gsummptfsadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10		gsummptfsadd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		gsummptfsadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		gsummptfsadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
13	4, 2	fmpt3d 7068	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	5, 3	fmpt3d 7068	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
15		gsummptfsadd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16		gsummptfsadd.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
17	9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16	gsumadd 19898	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
18	8, 17	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   finSupp cfsupp 9274  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  CMndccmn 19755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-cntz 19292  df-cmn 19757

This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  19900  frlmphl  21761  pm2mpghm  22781  elrgspnlem1  33303  mhphf  43030  lincsum  48905