Theorem gsummptfsadd 20168

Description: The sum of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 9-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfsadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfsadd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfsadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfsadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfsadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfsadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfsadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
gsummptfsadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
gsummptfsadd.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsummptfsadd.v	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfsadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfsadd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsummptfsadd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		gsummptfsadd.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		gsummptfsadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5		gsummptfsadd.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	offval2 7737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)))
7	6	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)) = (𝐹 ∘f + 𝐻))
8	7	oveq2d 7459	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)))
9		gsummptfsadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10		gsummptfsadd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		gsummptfsadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		gsummptfsadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
13	4, 2	fmpt3d 7140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	5, 3	fmpt3d 7140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
15		gsummptfsadd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16		gsummptfsadd.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
17	9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16	gsumadd 20167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
18	8, 17	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715   finSupp cfsupp 9381  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639   Σ_g cgsu 17640  CMndccmn 20024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-cntz 19561  df-cmn 20026

This theorem is used by:  gsummptfidmadd  20169  frlmphl  22117  pm2mpghm  23164  elrgspnlem1  33873  mhphf  43818  lincsum  49746