MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfsadd 19883
Description: The sum of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 9-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfsadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfsadd.z 0 = (0g𝐺)
gsummptfsadd.p + = (+g𝐺)
gsummptfsadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfsadd.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummptfsadd.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfsadd.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfsadd.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
gsummptfsadd.h (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
gsummptfsadd.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsummptfsadd.v (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummptfsadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfsadd
StepHypRef Expression
1 gsummptfsadd.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
2 gsummptfsadd.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
3 gsummptfsadd.d . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
4 gsummptfsadd.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
5 gsummptfsadd.h . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
61, 2, 3, 4, 5offval2 7702 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f + 𝐻) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)))
76eqcomd 2731 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)) = (𝐹f + 𝐻))
87oveq2d 7432 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)))
9 gsummptfsadd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
10 gsummptfsadd.z . . 3 0 = (0g𝐺)
11 gsummptfsadd.p . . 3 + = (+g𝐺)
12 gsummptfsadd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
134, 2fmpt3d 7121 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
145, 3fmpt3d 7121 . . 3 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
15 gsummptfsadd.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
16 gsummptfsadd.v . . 3 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
179, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16gsumadd 19882 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
188, 17eqtrd 2765 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7416  f cof 7680   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420   Σg cgsu 17421  CMndccmn 19739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-cntz 19272  df-cmn 19741
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  19884  frlmphl  21719  pm2mpghm  22736  mhphf  41895  lincsum  47609
  Copyright terms: Public domain W3C validator