Theorem lmif 29209

Description: Line mirror as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lmif	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)

Proof of Theorem lmif

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
2		df-lmi 29199	. . . . 5 ⊢ lInvG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑔)((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))))
3		fveq2 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (LineG‘𝑔) = (LineG‘𝐺))
4		lmif.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5	3, 4	eqtr4di 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (LineG‘𝑔) = 𝐿)
6	5	rneqd 5917	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ran (LineG‘𝑔) = ran 𝐿)
7		fveq2 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
8		ismid.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
9	7, 8	eqtr4di 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
10		fveq2 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (midG‘𝑔) = (midG‘𝐺))
11	10	oveqd 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(midG‘𝑔)𝑏) = (𝑎(midG‘𝐺)𝑏))
12	11	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ↔ (𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑))
13		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → 𝑑 = 𝑑)
14		fveq2 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (⟂G‘𝑔) = (⟂G‘𝐺))
15	5	oveqd 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) = (𝑎𝐿𝑏))
16	13, 14, 15	breq123d 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ↔ 𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏)))
17	16	orbi1d 930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))
18	12, 17	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))
19	9, 18	riotaeqbidv 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑔)((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))) = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))
20	9, 19	mpteq12dv 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑔)((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
21	6, 20	mpteq12dv 5192	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑔)((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))) = (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))))
22		ismid.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
23	22	elexd 3473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
24	4	fvexi 6888	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ V
25		rnexg 7898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ V → ran 𝐿 ∈ V)
26		mptexg 7216	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐿 ∈ V → (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))) ∈ V)
27	24, 25, 26	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))) ∈ V)
29	2, 21, 23, 28	fvmptd3 7006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lInvG‘𝐺) = (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))))
30		eleq2 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ↔ (𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷))
31		breq1 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ↔ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏)))
32	31	orbi1d 930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))
33	30, 32	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))
34	33	riotabidv 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))) = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))
35	34	mpteq2dv 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
36	35	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 = 𝐷) → (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
37		lmif.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
38	8	fvexi 6888	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
39	38	mptex 7218	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) ∈ V
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) ∈ V)
41	29, 36, 37, 40	fvmptd 6990	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lInvG‘𝐺)‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
42	1, 41	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
43		ismid.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
44		ismid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
45	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46		ismid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
47	46	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → 𝐺DimTarskiG≥2)
48	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
49		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ 𝑃)
50	8, 43, 44, 45, 47, 4, 48, 49	lmieu 29208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))
51		riotacl 7383	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)) → (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))) ∈ 𝑃)
52	50, 51	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))) ∈ 𝑃)
53	42, 52	fmpt3d 7105	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3363  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5649  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  ℩crio 7365  (class class class)co 7409  2c2 12352  Basecbs 17334  distcds 17384  TarskiGcstrkg 28808  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28812  Itvcitv 28814  LineGclng 28815  ⟂Gcperpg 29089  midGcmid 29196  lInvGclmi 29197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-hash 14428  df-word 14612  df-concat 14669  df-s1 14696  df-s2 14952  df-s3 14953  df-trkgc 28829  df-trkgb 28830  df-trkgcb 28831  df-trkgld 28833  df-trkg 28834  df-cgrg 28893  df-leg 28965  df-mir 29044  df-rag 29088  df-perpg 29090  df-mid 29198  df-lmi 29199

This theorem is used by:  lmicl  29210  lmif1o  29219