MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmif 28802
Description: Line mirror as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
Assertion
Ref Expression
lmif (𝜑𝑀:𝑃𝑃)

Proof of Theorem lmif
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmif.m . . 3 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
2 df-lmi 28792 . . . . 5 lInvG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑔)((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))))
3 fveq2 6919 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (LineG‘𝑔) = (LineG‘𝐺))
4 lmif.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
53, 4eqtr4di 2792 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (LineG‘𝑔) = 𝐿)
65rneqd 5962 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ran (LineG‘𝑔) = ran 𝐿)
7 fveq2 6919 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
8 ismid.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
97, 8eqtr4di 2792 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
10 fveq2 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (midG‘𝑔) = (midG‘𝐺))
1110oveqd 7462 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(midG‘𝑔)𝑏) = (𝑎(midG‘𝐺)𝑏))
1211eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ↔ (𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑))
13 eqidd 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺𝑑 = 𝑑)
14 fveq2 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (⟂G‘𝑔) = (⟂G‘𝐺))
155oveqd 7462 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) = (𝑎𝐿𝑏))
1613, 14, 15breq123d 5183 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ↔ 𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏)))
1716orbi1d 915 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))
1812, 17anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))
199, 18riotaeqbidv 7404 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑔)((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))) = (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))
209, 19mpteq12dv 5260 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑔)((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) = (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
216, 20mpteq12dv 5260 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑔)((𝑎(midG‘𝑔)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝑔)(𝑎(LineG‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))) = (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))))
22 ismid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
2322elexd 3507 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ V)
244fvexi 6933 . . . . . . 7 𝐿 ∈ V
25 rnexg 7938 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ V → ran 𝐿 ∈ V)
26 mptexg 7256 . . . . . . 7 (ran 𝐿 ∈ V → (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))) ∈ V)
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))) ∈ V
2827a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))) ∈ V)
292, 21, 23, 28fvmptd3 7050 . . . 4 (𝜑 → (lInvG‘𝐺) = (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))))
30 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ↔ (𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷))
31 breq1 5172 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ↔ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏)))
3231orbi1d 915 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))
3330, 32anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))
3433riotabidv 7403 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))) = (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))))
3534mpteq2dv 5271 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) = (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
3635adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑑 = 𝐷) → (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) = (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
37 lmif.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
388fvexi 6933 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
3938mptex 7258 . . . . 5 (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))) ∈ V)
4129, 36, 37, 40fvmptd 7034 . . 3 (𝜑 → ((lInvG‘𝐺)‘𝐷) = (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
421, 41eqtrid 2786 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑎𝑃 ↦ (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))))
43 ismid.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
44 ismid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4522adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46 ismid.1 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
4746adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑃) → 𝐺DimTarskiG≥2)
4837adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑃) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
49 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑃) → 𝑎𝑃)
508, 43, 44, 45, 47, 4, 48, 49lmieu 28801 . . 3 ((𝜑𝑎𝑃) → ∃!𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)))
51 riotacl 7419 . . 3 (∃!𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏)) → (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))) ∈ 𝑃)
5250, 51syl 17 . 2 ((𝜑𝑎𝑃) → (𝑏𝑃 ((𝑎(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))) ∈ 𝑃)
5342, 52fmpt3d 7148 1 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 846   = wceq 1537  wcel 2103  ∃!wreu 3381  Vcvv 3482   class class class wbr 5169  cmpt 5252  ran crn 5700  wf 6568  cfv 6572  crio 7400  (class class class)co 7445  2c2 12344  Basecbs 17253  distcds 17315  TarskiGcstrkg 28444  DimTarskiGcstrkgld 28448  Itvcitv 28450  LineGclng 28451  ⟂Gcperpg 28712  midGcmid 28789  lInvGclmi 28790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-oadd 8522  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-trkgc 28465  df-trkgb 28466  df-trkgcb 28467  df-trkgld 28469  df-trkg 28470  df-cgrg 28528  df-leg 28600  df-mir 28670  df-rag 28711  df-perpg 28713  df-mid 28791  df-lmi 28792
This theorem is referenced by:  lmicl  28803  lmif1o  28812
  Copyright terms: Public domain W3C validator