Theorem gsummptfssub 19856

Description: The difference of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfssub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfssub.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfssub.s	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsummptfssub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsummptfssub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfssub.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfssub.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfssub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
gsummptfssub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
gsummptfssub.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsummptfssub.v	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfssub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, −

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfssub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfssub.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsummptfssub.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		gsummptfssub.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		gsummptfssub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5		gsummptfssub.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	offval2 7625	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷)))
7	6	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷)) = (𝐹 ∘f − 𝐻))
8	7	oveq2d 7357	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)))
9		gsummptfssub.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10		gsummptfssub.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		gsummptfssub.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
12		gsummptfssub.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
13	4, 2	fmpt3d 7044	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	5, 3	fmpt3d 7044	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
15		gsummptfssub.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16		gsummptfssub.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
17	9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16	gsumsub 19855	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
18	8, 17	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603   finSupp cfsupp 9240  Basecbs 17115  0_gc0g 17338   Σ_g cgsu 17339  -_gcsg 18843  Abelcabl 19688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690

This theorem is referenced by:  gsummptfidmsub  19857