Theorem gsummptfssub 20023

Description: The difference of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfssub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfssub.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfssub.s	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsummptfssub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsummptfssub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfssub.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfssub.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfssub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
gsummptfssub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
gsummptfssub.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsummptfssub.v	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfssub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, −

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfssub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfssub.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsummptfssub.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		gsummptfssub.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		gsummptfssub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5		gsummptfssub.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	offval2 7694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷)))
7	6	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷)) = (𝐹 ∘f − 𝐻))
8	7	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)))
9		gsummptfssub.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10		gsummptfssub.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		gsummptfssub.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
12		gsummptfssub.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
13	4, 2	fmpt3d 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	5, 3	fmpt3d 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
15		gsummptfssub.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16		gsummptfssub.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
17	9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16	gsumsub 20022	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
18	8, 17	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672   finSupp cfsupp 9317  Basecbs 17273  0_gc0g 17496   Σ_g cgsu 17497  -_gcsg 19006  Abelcabl 19855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857

This theorem is used by:  gsummptfidmsub  20024