Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfssub 19068
 Description: The difference of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfssub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfssub.z 0 = (0g𝐺)
gsummptfssub.s = (-g𝐺)
gsummptfssub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsummptfssub.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummptfssub.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfssub.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfssub.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
gsummptfssub.h (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
gsummptfssub.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsummptfssub.v (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummptfssub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfssub
StepHypRef Expression
1 gsummptfssub.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
2 gsummptfssub.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
3 gsummptfssub.d . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
4 gsummptfssub.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
5 gsummptfssub.h . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
61, 2, 3, 4, 5offval2 7425 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷)))
76eqcomd 2827 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷)) = (𝐹f 𝐻))
87oveq2d 7171 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)))
9 gsummptfssub.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
10 gsummptfssub.z . . 3 0 = (0g𝐺)
11 gsummptfssub.s . . 3 = (-g𝐺)
12 gsummptfssub.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
134, 2fmpt3d 6879 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
145, 3fmpt3d 6879 . . 3 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
15 gsummptfssub.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
16 gsummptfssub.v . . 3 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
179, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16gsumsub 19067 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
188, 17eqtrd 2856 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∘f cof 7406   finSupp cfsupp 8832  Basecbs 16482  0gc0g 16712   Σg cgsu 16713  -gcsg 18104  Abelcabl 18906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-ghm 18355  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908 This theorem is referenced by:  gsummptfidmsub  19069
 Copyright terms: Public domain W3C validator