Theorem gsummptfssub 19869

Description: The difference of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfssub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfssub.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfssub.s	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsummptfssub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsummptfssub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfssub.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfssub.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfssub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
gsummptfssub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
gsummptfssub.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsummptfssub.v	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfssub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, −

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfssub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfssub.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsummptfssub.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		gsummptfssub.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		gsummptfssub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5		gsummptfssub.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	offval2 7639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷)))
7	6	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷)) = (𝐹 ∘f − 𝐻))
8	7	oveq2d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)))
9		gsummptfssub.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10		gsummptfssub.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		gsummptfssub.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
12		gsummptfssub.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
13	4, 2	fmpt3d 7058	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	5, 3	fmpt3d 7058	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
15		gsummptfssub.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16		gsummptfssub.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
17	9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16	gsumsub 19868	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
18	8, 17	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617   finSupp cfsupp 9256  Basecbs 17127  0_gc0g 17350   Σ_g cgsu 17351  -_gcsg 18856  Abelcabl 19701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703

This theorem is referenced by:  gsummptfidmsub  19870