Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege86 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege86 43523
Description: Conclusion about element one past 𝑌 in the 𝑅-sequence. Proposition 86 of [Frege1879] p. 66. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege86.x 𝑋𝑈
frege86.y 𝑌𝑉
frege86.r 𝑅𝑊
frege86.a 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
frege86 (((𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴))) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝑅   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑤)   𝑌(𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem frege86
StepHypRef Expression
1 frege86.x . . 3 𝑋𝑈
2 frege86.y . . 3 𝑌𝑉
3 frege86.r . . 3 𝑅𝑊
4 frege86.a . . 3 𝐴𝐵
51, 2, 3, 4frege85 43522 . 2 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴)))
6 frege19 43398 . 2 ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴))) → (((𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴))) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴))))))
75, 6ax-mp 5 1 (((𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴))) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1531  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  t+ctcl 14973   hereditary whe 43346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-frege1 43364  ax-frege2 43365  ax-frege8 43383  ax-frege52a 43431  ax-frege58b 43475
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14008  df-trcl 14975  df-relexp 15008  df-he 43347
This theorem is referenced by:  frege87  43524
  Copyright terms: Public domain W3C validator