Theorem frege85 43381

Description: Commuted form of frege77 43373. Proposition 85 of [Frege1879] p. 66. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege84.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege84.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege84.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
frege84.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
frege85	⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege85

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege84.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		frege84.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		frege84.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
4		frege84.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐵
5	1, 2, 3, 4	frege77 43373	. 2 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)))
6		frege12 43246	. 2 ⊢ ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴))) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐴))))
7	5, 6	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1531   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  ‘cfv 6551  t+ctcl 14970   hereditary whe 43205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-frege1 43223  ax-frege2 43224  ax-frege8 43242  ax-frege52a 43290  ax-frege58b 43334

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-seq 14005  df-trcl 14972  df-relexp 15005  df-he 43206

This theorem is referenced by:  frege86  43382