Theorem frege85 39082

Description: Commuted form of frege77 39074. Proposition 85 of [Frege1879] p. 66. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege84.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege84.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege84.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
frege84.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
frege85	⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege85

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege84.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		frege84.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		frege84.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
4		frege84.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐵
5	1, 2, 3, 4	frege77 39074	. 2 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)))
6		frege12 38947	. 2 ⊢ ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴))) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐴))))
7	5, 6	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1656   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  t+ctcl 14103   hereditary whe 38906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-frege1 38924  ax-frege2 38925  ax-frege8 38943  ax-frege52a 38991  ax-frege58b 39035

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-ifp 1092  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-seq 13096  df-trcl 14105  df-relexp 14138  df-he 38907

This theorem is referenced by:  frege86  39083