Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege85 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege85 41280
Description: Commuted form of frege77 41272. Proposition 85 of [Frege1879] p. 66. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege84.x 𝑋𝑈
frege84.y 𝑌𝑉
frege84.r 𝑅𝑊
frege84.a 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
frege85 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege85
StepHypRef Expression
1 frege84.x . . 3 𝑋𝑈
2 frege84.y . . 3 𝑌𝑉
3 frege84.r . . 3 𝑅𝑊
4 frege84.a . . 3 𝐴𝐵
51, 2, 3, 4frege77 41272 . 2 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝐴) → 𝑌𝐴)))
6 frege12 41145 . 2 ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝐴) → 𝑌𝐴))) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴))))
75, 6ax-mp 5 1 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1541  wcel 2112   class class class wbr 5069  cfv 6400  t+ctcl 14580   hereditary whe 41104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835  ax-frege1 41122  ax-frege2 41123  ax-frege8 41141  ax-frege52a 41189  ax-frege58b 41233
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-ifp 1064  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-nn 11860  df-2 11922  df-n0 12120  df-z 12206  df-uz 12468  df-seq 13606  df-trcl 14582  df-relexp 14615  df-he 41105
This theorem is referenced by:  frege86  41281
  Copyright terms: Public domain W3C validator