Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvrcllb0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvrcllb0d 41870
Description: A restriction of the identity relation is a subset of the reflexive closure of a set. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fvrcllb0d.r (𝜑𝑅 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
fvrcllb0d (𝜑 → ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ (r*‘𝑅))

Proof of Theorem fvrcllb0d
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 41853 . 2 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
2 fvrcllb0d.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ V)
3 prex 5388 . . 3 {0, 1} ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑 → {0, 1} ∈ V)
5 c0ex 11108 . . . 4 0 ∈ V
65prid1 4722 . . 3 0 ∈ {0, 1}
76a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ {0, 1})
81, 2, 4, 7fvmptiunrelexplb0d 41861 1 (𝜑 → ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ (r*‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3444  cun 3907  wss 3909  {cpr 4587   I cid 5529  dom cdm 5632  ran crn 5633  cres 5634  cfv 6494  0cc0 11010  1c1 11011  r*crcl 41849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-seq 13862  df-relexp 14865  df-rcl 41850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator