Theorem fzsubel 13460

Description: Membership of a difference in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzsubel	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))

Proof of Theorem fzsubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12507	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
2		fzaddel 13458	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))))
3	1, 2	sylanr2 683	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))))
4		zcn 12473	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zcn 12473	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6	4, 5	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
7		zcn 12473	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ)
8		zcn 12473	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9	7, 8	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
10		negsub 11409	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐽 + -𝐾) = (𝐽 − 𝐾))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → (𝐽 + -𝐾) = (𝐽 − 𝐾))
12		negsub 11409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀 − 𝐾))
13		negsub 11409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
14	12, 13	oveqan12d 7365	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
15	14	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
16	15	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
17	11, 16	eleq12d 2825	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))
18	6, 9, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))
19	3, 18	bitrd 279	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   + caddc 11009   − cmin 11344  -cneg 11345  ℤcz 12468  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  elfzp1b  13501  elfzm1b  13502  fsum0diag2  15690  fprodser  15856  vdwapun  16886  sylow1lem1  19510  fzm1ne1  32771  ballotlemfrceq  34542  poimirlem16  37686  poimirlem17  37687  poimirlem19  37689  poimirlem20  37690  fdc  37795  stoweidlem11  46119  stoweidlem34  46142