Theorem fzsubel 13600

Description: Membership of a difference in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzsubel	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))

Proof of Theorem fzsubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12652	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
2		fzaddel 13598	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))))
3	1, 2	sylanr2 683	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))))
4		zcn 12618	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zcn 12618	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6	4, 5	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
7		zcn 12618	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ)
8		zcn 12618	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9	7, 8	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
10		negsub 11557	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐽 + -𝐾) = (𝐽 − 𝐾))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → (𝐽 + -𝐾) = (𝐽 − 𝐾))
12		negsub 11557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀 − 𝐾))
13		negsub 11557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
14	12, 13	oveqan12d 7450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
15	14	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
16	15	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
17	11, 16	eleq12d 2835	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))
18	6, 9, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))
19	3, 18	bitrd 279	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492  -cneg 11493  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  elfzp1b  13641  elfzm1b  13642  fsum0diag2  15819  fprodser  15985  vdwapun  17012  sylow1lem1  19616  fzm1ne1  32790  ballotlemfrceq  34531  poimirlem16  37643  poimirlem17  37644  poimirlem19  37646  poimirlem20  37647  fdc  37752  stoweidlem11  46026  stoweidlem34  46049