Theorem fzsubel 13577

Description: Membership of a difference in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzsubel	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))

Proof of Theorem fzsubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12627	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
2		fzaddel 13575	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))))
3	1, 2	sylanr2 683	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))))
4		zcn 12593	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zcn 12593	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6	4, 5	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
7		zcn 12593	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ)
8		zcn 12593	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9	7, 8	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
10		negsub 11531	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐽 + -𝐾) = (𝐽 − 𝐾))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → (𝐽 + -𝐾) = (𝐽 − 𝐾))
12		negsub 11531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀 − 𝐾))
13		negsub 11531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
14	12, 13	oveqan12d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
15	14	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
16	15	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
17	11, 16	eleq12d 2828	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))
18	6, 9, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))
19	3, 18	bitrd 279	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   + caddc 11132   − cmin 11466  -cneg 11467  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  elfzp1b  13618  elfzm1b  13619  fsum0diag2  15799  fprodser  15965  vdwapun  16994  sylow1lem1  19579  fzm1ne1  32765  ballotlemfrceq  34561  poimirlem16  37660  poimirlem17  37661  poimirlem19  37663  poimirlem20  37664  fdc  37769  stoweidlem11  46040  stoweidlem34  46063