Theorem fzprval 13759

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz12pr 13755	. . 3 ⊢ (1...2) = {1, 2}
2	1	raleqi 3321	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵))
3		1ex 11342	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
4		2ex 12460	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
5		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
6		iftrue 4491	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
8		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
9		1ne2 12593	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 2
10	9	necomi 3013	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
11		pm13.181 3041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 2 ∧ 2 ≠ 1) → 𝑥 ≠ 1)
12	10, 11	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
13	12	neneqd 2964	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
14	13	iffalsed 4496	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
15	8, 14	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
16	3, 4, 7, 15	ralpr 4662	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
17	2, 16	bitri 278	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ifcif 4485  {cpr 4590  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240  2c2 12437  ...cfz 13679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680

This theorem is used by: (None)