Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashgt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt1 31766
Description: Restate "set contains at least two elements" in terms of elementhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashgt1 (š“ āˆˆ š‘‰ ā†’ (Ā¬ š“ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ {0, 1}) ā†” 1 < (ā™Æā€˜š“)))

Proof of Theorem hashgt1
StepHypRef Expression
1 hashf 14247 . . . . 5 ā™Æ:VāŸ¶(ā„•0 āˆŖ {+āˆž})
2 ffn 6672 . . . . 5 (ā™Æ:VāŸ¶(ā„•0 āˆŖ {+āˆž}) ā†’ ā™Æ Fn V)
3 elpreima 7012 . . . . 5 (ā™Æ Fn V ā†’ (š“ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ {0, 1}) ā†” (š“ āˆˆ V āˆ§ (ā™Æā€˜š“) āˆˆ {0, 1})))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (š“ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ {0, 1}) ā†” (š“ āˆˆ V āˆ§ (ā™Æā€˜š“) āˆˆ {0, 1}))
5 elex 3465 . . . . 5 (š“ āˆˆ š‘‰ ā†’ š“ āˆˆ V)
65biantrurd 534 . . . 4 (š“ āˆˆ š‘‰ ā†’ ((ā™Æā€˜š“) āˆˆ {0, 1} ā†” (š“ āˆˆ V āˆ§ (ā™Æā€˜š“) āˆˆ {0, 1})))
74, 6bitr4id 290 . . 3 (š“ āˆˆ š‘‰ ā†’ (š“ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ {0, 1}) ā†” (ā™Æā€˜š“) āˆˆ {0, 1}))
87notbid 318 . 2 (š“ āˆˆ š‘‰ ā†’ (Ā¬ š“ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ {0, 1}) ā†” Ā¬ (ā™Æā€˜š“) āˆˆ {0, 1}))
9 hashxnn0 14248 . . 3 (š“ āˆˆ š‘‰ ā†’ (ā™Æā€˜š“) āˆˆ ā„•0*)
10 xnn01gt 31729 . . 3 ((ā™Æā€˜š“) āˆˆ ā„•0* ā†’ (Ā¬ (ā™Æā€˜š“) āˆˆ {0, 1} ā†” 1 < (ā™Æā€˜š“)))
119, 10syl 17 . 2 (š“ āˆˆ š‘‰ ā†’ (Ā¬ (ā™Æā€˜š“) āˆˆ {0, 1} ā†” 1 < (ā™Æā€˜š“)))
128, 11bitrd 279 1 (š“ āˆˆ š‘‰ ā†’ (Ā¬ š“ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ {0, 1}) ā†” 1 < (ā™Æā€˜š“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Ā¬ wn 3   ā†’ wi 4   ā†” wb 205   āˆ§ wa 397   āˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   āˆŖ cun 3912  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109  ā—”ccnv 5636   ā€œ cima 5640   Fn wfn 6495  āŸ¶wf 6496  ā€˜cfv 6500  0cc0 11059  1c1 11060  +āˆžcpnf 11194   < clt 11197  ā„•0cn0 12421  ā„•0*cxnn0 12493  ā™Æchash 14239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-hash 14240
This theorem is referenced by:  tocyccntz  32049
  Copyright terms: Public domain W3C validator