Theorem hashgt1 33456

Description: Restate "set contains at least two elements" in terms of elementhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ 1 < (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 14495	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2		ffn 6720	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
3		elpreima 7068	. . . . 5 ⊢ (♯ Fn V → (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1})))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
5		elex 3475	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6	5	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1})))
7	4, 6	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
8	7	notbid 321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
9		hashxnn0 14496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0*)
10		xnn01gt 33418	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0* → (¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ 1 < (♯‘𝐴)))
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ 1 < (♯‘𝐴)))
12	8, 11	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ 1 < (♯‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  0cc0 11213  1c1 11214  +∞cpnf 11353   < clt 11356  ℕ₀cn0 12619  ℕ₀^*cxnn0 12692  ♯chash 14487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-hash 14488

This theorem is used by:  tocyccntz  33761