Theorem hashgt1 32753

Description: Restate "set contains at least two elements" in terms of elementhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ 1 < (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 14245	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2		ffn 6652	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
3		elpreima 6992	. . . . 5 ⊢ (♯ Fn V → (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1})))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
5		elex 3457	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6	5	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1})))
7	4, 6	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
8	7	notbid 318	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
9		hashxnn0 14246	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0*)
10		xnn01gt 32713	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0* → (¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ 1 < (♯‘𝐴)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ 1 < (♯‘𝐴)))
12	8, 11	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ 1 < (♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901  {csn 4577  {cpr 4579   class class class wbr 5092  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  0cc0 11009  1c1 11010  +∞cpnf 11146   < clt 11149  ℕ₀cn0 12384  ℕ₀^*cxnn0 12457  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  tocyccntz  33086