Theorem hashgt1 32595

Description: Restate "set contains at least two elements" in terms of elementhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ 1 < (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 14335	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2		ffn 6725	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
3		elpreima 7070	. . . . 5 ⊢ (♯ Fn V → (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1})))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
5		elex 3490	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6	5	biantrurd 531	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1})))
7	4, 6	bitr4id 289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
8	7	notbid 317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
9		hashxnn0 14336	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0*)
10		xnn01gt 32558	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0* → (¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ 1 < (♯‘𝐴)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ 1 < (♯‘𝐴)))
12	8, 11	bitrd 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ 1 < (♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   ∪ cun 3945  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5150  ^◡ccnv 5679   “ cima 5683   Fn wfn 6546  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  0cc0 11144  1c1 11145  +∞cpnf 11281   < clt 11284  ℕ₀cn0 12508  ℕ₀^*cxnn0 12580  ♯chash 14327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-hash 14328

This theorem is referenced by:  tocyccntz  32883