Theorem hashgt1 32525

Description: Restate "set contains at least two elements" in terms of elementhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ 1 < (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 14301	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2		ffn 6710	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
3		elpreima 7052	. . . . 5 ⊢ (♯ Fn V → (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1})))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
5		elex 3487	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6	5	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1})))
7	4, 6	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
8	7	notbid 318	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1}))
9		hashxnn0 14302	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0*)
10		xnn01gt 32488	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0* → (¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ 1 < (♯‘𝐴)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ (♯‘𝐴) ∈ {0, 1} ↔ 1 < (♯‘𝐴)))
12	8, 11	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ 1 < (♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  0cc0 11109  1c1 11110  +∞cpnf 11246   < clt 11249  ℕ₀cn0 12473  ℕ₀^*cxnn0 12545  ♯chash 14293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-hash 14294

This theorem is referenced by:  tocyccntz  32807