Theorem znumd 32833

Description: Numerator of an integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
znumd.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znumd	⊢ (𝜑 → (numer‘𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem znumd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znumd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)
2		zq 13003	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℚ)
4		1nn 12284	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
6		gcd1 16571	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 gcd 1) = 1)
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 gcd 1) = 1)
8	1	zcnd 12730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
9	8	div1d 12042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 1) = 𝑍)
10	9	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 / 1))
11		qnumdenbi 16787	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℚ ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((𝑍 gcd 1) = 1 ∧ 𝑍 = (𝑍 / 1)) ↔ ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1)))
12	11	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ ℚ ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) ∧ ((𝑍 gcd 1) = 1 ∧ 𝑍 = (𝑍 / 1))) → ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1))
13	3, 1, 5, 7, 10, 12	syl32anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1))
14	13	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → (numer‘𝑍) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  1c1 11163   / cdiv 11927  ℕcn 12273  ℤcz 12620  ℚcq 12997   gcd cgcd 16537  numercnumer 16776  denomcdenom 16777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-sup 9489  df-inf 9490  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-q 12998  df-rp 13042  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-dvds 16297  df-gcd 16538  df-numer 16778  df-denom 16779

This theorem is referenced by:  zringfrac  33594