Theorem iccpartf 47436

Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. Corresponds to fourierdlem15 46127 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartf	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀)))

Proof of Theorem iccpartf

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		iccpart 47421	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4		elmapfn 8841	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
6	3, 5	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
7	1, 2, 6	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn (0...𝑀))
8	1, 2	iccpartrn 47435	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑃 ⊆ ((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀)))
9		df-f 6518	. 2 ⊢ (𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀)) ↔ (𝑃 Fn (0...𝑀) ∧ ran 𝑃 ⊆ ((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀))))
10	7, 8, 9	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  ℕcn 12193  [,]cicc 13316  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  RePartciccp 47418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-iccp 47419

This theorem is referenced by:  iccpartel  47437