Theorem iccpartf 47914

Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. Corresponds to fourierdlem15 46573 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartf	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀)))

Proof of Theorem iccpartf

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		iccpart 47899	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4		elmapfn 8803	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
6	3, 5	biimtrdi 254	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
7	1, 2, 6	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn (0...𝑀))
8	1, 2	iccpartrn 47913	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑃 ⊆ ((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀)))
9		df-f 6490	. 2 ⊢ (𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀)) ↔ (𝑃 Fn (0...𝑀) ∧ ran 𝑃 ⊆ ((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀))))
10	7, 8, 9	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5073  ran crn 5620   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8764  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171  ℕcn 12166  [,]cicc 13293  ...cfz 13453  ..^cfzo 13600  RePartciccp 47896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-iccp 47897

This theorem is referenced by:  iccpartel  47915