Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartf 46584
Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. Corresponds to fourierdlem15 45323 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartf (𝜑𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀)))

Proof of Theorem iccpartf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 iccpart 46569 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4 elmapfn 8855 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
54adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
63, 5syl6bi 253 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
71, 2, 6sylc 65 . 2 (𝜑𝑃 Fn (0...𝑀))
81, 2iccpartrn 46583 . 2 (𝜑 → ran 𝑃 ⊆ ((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀)))
9 df-f 6537 . 2 (𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀)) ↔ (𝑃 Fn (0...𝑀) ∧ ran 𝑃 ⊆ ((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀))))
107, 8, 9sylanbrc 582 1 (𝜑𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  wral 3053  wss 3940   class class class wbr 5138  ran crn 5667   Fn wfn 6528  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  m cmap 8816  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  *cxr 11244   < clt 11245  cn 12209  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  RePartciccp 46566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-iccp 46567
This theorem is referenced by:  iccpartel  46585
  Copyright terms: Public domain W3C validator