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Theorem iscau4 25151
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscau3.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
iscau3.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscau4.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
iscau4.6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
Assertion
Ref Expression
iscau4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem iscau4
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscau3.2 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iscau3.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 iscau3.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
41, 2, 3iscau3 25150 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
5 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
65, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 eluzelz 12831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
8 uzid 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
10 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
11 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
1211oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
1312breq1d 5149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
1410, 13raleqbidv 3334 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
1514rspcv 3600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
169, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
18 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
1918oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
2019breq1d 5149 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
2120cbvralvw 3226 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2322ralimi 3075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2411eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
2524rspcv 3600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
269, 23, 25syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
2726imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
28 r19.26 3103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
292ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
30 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
31 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
32 xmetsym 24197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
3329, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
3433breq1d 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3534biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3635expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3736ralimdv 3161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3828, 37biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3938expd 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
4039impancom 451 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
4127, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4221, 41biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4317, 42syld 47 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4443imdistanda 571 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
45 r19.26 3103 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
46 r19.26 3103 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4744, 45, 463imtr4g 296 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
48 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4948ralbii 3085 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
50 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
5150ralbii 3085 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
5247, 49, 513imtr4g 296 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5352reximdva 3160 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5453ralimdv 3161 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5554anim2d 611 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
564, 55sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
57 uzssz 12842 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
581, 57eqsstri 4009 . . . . . . . 8 𝑍 βŠ† β„€
59 ssrexv 4044 . . . . . . . 8 (𝑍 βŠ† β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6160ralimi 3075 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6261anim2i 616 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
63 iscau2 25149 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
6462, 63imbitrrid 245 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)))
652, 64syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)))
6656, 65impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
67 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
681uztrn2 12840 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6967, 68jca 511 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍))
70 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7170adantrl 713 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7271eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
73 iscau4.6 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
7473adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
7571, 74oveq12d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) = (𝐴𝐷𝐡))
7675breq1d 5149 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))
7772, 763anbi23d 1435 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
7869, 77sylan2 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
7978anassrs 467 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
8079ralbidva 3167 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
8180rexbidva 3168 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
8281ralbidv 3169 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
8382anbi2d 628 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
8466, 83bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑pm cpm 8818  β„‚cc 11105   < clt 11247  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12975  βˆžMetcxmet 21219  Cauccau 25125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-bl 21229  df-cau 25128
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