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Theorem iscau4 24666
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscau3.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
iscau3.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscau4.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
iscau4.6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
Assertion
Ref Expression
iscau4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem iscau4
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscau3.2 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iscau3.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 iscau3.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
41, 2, 3iscau3 24665 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
5 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
65, 1eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 eluzelz 12781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
8 uzid 12786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
10 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
11 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
1211oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
1312breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
1410, 13raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
1514rspcv 3579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
169, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
18 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
1918oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
2019breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
2120cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2322ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2411eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
2524rspcv 3579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
269, 23, 25syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
2726imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
28 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
292ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
30 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
31 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
32 xmetsym 23723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
3329, 30, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
3433breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3534biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3635expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3736ralimdv 3163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3828, 37biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3938expd 417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
4039impancom 453 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
4127, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4221, 41biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4317, 42syld 47 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4443imdistanda 573 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
45 r19.26 3111 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
46 r19.26 3111 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4744, 45, 463imtr4g 296 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
48 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4948ralbii 3093 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
50 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
5150ralbii 3093 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
5247, 49, 513imtr4g 296 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5352reximdva 3162 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5453ralimdv 3163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5554anim2d 613 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
564, 55sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
57 uzssz 12792 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
581, 57eqsstri 3982 . . . . . . . 8 𝑍 βŠ† β„€
59 ssrexv 4015 . . . . . . . 8 (𝑍 βŠ† β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6160ralimi 3083 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6261anim2i 618 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
63 iscau2 24664 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
6462, 63syl5ibr 246 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)))
652, 64syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)))
6656, 65impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
67 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
681uztrn2 12790 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6967, 68jca 513 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍))
70 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7170adantrl 715 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7271eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
73 iscau4.6 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
7473adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
7571, 74oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) = (𝐴𝐷𝐡))
7675breq1d 5119 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))
7772, 763anbi23d 1440 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
7869, 77sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
7978anassrs 469 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
8079ralbidva 3169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
8180rexbidva 3170 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
8281ralbidv 3171 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
8382anbi2d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
8466, 83bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057   < clt 11197  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  Cauccau 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-cau 24643
This theorem is referenced by:  iscauf  24667  cmetcaulem  24675  caures  36269  caushft  36270
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