Theorem caushft 37768

Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caushft.4	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
caushft.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
caushft.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
caushft.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
caushft.9	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑊⟶𝑋)

Assertion

Ref	Expression
caushft	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem caushft

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caushft.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2		caures.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 24344	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		caures.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		caushft.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
8	7	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
9		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10		fvoveq1 7454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
11	9, 10	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
12	11	rspccva 3621	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
13	8, 12	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
14	2, 5, 6, 7, 13	iscau4 25313	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))))
15	1, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)))
16	15	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
17	2	eleq2i 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		caushft.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		eluzadd 12907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
21	18, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
22		caushft.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
23	21, 22	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊)
24		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	24, 2	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)))
30		eluzsub 12908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
32		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
33	32	ralimi 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
34		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁)))
35	34	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
36	35	breq1d 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
37	36	rspcv 3618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
38	31, 33, 37	syl2im 40	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
39		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℂ)
42	19	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	41, 43	npcand 11624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝑚 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑚)
45	44	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁)) = (𝐺‘𝑚))
46	45	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
47	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
48		caushft.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
50	22	uztrn2 12897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ 𝑊)
51	23, 50	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ 𝑊)
52	49, 51	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘𝑚) ∈ 𝑋)
53	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
54	53, 23	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
56		metsym 24360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
57	47, 52, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
58	46, 57	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
59	58	breq1d 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
60	38, 59	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
61	60	ralrimdva 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
62		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)))
63		fveq2 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
64	63	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → ((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
65	64	breq1d 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
66	62, 65	raleqbidv 3346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
67	66	rspcev 3622	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥)
68	23, 61, 67	syl6an 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
69	68	rexlimdva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
70	69	ralimdv 3169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
71	16, 70	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥)
72	6, 19	zaddcld 12726	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
73		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
74		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
75	22, 5, 72, 73, 74, 48	iscauf 25314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
76	71, 75	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8867  ℂcc 11153   + caddc 11158   < clt 11295   − cmin 11492  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  Cauccau 25287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-cau 25290

This theorem is referenced by: (None)