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Theorem caushft 36629
Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caures.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
caures.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
caushft.4 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝑁))
caushft.5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
caushft.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)))
caushft.8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
caushft.9 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆπ‘‹)
Assertion
Ref Expression
caushft (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)

Proof of Theorem caushft
Dummy variables 𝑗 π‘š 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caushft.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
2 caures.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 caures.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4 metxmet 23840 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 caures.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 caushft.7 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)))
87ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)))
9 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
10 fvoveq1 7432 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) = (πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁)))
119, 10eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ↔ (πΉβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))))
1211rspccva 3612 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁)))
138, 12sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁)))
142, 5, 6, 7, 13iscau4 24796 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯))))
151, 14mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯)))
1615simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯))
172eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1817biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
19 caushft.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 eluzadd 12851 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑗 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝑁)))
2118, 19, 20syl2anr 598 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝑁)))
22 caushft.4 . . . . . . 7 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝑁))
2321, 22eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 + 𝑁) ∈ π‘Š)
24 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2524, 2eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
26 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2819ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
29 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁)))
30 eluzsub 12852 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
32 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯)
3332ralimi 3084 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯)
34 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) = (πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁)))
3534oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 𝑁) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) = ((πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))))
3635breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 𝑁) β†’ (((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯ ↔ ((πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯))
3736rspcv 3609 . . . . . . . . 9 ((π‘š βˆ’ 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯ β†’ ((πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯))
3831, 33, 37syl2im 40 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯) β†’ ((πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯))
39 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁)) β†’ π‘š ∈ β„€)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ π‘š ∈ β„€)
4140zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
4219zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
4441, 43npcand 11575 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ ((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁) = π‘š)
4544fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ (πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁)) = (πΊβ€˜π‘š))
4645oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ ((πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) = ((πΊβ€˜π‘š)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))))
473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
48 caushft.9 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆπ‘‹)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆπ‘‹)
5022uztrn2 12841 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 𝑁) ∈ π‘Š ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ π‘š ∈ π‘Š)
5123, 50sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ π‘š ∈ π‘Š)
5249, 51ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ (πΊβ€˜π‘š) ∈ 𝑋)
5348adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆπ‘‹)
5453, 23ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
5554adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
56 metsym 23856 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΊβ€˜π‘š) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋) β†’ ((πΊβ€˜π‘š)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) = ((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)))
5747, 52, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ ((πΊβ€˜π‘š)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) = ((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)))
5846, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ ((πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) = ((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)))
5958breq1d 5159 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ (((πΊβ€˜((π‘š βˆ’ 𝑁) + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯ ↔ ((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6038, 59sylibd 238 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯) β†’ ((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6160ralrimdva 3155 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
62 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁)))
63 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁)))
6463oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) = ((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)))
6564breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ ((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6662, 65raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6766rspcev 3613 . . . . . 6 (((𝑗 + 𝑁) ∈ π‘Š ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 𝑁))((πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ π‘Š βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯)
6823, 61, 67syl6an 683 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ π‘Š βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6968rexlimdva 3156 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ π‘Š βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7069ralimdv 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑁))𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 𝑁))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ π‘Š βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7116, 70mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ π‘Š βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯)
726, 19zaddcld 12670 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„€)
73 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š))
74 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
7522, 5, 72, 73, 74, 48iscauf 24797 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ π‘Š βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΊβ€˜π‘›)𝐷(πΊβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7671, 75mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108   + caddc 11113   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  Cauccau 24770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-cau 24773
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