Theorem caushft 35919

Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caushft.4	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
caushft.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
caushft.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
caushft.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
caushft.9	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑊⟶𝑋)

Assertion

Ref	Expression
caushft	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem caushft

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caushft.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2		caures.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 23487	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		caures.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		caushft.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
8	7	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
9		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10		fvoveq1 7298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
11	9, 10	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
12	11	rspccva 3560	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
13	8, 12	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
14	2, 5, 6, 7, 13	iscau4 24443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))))
15	1, 14	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)))
16	15	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
17	2	eleq2i 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		caushft.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		eluzadd 12613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
21	18, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
22		caushft.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
23	21, 22	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊)
24		simplr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	24, 2	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	19	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)))
30		eluzsub 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
32		simp3 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
33	32	ralimi 3087	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
34		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁)))
35	34	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
36	35	breq1d 5084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
37	36	rspcv 3557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
38	31, 33, 37	syl2im 40	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
39		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℂ)
42	19	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	41, 43	npcand 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝑚 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑚)
45	44	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁)) = (𝐺‘𝑚))
46	45	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
47	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
48		caushft.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
49	48	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
50	22	uztrn2 12601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ 𝑊)
51	23, 50	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ 𝑊)
52	49, 51	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘𝑚) ∈ 𝑋)
53	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
54	53, 23	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
56		metsym 23503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
57	47, 52, 55, 56	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
58	46, 57	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
59	58	breq1d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
60	38, 59	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
61	60	ralrimdva 3106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
62		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)))
63		fveq2 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
64	63	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → ((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
65	64	breq1d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
66	62, 65	raleqbidv 3336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
67	66	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥)
68	23, 61, 67	syl6an 681	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
69	68	rexlimdva 3213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
70	69	ralimdv 3109	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
71	16, 70	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥)
72	6, 19	zaddcld 12430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
73		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
74		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
75	22, 5, 72, 73, 74, 48	iscauf 24444	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
76	71, 75	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869   + caddc 10874   < clt 11009   − cmin 11205  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583  Cauccau 24417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-cau 24420

This theorem is referenced by: (None)