Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caushft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caushft 37747
Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caures.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
caures.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caushft.4 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
caushft.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
caushft.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
caushft.8 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
caushft.9 (𝜑𝐺:𝑊𝑋)
Assertion
Ref Expression
caushft (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem caushft
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caushft.8 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2 caures.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 caures.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 24359 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 caures.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 caushft.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
87ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
9 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
10 fvoveq1 7453 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
119, 10eqeq12d 2750 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
1211rspccva 3620 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
138, 12sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
142, 5, 6, 7, 13iscau4 25326 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))))
151, 14mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)))
1615simprd 495 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
172eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
1817biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
19 caushft.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 eluzadd 12904 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
2118, 19, 20syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
22 caushft.4 . . . . . . 7 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
2321, 22eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊)
24 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗𝑍)
2524, 2eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
26 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
2819ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)))
30 eluzsub 12905 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
32 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
3332ralimi 3080 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
34 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚𝑁) → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁)))
3534oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚𝑁) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
3635breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚𝑁) → (((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
3736rspcv 3617 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
3831, 33, 37syl2im 40 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
39 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
4140zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℂ)
4219zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
4441, 43npcand 11621 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝑚𝑁) + 𝑁) = 𝑚)
4544fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁)) = (𝐺𝑚))
4645oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
48 caushft.9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:𝑊𝑋)
4948ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐺:𝑊𝑋)
5022uztrn2 12894 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚𝑊)
5123, 50sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚𝑊)
5249, 51ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺𝑚) ∈ 𝑋)
5348adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺:𝑊𝑋)
5453, 23ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
56 metsym 24375 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋) → ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5747, 52, 55, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5846, 57eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5958breq1d 5157 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6038, 59sylibd 239 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6160ralrimdva 3151 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
62 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (ℤ𝑛) = (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)))
63 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
6463oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → ((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
6564breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6662, 65raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6766rspcev 3621 . . . . . 6 (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥)
6823, 61, 67syl6an 684 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6968rexlimdva 3152 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7069ralimdv 3166 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7116, 70mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥)
726, 19zaddcld 12723 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
73 eqidd 2735 . . 3 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑚))
74 eqidd 2735 . . 3 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
7522, 5, 72, 73, 74, 48iscauf 25327 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7671, 75mpbird 257 1 (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  pm cpm 8865  cc 11150   + caddc 11155   < clt 11292  cmin 11489  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ∞Metcxmet 21366  Metcmet 21367  Cauccau 25300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-cau 25303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator