Theorem caushft 36220

Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caushft.4	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
caushft.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
caushft.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
caushft.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
caushft.9	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑊⟶𝑋)

Assertion

Ref	Expression
caushft	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem caushft

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caushft.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2		caures.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 23687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		caures.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		caushft.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
8	7	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
9		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10		fvoveq1 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
11	9, 10	eqeq12d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
12	11	rspccva 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
13	8, 12	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
14	2, 5, 6, 7, 13	iscau4 24643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))))
15	1, 14	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)))
16	15	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
17	2	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		caushft.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		eluzadd 12792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
21	18, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
22		caushft.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
23	21, 22	eleqtrrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊)
24		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	24, 2	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		eluzelz 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	19	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)))
30		eluzsub 12793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
32		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
33	32	ralimi 3086	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
34		fvoveq1 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁)))
35	34	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
36	35	breq1d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
37	36	rspcv 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
38	31, 33, 37	syl2im 40	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
39		eluzelz 12773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℂ)
42	19	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	41, 43	npcand 11516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝑚 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑚)
45	44	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁)) = (𝐺‘𝑚))
46	45	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
47	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
48		caushft.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
49	48	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
50	22	uztrn2 12782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ 𝑊)
51	23, 50	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ 𝑊)
52	49, 51	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘𝑚) ∈ 𝑋)
53	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
54	53, 23	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
56		metsym 23703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
57	47, 52, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
58	46, 57	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
59	58	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
60	38, 59	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
61	60	ralrimdva 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
62		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)))
63		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
64	63	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → ((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
65	64	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
66	62, 65	raleqbidv 3319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
67	66	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥)
68	23, 61, 67	syl6an 682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
69	68	rexlimdva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
70	69	ralimdv 3166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
71	16, 70	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥)
72	6, 19	zaddcld 12611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
73		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
74		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
75	22, 5, 72, 73, 74, 48	iscauf 24644	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
76	71, 75	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_pm cpm 8766  ℂcc 11049   + caddc 11054   < clt 11189   − cmin 11385  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  Cauccau 24617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-cau 24620

This theorem is referenced by: (None)