Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | caushft.8 |
. . . . 5
β’ (π β πΉ β (Cauβπ·)) |
2 | | caures.1 |
. . . . . 6
β’ π =
(β€β₯βπ) |
3 | | caures.4 |
. . . . . . 7
β’ (π β π· β (Metβπ)) |
4 | | metxmet 23840 |
. . . . . . 7
β’ (π· β (Metβπ) β π· β (βMetβπ)) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (π β π· β (βMetβπ)) |
6 | | caures.3 |
. . . . . 6
β’ (π β π β β€) |
7 | | caushft.7 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ) = (πΊβ(π + π))) |
8 | 7 | ralrimiva 3147 |
. . . . . . 7
β’ (π β βπ β π (πΉβπ) = (πΊβ(π + π))) |
9 | | fveq2 6892 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
10 | | fvoveq1 7432 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (πΊβ(π + π)) = (πΊβ(π + π))) |
11 | 9, 10 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β ((πΉβπ) = (πΊβ(π + π)) β (πΉβπ) = (πΊβ(π + π)))) |
12 | 11 | rspccva 3612 |
. . . . . . 7
β’
((βπ β
π (πΉβπ) = (πΊβ(π + π)) β§ π β π) β (πΉβπ) = (πΊβ(π + π))) |
13 | 8, 12 | sylan 581 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ) = (πΊβ(π + π))) |
14 | 2, 5, 6, 7, 13 | iscau4 24796 |
. . . . 5
β’ (π β (πΉ β (Cauβπ·) β (πΉ β (π βpm β) β§
βπ₯ β
β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯)))) |
15 | 1, 14 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ (π β (πΉ β (π βpm β) β§
βπ₯ β
β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯))) |
16 | 15 | simprd 497 |
. . 3
β’ (π β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯)) |
17 | 2 | eleq2i 2826 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β π β (β€β₯βπ)) |
18 | 17 | biimpi 215 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β π β (β€β₯βπ)) |
19 | | caushft.5 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β β€) |
20 | | eluzadd 12851 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β
(β€β₯βπ) β§ π β β€) β (π + π) β
(β€β₯β(π + π))) |
21 | 18, 19, 20 | syl2anr 598 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π) β (π + π) β
(β€β₯β(π + π))) |
22 | | caushft.4 |
. . . . . . 7
β’ π =
(β€β₯β(π + π)) |
23 | 21, 22 | eleqtrrdi 2845 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π) β (π + π) β π) |
24 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β π) |
25 | 24, 2 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β (β€β₯βπ)) |
26 | | eluzelz 12832 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β β€) |
28 | 19 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β β€) |
29 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β (β€β₯β(π + π))) |
30 | | eluzsub 12852 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β
(β€β₯β(π + π))) β (π β π) β (β€β₯βπ)) |
31 | 27, 28, 29, 30 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β (π β π) β (β€β₯βπ)) |
32 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) β ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) |
33 | 32 | ralimi 3084 |
. . . . . . . . 9
β’
(βπ β
(β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) β βπ β (β€β₯βπ)((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) |
34 | | fvoveq1 7432 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = (π β π) β (πΊβ(π + π)) = (πΊβ((π β π) + π))) |
35 | 34 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (π β π) β ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) = ((πΊβ((π β π) + π))π·(πΊβ(π + π)))) |
36 | 35 | breq1d 5159 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π β π) β (((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯ β ((πΊβ((π β π) + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯)) |
37 | 36 | rspcv 3609 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β π) β (β€β₯βπ) β (βπ β
(β€β₯βπ)((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯ β ((πΊβ((π β π) + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯)) |
38 | 31, 33, 37 | syl2im 40 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β (βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) β ((πΊβ((π β π) + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯)) |
39 | | eluzelz 12832 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β
(β€β₯β(π + π)) β π β β€) |
40 | 39 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β β€) |
41 | 40 | zcnd 12667 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β β) |
42 | 19 | zcnd 12667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β β) |
43 | 42 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β β) |
44 | 41, 43 | npcand 11575 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β ((π β π) + π) = π) |
45 | 44 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β (πΊβ((π β π) + π)) = (πΊβπ)) |
46 | 45 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β ((πΊβ((π β π) + π))π·(πΊβ(π + π))) = ((πΊβπ)π·(πΊβ(π + π)))) |
47 | 3 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π· β (Metβπ)) |
48 | | caushft.9 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β πΊ:πβΆπ) |
49 | 48 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β πΊ:πβΆπ) |
50 | 22 | uztrn2 12841 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π + π) β π β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β π) |
51 | 23, 50 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β π β π) |
52 | 49, 51 | ffvelcdmd 7088 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β (πΊβπ) β π) |
53 | 48 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β πΊ:πβΆπ) |
54 | 53, 23 | ffvelcdmd 7088 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π) β (πΊβ(π + π)) β π) |
55 | 54 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β (πΊβ(π + π)) β π) |
56 | | metsym 23856 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π· β (Metβπ) β§ (πΊβπ) β π β§ (πΊβ(π + π)) β π) β ((πΊβπ)π·(πΊβ(π + π))) = ((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ))) |
57 | 47, 52, 55, 56 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β ((πΊβπ)π·(πΊβ(π + π))) = ((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ))) |
58 | 46, 57 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β ((πΊβ((π β π) + π))π·(πΊβ(π + π))) = ((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ))) |
59 | 58 | breq1d 5159 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β (((πΊβ((π β π) + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯ β ((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ)) < π₯)) |
60 | 38, 59 | sylibd 238 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + π))) β (βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) β ((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ)) < π₯)) |
61 | 60 | ralrimdva 3155 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π) β (βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) β βπ β (β€β₯β(π + π))((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ)) < π₯)) |
62 | | fveq2 6892 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π + π) β (β€β₯βπ) =
(β€β₯β(π + π))) |
63 | | fveq2 6892 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π + π) β (πΊβπ) = (πΊβ(π + π))) |
64 | 63 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π + π) β ((πΊβπ)π·(πΊβπ)) = ((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ))) |
65 | 64 | breq1d 5159 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π + π) β (((πΊβπ)π·(πΊβπ)) < π₯ β ((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ)) < π₯)) |
66 | 62, 65 | raleqbidv 3343 |
. . . . . . 7
β’ (π = (π + π) β (βπ β (β€β₯βπ)((πΊβπ)π·(πΊβπ)) < π₯ β βπ β (β€β₯β(π + π))((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ)) < π₯)) |
67 | 66 | rspcev 3613 |
. . . . . 6
β’ (((π + π) β π β§ βπ β (β€β₯β(π + π))((πΊβ(π + π))π·(πΊβπ)) < π₯) β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΊβπ)π·(πΊβπ)) < π₯) |
68 | 23, 61, 67 | syl6an 683 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π) β (βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΊβπ)π·(πΊβπ)) < π₯)) |
69 | 68 | rexlimdva 3156 |
. . . 4
β’ (π β (βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΊβπ)π·(πΊβπ)) < π₯)) |
70 | 69 | ralimdv 3170 |
. . 3
β’ (π β (βπ₯ β β+
βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(π β dom πΉ β§ (πΊβ(π + π)) β π β§ ((πΊβ(π + π))π·(πΊβ(π + π))) < π₯) β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΊβπ)π·(πΊβπ)) < π₯)) |
71 | 16, 70 | mpd 15 |
. 2
β’ (π β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΊβπ)π·(πΊβπ)) < π₯) |
72 | 6, 19 | zaddcld 12670 |
. . 3
β’ (π β (π + π) β β€) |
73 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π) β (πΊβπ) = (πΊβπ)) |
74 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π) β (πΊβπ) = (πΊβπ)) |
75 | 22, 5, 72, 73, 74, 48 | iscauf 24797 |
. 2
β’ (π β (πΊ β (Cauβπ·) β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΊβπ)π·(πΊβπ)) < π₯)) |
76 | 71, 75 | mpbird 257 |
1
β’ (π β πΊ β (Cauβπ·)) |