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Theorem caushft 36567
Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caures.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
caures.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caushft.4 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
caushft.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
caushft.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
caushft.8 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
caushft.9 (𝜑𝐺:𝑊𝑋)
Assertion
Ref Expression
caushft (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem caushft
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caushft.8 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2 caures.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 caures.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 23822 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 caures.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 caushft.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
87ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
9 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
10 fvoveq1 7427 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
119, 10eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
1211rspccva 3611 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
138, 12sylan 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
142, 5, 6, 7, 13iscau4 24778 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))))
151, 14mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)))
1615simprd 497 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
172eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
1817biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
19 caushft.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 eluzadd 12847 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
2118, 19, 20syl2anr 598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
22 caushft.4 . . . . . . 7 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
2321, 22eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊)
24 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗𝑍)
2524, 2eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
26 eluzelz 12828 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
2819ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)))
30 eluzsub 12848 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
32 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
3332ralimi 3084 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
34 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚𝑁) → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁)))
3534oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚𝑁) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
3635breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚𝑁) → (((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
3736rspcv 3608 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
3831, 33, 37syl2im 40 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
39 eluzelz 12828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
4140zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℂ)
4219zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
4441, 43npcand 11571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝑚𝑁) + 𝑁) = 𝑚)
4544fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁)) = (𝐺𝑚))
4645oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
48 caushft.9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:𝑊𝑋)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐺:𝑊𝑋)
5022uztrn2 12837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚𝑊)
5123, 50sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚𝑊)
5249, 51ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺𝑚) ∈ 𝑋)
5348adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺:𝑊𝑋)
5453, 23ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
5554adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
56 metsym 23838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋) → ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5747, 52, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5846, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5958breq1d 5157 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6038, 59sylibd 238 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6160ralrimdva 3155 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
62 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (ℤ𝑛) = (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)))
63 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
6463oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → ((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
6564breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6662, 65raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6766rspcev 3612 . . . . . 6 (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥)
6823, 61, 67syl6an 683 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6968rexlimdva 3156 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7069ralimdv 3170 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7116, 70mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥)
726, 19zaddcld 12666 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
73 eqidd 2734 . . 3 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑚))
74 eqidd 2734 . . 3 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
7522, 5, 72, 73, 74, 48iscauf 24779 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7671, 75mpbird 257 1 (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  pm cpm 8817  cc 11104   + caddc 11109   < clt 11244  cmin 11440  cz 12554  cuz 12818  +crp 12970  ∞Metcxmet 20914  Metcmet 20915  Cauccau 24752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-cau 24755
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