Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0lem3 43320
Description: Lemma 3 for itsclc0 43323. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0lem1.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0lem1.t 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itsclc0lem1.u 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
itsclc0lem2.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0lem3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))

Proof of Theorem itsclc0lem3
StepHypRef Expression
1 recn 10349 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 10349 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 recn 10349 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 33anim123i 1194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
5 recn 10349 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
64, 5anim12i 606 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
763adant3 1166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
8 itsclc0lem1.q . . . . 5 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
9 itsclc0lem1.t . . . . 5 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
10 itsclc0lem1.u . . . . 5 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
11 itsclc0lem2.d . . . . 5 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
128, 9, 10, 11itsclc0lem2 43319 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
137, 12syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
1413fveq2d 6441 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = (√‘((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷)))
15 4re 11443 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 4 ∈ ℝ)
17 simp1 1170 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1817resqcld 13338 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19183ad2ant1 1167 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2016, 19remulcld 10394 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (4 · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
21 0re 10365 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 4pos 11472 . . . . . 6 0 < 4
2321, 15, 22ltleii 10486 . . . . 5 0 ≤ 4
2423a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 4)
2517sqge0d 13339 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴↑2))
26253ad2ant1 1167 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ (𝐴↑2))
2716, 19, 24, 26mulge0d 10936 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ (4 · (𝐴↑2)))
28 simp2 1171 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
2928resqcld 13338 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
308resum2sqcl 43288 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
31303adant3 1166 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
32313ad2ant1 1167 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑄 ∈ ℝ)
3329, 32remulcld 10394 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
34 simp3 1172 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3534resqcld 13338 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
36353ad2ant1 1167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
3733, 36resubcld 10789 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
3811, 37syl5eqel 2910 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
39 simp3 1172 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
4020, 27, 38, 39sqrtmuld 14547 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷)) = ((√‘(4 · (𝐴↑2))) · (√‘𝐷)))
4115, 23pm3.2i 464 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4))
43 resqcl 13232 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
44 sqge0 13241 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
45 sqrtmul 14384 . . . . . . 7 (((4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4) ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2))) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
4642, 43, 44, 45syl12anc 870 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
47463ad2ant1 1167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
48473ad2ant1 1167 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
49 sqrt4 14397 . . . . . 6 (√‘4) = 2
5049a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘4) = 2)
51 absre 14425 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴↑2)))
5251eqcomd 2831 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
53523ad2ant1 1167 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
54533ad2ant1 1167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
5550, 54oveq12d 6928 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))) = (2 · (abs‘𝐴)))
5648, 55eqtrd 2861 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = (2 · (abs‘𝐴)))
5756oveq1d 6925 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘(4 · (𝐴↑2))) · (√‘𝐷)) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))
5814, 40, 573eqtrd 2865 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259   + caddc 10262   · cmul 10264  cle 10399  cmin 10592  -cneg 10593  2c2 11413  4c4 11415  cexp 13161  csqrt 14357  abscabs 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360
This theorem is referenced by:  itsclc0lem4  43321
  Copyright terms: Public domain W3C validator